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1、社会统计学随机现象与基础概率 第三讲知识点n n随机现象及其特征n n概率的定义n n概率的加法定理n n概率的乘法定理n n概率的数学特征一、随机现象及其特征随机现象例子：随机现象例子：全国每天有多少婴儿出生？全国每天有多少婴儿出生？全国每天有多少婴儿出生？全国每天有多少婴儿出生？多少人因车祸死亡？多少人因车祸死亡？多少人因车祸死亡？多少人因车祸死亡？多少人结婚，多少人离婚？多少人结婚，多少人离婚？多少人结婚，多少人离婚？多少人结婚，多少人离婚？多少人晚间收看新闻联播？多少人晚间收看新闻联播？多少人晚间收看新闻联播？多少人晚间收看新闻联播？天气的变化？天气的变化？天气的变化？天气的变化？手术
2、的成功？手术的成功？手术的成功？手术的成功？骰子的点数？骰子的点数？骰子的点数？骰子的点数？n n这些现象的共同点：在一这些现象的共同点：在一这些现象的共同点：在一这些现象的共同点：在一定条件下（例如某天、某定条件下（例如某天、某定条件下（例如某天、某定条件下（例如某天、某日）事物出现只具有日）事物出现只具有日）事物出现只具有日）事物出现只具有可能可能可能可能性性性性但不具有但不具有但不具有但不具有必然性必然性必然性必然性。n n这种现象就是随机现象，这种现象就是随机现象，这种现象就是随机现象，这种现象就是随机现象，大量存在自然、经济、社大量存在自然、经济、社大量存在自然、经济、社大量存在自然
3、、经济、社会领域内。会领域内。会领域内。会领域内。n n 社会现象分成两种社会现象分成两种社会现象分成两种社会现象分成两种:确定确定确定确定性现象和非确定性现象性现象和非确定性现象性现象和非确定性现象性现象和非确定性现象确定性现象与非确定性现象n n确定性现象确定性现象:在一定的条件在一定的条件(S)(S)下某种结果必然会下某种结果必然会发生的现象发生的现象,此时现象的可能结果只有一个此时现象的可能结果只有一个,并且并且事先就能够确定事先就能够确定.n nEG,EG,向空中扔一石块必然会落地向空中扔一石块必然会落地;标准大气压下水在标准大气压下水在100100时肯定会沸时肯定会沸腾腾.n n非
4、确定性现象非确定性现象:指在某种条件实现后指在某种条件实现后,某种结果可某种结果可能发生也可能不发生的现象能发生也可能不发生的现象.也就是说也就是说,此时存在此时存在多种可能性多种可能性,但究竟发生哪种结果事先却不能肯定但究竟发生哪种结果事先却不能肯定.n nEG,EG,向空中抛掷一枚硬币向空中抛掷一枚硬币,落地后正面朝上的结果是不能事先确定的落地后正面朝上的结果是不能事先确定的,从洗好的扑克牌中任意抽出一张来，它是黑桃从洗好的扑克牌中任意抽出一张来，它是黑桃2 2的结果也是不能事先的结果也是不能事先确定的。确定的。问题：既然社会中存在大量的非确定性现象，那么预期或预测如何可能？n n统计规律
5、：从表面上看来非确定性现象好像是捉统计规律：从表面上看来非确定性现象好像是捉摸不定的，纯粹是偶然性起支配作用，但实际上，摸不定的，纯粹是偶然性起支配作用，但实际上，在研究了大量同类现象后，通常会揭示出一种确在研究了大量同类现象后，通常会揭示出一种确定的规律性，这就是所谓的统计规律定的规律性，这就是所谓的统计规律。n nEGEG，如果无数次投掷硬币，就可以断定正面朝上的次数与抛掷总次数，如果无数次投掷硬币，就可以断定正面朝上的次数与抛掷总次数的比接近的比接近1/21/2。1、随机现象具有双重性：n n 偶然性：在一次试验或观察中事件出现的可能具有偶然性；可能会出现它表示为：若，可能n n统计规律
6、性：在相同条件下，进行大量重复试验或观察时，随机事件出现可能的大小是稳定的。概率论研究的正是随机现象的统计规律性。概率论研究的正是随机现象的统计规律性。EGn n重复投掷骰子，根据概率论，可以知道出现1点、2点、3点、4点、5点和6点的可能性均为1/6。n n2009年在武汉市发生的经济适用房抽签中出现的“六连号”事件。显然不符合概率论。2、偶然性和规律性的关系n n 单独的现象具有偶然性，但对于大量的现象，具有规律单独的现象具有偶然性，但对于大量的现象，具有规律性。性。“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐蔽着的规律支配的，而问题
