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1、 3.3 3.3 平面的投影平面的投影 一、一、平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直直线上的上的三个点三个点 直直线及及线外一外一点点a c a c b b d d 两平行直两平行直线c c a b a b 两相交两相交直直线平面平面图形形c a b a b c c a a b b c c a b a b c 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面2、平面的迹线表示法、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ迹线迹线平面与投影面的交线。平面与投影面的交线。用迹线表示的平面称为用迹线表示的平面称为迹线平面迹线平面PH 平面平面P的水平面迹线的水平面迹线PV 平面平面
2、P的正面迹线的正面迹线Q为侧垂面为侧垂面一般位置平面一般位置平面x xz zy yp px xp pz zp pY YH HV VW WP PV VP PH HP PW WP PP PV VP PH Hx xp px xP PY YH Hp pY Yw wz zP PW WO Op pz zY YH HY YW W平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直投影积聚成直线线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投
3、影特性平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性二、平面的投影特性平面对于三投影面的位置可分为平面对于三投影面的位置可分为三类三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性 OXZYVWHPPH（1 1）铅垂面）铅
4、垂面投影特性：投影特性：1)1)abc积聚为一条线积聚为一条线 2)2)a b c、a b c 为为 ABC的类似形的类似形 3)3)abc与与OX、OY的夹角的夹角反映反映、角的角的 真实大小真实大小 ABCacbababbaccc3.投影面垂直面投影面垂直面OXZY铅垂面铅垂面的迹线表示法的迹线表示法P PP PH H 用迹线表示的投影面用迹线表示的投影面垂直面的投影垂直面的投影P PH HP PW WP PV VOZXYHYW P PH HOZXYHYWOXZYQQV（2 2）正垂面）正垂面 AcCabBbababaccc投影特性投影特性 ：1)1)a a b b c c 积聚为一条线积
5、聚为一条线 2)2)abcabc、a a b b c c 为为 ABCABC的类似形的类似形 3)3)a a b b c c 与与OXOX、OZOZ的夹角的夹角反映反映、角的角的 真实大小真实大小 OXZY正垂面正垂面的迹线表示法的迹线表示法 Q QQ QV VQ QV VOZXYHYWP PV VP PW WP PH HOZXYHYWOXZYSWS（3 3）侧垂面）侧垂面CabABcbababaccc投影特性投影特性 1)1)a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线 2)2)abc abc、a a b b c c 为为 ABCABC的类似形的类似形 3)3)a a b b c c 与
6、与OZOZ、OY OY 的夹角的夹角反映反映、角角的的 真实大小真实大小OXZY侧垂面侧垂面的迹线表示法的迹线表示法V VW WS Sw wS SS Sw wOZXYHYWP PH HP PV VP PW WOZXYHYWabca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面总结总结类似形类似形类似形类似形积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1）在它垂直的投影面上的投影积聚成在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面的真实倾角。与另外两投影面的真实倾角。2）另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投
7、影为类似形。为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？OXZY4.投影面平行面：（投影面平行面：（1）水平面）水平面CABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性：1)1)a a b b c c、a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚为一条线，具有积聚性积聚性 2)2)水平投影水平投影 abcabc反映反映 ABCABC实形实形 OXZY（2）正平面）正平面投影特性：投影特性：1)1)abcabc 、a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚为一条线，具有积聚积聚性性 2)2)正面投影正面投影 a a b b c c 反映反映 ABCABC实形实形 cabb
8、acbcabacabcbcaCBAOXZY（3）侧平面）侧平面abbbaccca投影特性：投影特性：1)1)abcabc 、a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚为一条线，具有积积聚性聚性 2)2)侧面投影侧面投影 a a b b c c 反映反映 ABCABC实形实形bbbacaccCABa用用迹线表示迹线表示的的 投影面平行面的投影投影面平行面的投影水平面水平面侧平面侧平面正平面正平面P PV VP PW WOZXYHYWP PH HP PV VOZXYHYWP PH HP PW WOZXYHYWa b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性
9、：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。投影面平行面投影面平行面总结总结OXZY5.一般位置平面一般位置平面abccabbaaabbccbacABC投影特性：投影特性：(1)(1)abc abc、a a b b c c 、a a b b c c 均为均为 ABCABC 的类似形的类似形 (2)(2)不反映不反映、的真实角度的真实角度a b c a c b a b c 一般位置平面一般位置平面三个投影都三个投影都类似。似。投影特性：投影特性：
10、a c b c a a b c b 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的面的夹角角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及及顶点点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及的正面投影及侧面面 投影。投影。思考：此思考：此题有几个解？有几个解？45OXZYPwPVPHVHWAB 在一般位置平在一般位置平面上，可以作出无面上，可以作出无数条与三个投影面数条与三个投影面互相平行的直互相平行的直线思考：思考：在空间在空间任意平任意平面上面上，是否可以作，是否可以作出无数条与三个投出无数条与三个投影面互相平行的直影面互相平行的直线线？讨论：讨论：过一般位置平面内的一点能否