7、在于发现这始终是受内部隐蔽着的规律支配的，而问题在于发现这些规律。些规律。”恩格斯恩格斯n n偶然事件（随机事件）的概率就是随机事件隐蔽着的规偶然事件（随机事件）的概率就是随机事件隐蔽着的规律。律。n n随机现象是概率论的研究对象，概率论是统计推论的理随机现象是概率论的研究对象，概率论是统计推论的理论（数学）基础，概率是统计推论的依据。统计推论的论（数学）基础，概率是统计推论的依据。统计推论的所有数学表都是以概率为基础的。所有数学表都是以概率为基础的。二、概率随机事件随机事件随机事件随机事件（例子）（例子）（例子）（例子）：n n诞生的婴儿将是男诞生的婴儿将是男诞生的婴儿将是男诞生的婴儿将是男
8、孩；孩；孩；孩；n n某人将活到某人将活到某人将活到某人将活到8080岁以岁以岁以岁以上；上；上；上；n n明年报考公务员的明年报考公务员的明年报考公务员的明年报考公务员的人数将超过人数将超过人数将超过人数将超过200200万万万万人；人；人；人；n n明天将下雨；明天将下雨；明天将下雨；明天将下雨；随机事件：对随机现象进行的观察随机事件：对随机现象进行的观察或试验称为随机试验。在一定条或试验称为随机试验。在一定条件下所进行的随机试验中，可能件下所进行的随机试验中，可能发生或可能不发生的事情称为随发生或可能不发生的事情称为随机事件。通常用大写字母机事件。通常用大写字母A A、B B、C C等来
9、表示。等来表示。随机事件有两种极端情况：随机事件有两种极端情况：必然事件必然事件：如抛掷一枚硬币若无支：如抛掷一枚硬币若无支撑落于地上；撑落于地上；不可能事件不可能事件：如抛掷一枚硬币悬于：如抛掷一枚硬币悬于空中。空中。日常生活中，人们常用日常生活中，人们常用“比较级比较级”来表示随机来表示随机事件发生可能性的大小，事件发生可能性的大小，例如：例如：pp某生明年某生明年不可能不可能考上大学；考上大学；pp某生明年某生明年可能可能考上大学；考上大学；pp某生明年某生明年很可能很可能考上大学；考上大学；概率就是随机事件发概率就是随机事件发生可能性大小的数生可能性大小的数量表示。量表示。概率的表达实
10、质和这些概率的表达实质和这些概率的表达实质和这些概率的表达实质和这些“比较级比较级比较级比较级”是一样的，是一样的，是一样的，是一样的，只是更为精确。只是更为精确。只是更为精确。只是更为精确。下面是一些试验者（著名数学家）所做试验的记录n n试验者试验者 投掷总次数投掷总次数n n 出现正面朝上的次数出现正面朝上的次数mm（频数）（频数）频率频率=m/nm/nn n狄摩根狄摩根 2048 1061 0.5182048 1061 0.518n n布丰布丰 4040 2048 0.50694040 2048 0.5069n n皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.501612000 6019 0
11、.5016n n皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.500524000 12012 0.50052、随机事件的概率 在一组不变的条件在一组不变的条件在一组不变的条件在一组不变的条件S S S S下，重复做下，重复做下，重复做下，重复做n n n n次试验，次试验，次试验，次试验，m m m m为在为在为在为在n n n n次试验中事件次试验中事件次试验中事件次试验中事件A A A A发生的次数。当发生的次数。当发生的次数。当发生的次数。当n n n n很大时，事件很大时，事件很大时，事件很大时，事件A A A A发生的频率发生的频率发生的频率发生的频率m/nm/nm/nm/n稳定地在某一
12、常数稳定地在某一常数稳定地在某一常数稳定地在某一常数p p p p附近摆动，并附近摆动，并附近摆动，并附近摆动，并且随着试验次数且随着试验次数且随着试验次数且随着试验次数n n n n的增加，其摆动幅度会越来越小，的增加，其摆动幅度会越来越小，的增加，其摆动幅度会越来越小，的增加，其摆动幅度会越来越小，则事件则事件则事件则事件A A A A称为随机事件，并把数值称为随机事件，并把数值称为随机事件，并把数值称为随机事件，并把数值p p p p称为随机事件称为随机事件称为随机事件称为随机事件A A A A发生的概率，记作：发生的概率，记作：发生的概率，记作：发生的概率，记作：P(A)=pP(A)=
13、pP(A)=pP(A)=p概率的取值范围（0，1）n n不可能发生的事件不可能发生的事件,不可能事件：不可能事件：P(P()=0)=0n n一定发生的事件一定发生的事件,必然事件：必然事件：P(S)=1P(S)=1n n一般的随机事件，发生的可能性处于一般的随机事件，发生的可能性处于“必然必然”与与“不可能不可能”之间，发生的概率为：之间，发生的概率为：n n一般随机事件一般随机事件E E：0 0 P(E)1P(E)1n n另外，如果另外，如果记记 为为事件事件A A的逆事件，表示的逆事件，表示“事件事件A A不不发发生生”，那么，那么P(A)+P()=1P(A)+P()=1。三、概率的计算方
14、法n n1.频率法事件E的概率P(E)等于试验或者观察次数N趋于无穷时相应频率n/N的稳定值稳定值。社区学龄前儿童女性所占比例统计社区学龄前儿童女性所占比例统计儿童总数儿童总数女性儿童数女性儿童数女性儿童频率女性儿童频率10107 70.700.7020209 90.450.45303012120.400.40404017170.430.43505027270.540.54606031310.520.52707039390.560.56808040400.500.50909046460.510.5110010050500.500.5011011054540.490.4912012060600.
15、500.5013013064640.490.4914014070700.500.50试验者试验者掷币次数掷币次数N N正面次数正面次数n n正面频率正面频率f(E)f(E)蒲丰蒲丰40404040204820480.50690.5069皮尔逊皮尔逊1200012000601960190.50160.5016皮尔逊皮尔逊240002400012012120120.50050.5005某教授为了测试两个不同地域的同龄儿童的智力，某教授为了测试两个不同地域的同龄儿童的智力，出了出了1010个智力题，每题个智力题，每题1010分，进行统计结果如下：分，进行统计结果如下：参加测试参加测试人数人数3030
16、5050100100200200500500800800甲地得甲地得6060分以上人分以上人数数161627275252104104256256402402乙地得乙地得6060分以上人分以上人数数1717292956561111112762764404402.古典概率型（等可能概率）某银行储蓄卡上的密码是一种4位数字号码，每位上的数字可在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选取。某人忘记了密码的最后一位数字，若按下密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是（）基本概念n n样本点：随机试验中出现的每一个种结果Ei。n n样本空间：所有样本点的全体称作样本空间S。n n随机事件：
17、由部分样本点组成的结果称为随机事件。它是样本空间的某个子集。古典法有两个基本概念n n1 1、样本点和样本空间、样本点和样本空间n n我们把随机试验中的每一种结果称作一个样本点我们把随机试验中的每一种结果称作一个样本点EiEi，或，或称基本事件（称基本事件（Elementary eventElementary event）。而所有样本点的全）。而所有样本点的全体则称作样本空间（体则称作样本空间（Sample spaceSample space）S S。n n如：投掷一枚硬币，其随机试验的样本点为：如：投掷一枚硬币，其随机试验的样本点为：n nE1E1：正面朝上：正面朝上n nE2E2：反面朝上
18、：反面朝上n n其随机试验的样本空间为：其随机试验的样本空间为：n nS=S=正面朝上、反面朝上正面朝上、反面朝上n n请同学们写出投掷一颗骰子，其随机试验的样本点和样请同学们写出投掷一颗骰子，其随机试验的样本点和样本空间本空间n n2 2、随机事件（、随机事件（EventEvent）n n随机事件是基本事件自身或由基本事件组成的集合。它随机事件是基本事件自身或由基本事件组成的集合。它是样本空间是样本空间S S的某个子集。（用的某个子集。（用A A、B B等表示）等表示）n n如：投掷一颗骰子，如：投掷一颗骰子，“出现偶数点出现偶数点”就是一随机事件，就是一随机事件，它包括它包括“2”2”，“