11、一般位置平面内的一点能否 作投影面平行作投影面平行线？VHVHa ab bb b a a S Sb b a a a ab bA AB B结论结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。过一般位置直线过一般位置直线ABAB作作铅垂面铅垂面P PH H过一般位置直线过一般位置直线ABAB作正作正垂面垂面S SV VP PP PH HS SV VA AB B讨论：讨论：过一般位置直线能否作投影面的垂直面？过一般位置直线能否作投影面的垂直面？作图：作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。过一般位置直线作投影面的垂直面。(迹线表示法迹线表示法)b b a a S SV
12、VQ QW WP PH HOZXYHYWa ab ba ab b作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。(几何元素表示法几何元素表示法)m m n n(n n)(m)(m)OXOX铅垂面铅垂面正垂面正垂面e ef ff fe ee ef ff fe e讨论并作图：讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？过正垂线可作哪些平面？(迹线表示法迹线表示法)P PV VS SV VQ QV VR RV V（a a）给题）给题（c c）作侧平面）作侧平面（b b）作水平面）作水平面（d d）作正垂面）作正垂面 （有无穷多个）（有无穷多个）OXOXOXOXmnm(n)mnm(n
13、)mnm(n)mnm(n)P PH HS SH Hg g g g（a a）给题给题（c c）作正垂面作正垂面（b b）作正平面作正平面（d d）作一般位置平面作一般位置平面（有无穷多个）（有无穷多个）讨论并作图讨论并作图 过正平线可作哪些平面？过正平线可作哪些平面？(迹线表示法迹线表示法)OXOXOXOXfefefefefefefefe三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点位于平面上的直位于平面上的直线应满足的条件：足的条件：平面上取任意直平面上取任意直线M M N N A A B B M M 若一直若一直线过平面上平面上的两点，的两点，则此直此直线必在必在该平面内。平面内。若一直若一直线过
14、平面上的平面上的一点且平行于一点且平行于该平面平面上的另一直上的另一直线，则此此直直线在在该平面内。平面内。abcc a abcb c a mnn m 例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理二根据定理二有无数解。有无数解。d d有多少解？有多少解？b 例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距离为面的距离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平
15、面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b 面上取点的方法：面上取点的方法：k abca b c d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解kk首先面上取首先面上取线ckk c例例2：已知已知AC为正平线，为正平线，补全平行四边形补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二bbdaa d b c daa d b c ded e
16、m m 例例3 3：在：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到，并使其到H H面面V V面的面的 距离均距离均为10mm10mm。b c X X b c a a O O PPHCDaSAE二、平面的最大斜度线（二、平面的最大斜度线（对某一投影面而言对某一投影面而言）平面内垂直于该平面的投影面平行线（或平面的平面内垂直于该平面的投影面平行线（或平面的 迹线）的直线。迹线）的直线。平面的最大平面的最大斜度线斜度线是平面上是平面上对某个投影面倾对某个投影面倾角最大的直线。角最大的直线。它与投影面它与投影面的倾角的倾角反映该平反映该平面与投影面的倾面与投影面的倾角。角。Hb bb b 平面平面
17、对对H H面面的最大斜度线的最大斜度线平面的最大平面的最大坡度线。坡度线。最大斜度线的几何意义最大斜度线的几何意义用来测定平面对投影面的角度。用来测定平面对投影面的角度。例例7：试作试作 AC平面上的最大坡平面上的最大坡度线度线B。d d a a d da ac c c cOX平面的最平面的最大坡度线大坡度线练习：练习：求作求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线平面上对水平面的最大斜度线BE。b bd dd de ee eOXc ca aa ab bc c例：在上题中，求例：在上题中，求 ABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角 。bebe BEBEb b b bd dd de ee
18、 eOXc ca aa ab bc caa 例：已知直线例：已知直线EF为某平面对为某平面对H 面的最大斜度线，试面的最大斜度线，试 作出该平面。作出该平面。OXe ef fe ef f4 4 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置 相相对位置包括位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直直线与平面平行与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 直直线与平面平行与平面平行 若平面外的一直若平面外的一直线平行于平面内平行于平面内的某一直的某一直线，则该直直线与与该平面平行。平面平行。n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于
19、平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？d d正平正平线 例例2 2：过M点作直点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。唯一解唯一解c b a m a b c m n n d d 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直交直线分分别平行于另平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线，则这两平面相互两平面相互平行。平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，相互平行，则它它们具具有有积聚性聚性的那的那组投影投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a a b c d e f f h a b c d e f h a b c d e a