19、4”4”，“6”36”3个基本事件（或样本点）：个基本事件（或样本点）：n nA=A=（“2”2”，“4”4”，“6”6”）n n“出现大于出现大于4 4的点数的点数”也是一随机事件，它包括也是一随机事件，它包括“5”5”，“6”26”2个基本事件：个基本事件：n nB=B=（“5”5”，“6”6”）为此，古典计算概率的方法：n n当随机试验满足以下两个条件：当随机试验满足以下两个条件：n n第一，它的样本空间只有有限个样本点；第一，它的样本空间只有有限个样本点；n n第二，每个样本点出现的可能性相同。第二，每个样本点出现的可能性相同。n n对于古典概率，如果事件对于古典概率，如果事件A A包
20、含包含mm个样本点，则事件个样本点，则事件A A的概率为：的概率为：事件所包含的样本点个数事件所包含的样本点个数 m m P(A)=P(A)=样本点总数样本点总数 n n例题1：n n抛掷一个骰子一次，问出现5点的概率是多少？出现奇数点的概率是多少？例题2一个袋子中装有3白2黑共5个同样大小的塑料球。(1)从中任取一个，取到白球的概率是多少？(2)任取两球，全是白球的概率是多少？复习：组合n n一般来说，从一般来说，从n n个不同个不同元素中，任取元素中，任取mm（mn)mn)个元素编成个元素编成一组，称为从一组，称为从n n个不同个不同元素中每次取元素中每次取mm个元素个元素的一个组合，这些
21、组的一个组合，这些组合的种数记作合的种数记作n!表示n的阶乘，n!=n(n-1)(n-2)3 2 1复习：排列n n一般来说，从一般来说，从n n个不同个不同元素中，任取元素中，任取mm（mn)mn)个元素按照个元素按照一定的顺序排成一列，一定的顺序排成一列，称为从称为从n n个不同元素中个不同元素中每次取每次取mm个元素的一个个元素的一个排列，这些排列的种排列，这些排列的种数记作数记作n!表示表示n的阶乘的阶乘，n!=n(n-1)(n-2)3 2 1排列和组合的区别n n有顺序有顺序排列；排列；n n无顺序无顺序组合；组合；n n两者的联系：两者的联系：四、概率的运算n n（一）事件之间的关
22、系n n事件包含与相等n n事件和n n事件积n n互不相容事件n n对立事件 1.1.包含关系包含关系包含关系包含关系“事件事件事件事件A A A A发生必导致发生必导致发生必导致发生必导致事件事件事件事件B B B B发生发生发生发生”记为记为记为记为A A A A B B B B A A A AB B B B A A A A B B B B且且且且B B B B A.A.A.A.n n某学院下设某学院下设2 2个系，甲系和乙系。人数分布如下：个系，甲系和乙系。人数分布如下：n n 单位：人单位：人n n事件事件A A表示甲系女生，事件表示甲系女生，事件B B表示全院女生，则表示全院女生，
23、则A A B B系系 别别性性 别别甲系甲系乙系乙系合计合计男生男生100100150150250250女生女生120120100100220220合计合计2202202502504704702.2.事件和：事件和：事件和：事件和：“把事件把事件把事件把事件A A与与与与B B的所有的样本点合到的所有的样本点合到的所有的样本点合到的所有的样本点合到一起所构成的事件称为事件一起所构成的事件称为事件一起所构成的事件称为事件一起所构成的事件称为事件A A和事件和事件和事件和事件B B的和的和的和的和”，记，记，记，记作作作作A A B B或者或者或者或者A+BA+Bn n事件A农村中的政治、文化精英
24、n n事件B农村中的经济精英n n事件C农村中的精英3.事件积事件积事件积事件积:A:A与与B B同时发生同时发生，记作，记作 A A B BABABn n事件A=家庭人均收入低于本城市最低收入水平n n事件B=具有本城市居民身份n n事件C=家中没有饲养宠物n n事件D=家中没有机动车辆4.互不相容事件互不相容事件互不相容事件互不相容事件：事件事件A的发生必导致事件的发生必导致事件B不发生，不发生，则事件则事件A与事件与事件B为互不相容事件或者互斥事件。记做为互不相容事件或者互斥事件。记做AB 例n n有红、黑、蓝、白四张牌，随机分给甲乙丙丁四个人，每人分得一张，则以下两事件的关系 事件A=
25、甲分得红牌 事件B=乙分得红牌5.对立对立事件事件事件事件：事件事件A与事件与事件B为互不相容事件，并为互不相容事件，并且在一次试验中必有其一发生，则事件且在一次试验中必有其一发生，则事件A与事件与事件B为对立事件。记做为对立事件。记做 A B S,且且AB A从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任意取两个数字，其中 事件A=至少有一个是奇数 事件B=两个都是偶数这两个事件的关系为对立事件例题例题 从装有红色球和绿色球的口袋内任取从装有红色球和绿色球的口袋内任取2 2个球（红球个球（红球和绿球的个数都大于和绿球的个数都大于2 2），那么互斥而不对立的两），那么互斥而不对立的两个事件是：个事件
26、是：A A、至少有一个红色球，至少有一个绿色球、至少有一个红色球，至少有一个绿色球 B B、恰有一个红色球，恰有两个绿色球、恰有一个红色球，恰有两个绿色球 C C、至少有一个红色球，都是红色球、至少有一个红色球，都是红色球 D D、至少有一个红色球，都是绿色球、至少有一个红色球，都是绿色球 （二）概率的加法运算n n加法法则n n（1）事件A与事件B互不相容时 P（A+B）=P（A）+P（B）（2）事件A与事件B不满足互不相容条件时 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）（二）概率的加法运算1、特殊情况 若事件若事件A A与事件与事件B B互不相容（互斥），即两件事互不相容（互斥），即两
27、件事情不可能同时发生，那么事件情不可能同时发生，那么事件A A或事件或事件B B发生的概发生的概率等于两事件单独发生概率之和：率等于两事件单独发生概率之和：P(A+B)=P(A)+P(B)n n例3：抛掷骰子一次，若事件A表示出现5点的情况，事件B表示出现6点的情况。那么，抛掷骰子一次，出现5点或6点的概率为：n n例4：某年级共有学生100名，其中来自广东省的有25名，来自广西省的有10名，问任抽一名，来自两广的概率是多少？2、一般情况对于任意两个事件A和B，满足事件A和事件B互不相容，则事件“A+B”的概率为事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与事件B同时发生的概率公式为：P(A+B)
28、=P(A)+P(B)-P(AB)例题5：n n为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生父亲具有大学文化程度的占25%，母亲具有大学文化程度的占18%，而父母双方都具有大学文化的占10%，问学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？例6：n n若事件A表示抛掷骰子一次，出现偶数点的情况，事件B表示出现的点数大于3的情况。请问，抛掷骰子一次，出现偶数点或点数大于3的概率为：（三）概率的乘法定理n n乘法法则乘法法则（1 1）事件）事件A A与事件与事件B B相互独立相互独立相互独立相互独立时，时，P P（ABAB）=P=P（A A）P P（B B）（2 2）事件
29、事件A A与事件与事件B B不满足相互独立的条件时不满足相互独立的条件时，P P（ABAB）=P=P（A A）*P P（B/AB/A）P P（ABAB）=P=P（B B）*P P（A/BA/B）P P（A/BA/B）指事件）指事件B B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A A发生的概率。发生的概率。P P（B/AB/A）指事件）指事件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生的概率发生的概率（三）概率的乘法定理1 1、特殊情况、特殊情况 若事件若事件A A与事件与事件B B相互独立相互独立，即事件，即事件A A的发生不的发生不影响事件影响事件B B的发生，同时事件的发生，同时事件B