20、c e b b a d d fc f e kh k h O O X X m m由于由于ek不不平行于平行于ac,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行，已知已知ABCDEFMHABCDEFMH 直直线与平面相交，其与平面相交，其交点是直交点是直线与平与平面的共有点。面的共有点。二、相交问题二、相交问题 直直线与平面相交与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直直线与平面相交与平面相交要要讨论的的问题：求求直直线与平面的与平面的交点。交点。判判别两者之两者之间的相互遮的相互遮挡关系，即关系，即判判别可可 见性。性。我
21、我们只只讨论直直线与平面中至少有一个与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。于特殊位置的情况。bbaaccmmnn直线与直线与特殊位置平面相交特殊位置平面相交由于由于特殊位置平面的某些投影有积聚性特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkkbbaaccmmnn直线与直线与特殊位置平面相交特殊位置平面相交 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。的可见性。VHPHPABCacbkNKMkkabcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直例：求直线MN
22、与平面与平面ABC的交点的交点K并判并判别可可见性。性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影点的水平投影 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作图作图k21用用线上上取点法取点法1(2)km(n)b m n c b a a c 直直线为特殊位置特殊位置 空空间及投影分析及投影分析 直直线M
23、N为铅垂垂线，其，其水平投影水平投影积聚成一个点，聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也的水平投影也积聚聚在在该点上。点上。求交点求交点 判判别可可见性性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 2 为不可不可见。k 2 1作作图用面上取点法用面上取点法 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：(1)确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个
24、共有点。(2)确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。殊位置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。一般位置平面与一般位置平面与特殊位置平面相交特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求求两平面交线的问题可以看作是求两个两个共有点共有点的问题的问题,由于由于特殊位置平面的某些投影特殊位置平面的某些投影有积聚性有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL判断平面的可见性判断
25、平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL可通可通过正面投影正面投影直直观地地进行判行判别。a bc d e f c f d b e a m(n)空空间及投影分析及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为正垂面正垂面，它，它们的的交交线为一一条正垂条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即影的交点即为交交线的正面的正面投影，投影，交交线的水平投影垂的水平投影垂直于直于OX轴。求交求交线 判判别可可见性性作作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交出，在交线左左侧，平面，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可可见。m 例：求两平面的交例：求两平面的
26、交线 MN并判并判别可可见性。性。能否不用重能否不用重影点判影点判别？能能!如何判断？如何判断？n a b c d e fc f d b e a m(n)例：求两平面的交例：求两平面的交线 MN并判并判别可可见性。性。空空间及投影分析及投影分析 求交求交线 判判别可可见性性作作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交出，在交线左左侧，平面，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可可见。m n 平面平面ABC与与DEF都都为正垂面正垂面，它，它们的的交交线为一一条正垂条正垂线，两平面正面投，两平面正面投影的交点即影的交点即为交交线的正面的正面投影，交投影，交线的水平投影垂的水平投影垂直于
27、直于OX轴。a a b d(e)e b d h(f)c f c h 1(2)空空间及投影分析及投影分析 平面平面DEFH是一是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与聚性，其与ac、bc的的交点交点m、n 即即为两个共两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即即为交交线MN的水平投影的水平投影。求交求交线 判判别可可见性性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可可见。作作图 2 1 m n m n a b d(e)ebd h(f)c fch m n n m 空空间及投影分析及投影分析 平面平面DEFH是一是一铅垂面，它的水平投
28、影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与聚性，其与ac、bc的的交点交点m、n 即即为两个共两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即即为交交线MN的水平投的水平投影影。求交求交线 判判别可可见性性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可可见。作作图 c d e f a b a b c d e f 投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def 的外面的外面说明点明点N位于位于DEF所确定的平面内，但所确定的平面内，但不位于不位于DEF这个个图形内。形内。所以所以ABC和和DEF的交的交线应为MK。n n m k m k 互交互交c d e f a b a b c d e f 投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影 n位于位于def 的外面，的外面，说明点明点N位于位于DEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不位于位于DEF这个个图形形内。内。所以所以ABC和和DEF的交的交线应为MK。互交互交m k k m