30、 B的发生也不影响的发生也不影响事件事件A A的发生，那么事件的发生，那么事件A A和事件和事件B B同时发生的同时发生的概率为：概率为：P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)推论：推论：n n例7：抛掷一枚硬币10次，求10次都正面朝上的概率。2、一般情况对于任意两个事件A和B，乘法公式为：P(AB)=P(A)P(B/A)P(B/A)P(B/A)又称为条件概率，表示在事件又称为条件概率，表示在事件A A发生发生的条件下事件的条件下事件B B发生的概率。发生的概率。n n例8：盒中装有16个球，其中6个为玻璃球，剩下10个为木质球。而玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质
31、球中有3个是红色的，7个是蓝色的。现从中任取1个，问得到蓝色玻璃球的概率是多少？概率在日常生活中运用的例子:n n1.你结交了一位新朋友,问她是否有孩子.她说有两个.你问,有女孩吧?她说有.那么两个孩子都是女孩的概率是多少?n n2.你结交了一位新朋友,问她是否有孩子.她说有两个.你问大的是女孩吧?她说是.那么两个孩子都是女孩的概率是多少?小提示n n两事件独立必然不互斥；n n两事件互斥必然相依（不独立）；n n两事件不互斥则可能相依也可能独立；在抽样方法中还经常涉及到在抽样方法中还经常涉及到在抽样方法中还经常涉及到在抽样方法中还经常涉及到回置抽样回置抽样回置抽样回置抽样和和和和不回置抽样不
32、回置抽样不回置抽样不回置抽样。如前所。如前所。如前所。如前所述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前的。因为每一次抽取
33、后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就
34、不再独立了，必须使用条件概率的概念。条件概率的概念。条件概率的概念。条件概率的概念。n n用不回置法从一幅普用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算通扑克牌抽取两次，计算得到两张爱司的概率。得到两张爱司的概率。n n用回置法从一幅普通用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算扑克牌抽取两次，计算得到两张爱司的概率。得到两张爱司的概率。五、概率分布、均值与方差（一）概率分布的主要内容n n离散型随机变量概率分布离散型随机变量概率分布n n(所有变量都可以属于离散型变量)连续型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布n n(只有定距以上变量属于连续型变量)n n分布函数分布函数 随机事件及其概率回答的是
35、随机现象某一局部随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率分布则要在满足完备性分布则要在满足完备性分布则要在满足完备性分布则要在满足完备性(穷举穷举穷举穷举)和互不相容性和互不相容性和互不相容性和互不相容性(互斥互斥互斥互斥)的的的的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以前提下，回答随机现象一共
36、会出现多少种结果，以前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以及每种结果所伴随的概率是多少。及每种结果所伴随的概率是多少。及每种结果所伴随的概率是多少。及每种结果所伴随的概率是多少。应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样在宏观层次加以识别的而与特定排列次序
37、无关的样在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样本空间的子集。本空间的子集。本空间的子集。本空间的子集。X X2 23 34 45 56 67 78 89 91 10 01 11 11 12 2合计合计合计合计P(X)P(X)例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它一共有一共有1111种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果计算计算P P，便得到了如下表所示的概率分布。，便得到了如下表所示的概率分布。频率分布与概率分布的区频率分布与概率分布的区频率分布与概率分布的区频
38、率分布与概率分布的区别别别别 经验分布：经验分布：频率分布是经资料整理而来频率分布是经资料整理而来;频率分布随样本不同而不同频率分布随样本不同而不同;频率分布有对应的频数分布。频率分布有对应的频数分布。理论分布：理论分布：概率分布是先验的；概率分布是先验的；概率分布是唯一的；概率分布是唯一的；概率分布无频率分布概率分布无频率分布所对应的频数分布。所对应的频数分布。1.1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值
39、是可数的，如果对X X的每个可能取值的每个可能取值的每个可能取值的每个可能取值x xi i计算计算计算计算其实现的概率其实现的概率其实现的概率其实现的概率P Pi i，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即 离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的概率分布也可以用的概率分布也可以用的概率分布也可以用的概率分布也可以用表格和图形两种形式表格和图形两种形式表格和图形两种形式表格和图形两种形式来表示。由于离散型来表示。由于离散型来表示。由于离散型来表示。由
40、于离散型随机变量的特点，表随机变量的特点，表随机变量的特点，表随机变量的特点，表示离散型随机变量概示离散型随机变量概示离散型随机变量概示离散型随机变量概率分布多为折线图。率分布多为折线图。率分布多为折线图。率分布多为折线图。n nP(X=xi)=pi (i=1,2,3,n,)P(X=xi)=pi (i=1,2,3,n,)n n对于对于pi(ipi(i=1,2,3,n,),=1,2,3,n,),有有n n（1 1），即每个概率值在，即每个概率值在0 0与与1 1之间；之间；n n（2 2），即所有变量对应的概率值之和等，即所有变量对应的概率值之和等于于1.1.2.2.连续型随机变量的概率分布连续
41、型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率是无连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率是无连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率是无连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率是无意义的。为此，我们引进概率密度意义的。为此，我们引进概率密度意义的。为此，我们引进概率密度意义的。为此，我们引进概率密度 的概念来表达连续型随机的概念来表达连续型随机的概念来表达连续型随机的概念来表达连续型随机变量的概率分布。变量的概率分布。变量的概率分布。变量的概率分布。卢淑华书第
42、三章第三节曾出卢淑华书第三章第三节曾出现过频率密度的概念，频率密度等于频现过频率密度的概念，频率密度等于频率除以组距。以频率密度为纵坐标，率除以组距。以频率密度为纵坐标，可以作出频率分布直方图。类似地，可以作出频率分布直方图。类似地，以概率密度以概率密度 为纵坐标，可以作为纵坐标，可以作出概率密度曲线。所不同的是，概率出概率密度曲线。所不同的是，概率密度由于对组距求了密度由于对组距求了xx0 0的极的极限，其图形乃平滑曲线。限，其图形乃平滑曲线。这样一来，随机变量这样一来，随机变量这样一来，随机变量这样一来，随机变量X X取值在区间取值在区间取值在区间取值在区间 x x1 1，x x2 2 上
43、的概上的概上的概上的概率等于概率密度曲线率等于概率密度曲线率等于概率密度曲线率等于概率密度曲线 下面下面下面下面x x1 1与与与与x x2 2两点之间面积，两点之间面积，两点之间面积，两点之间面积，即即即即 所以所以所以所以有概率密有概率密有概率密有概率密度的性质度的性质度的性质度的性质因为概率不可能是负的，因为概率不可能是负的，因为概率不可能是负的，因为概率不可能是负的，且且且且 3.3.分布函数分布函数分布函数分布函数 为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函为了从数
44、学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函数数数数 的概念，它被定义为的概念，它被定义为的概念，它被定义为的概念，它被定义为 有了分布函数，就可以很容易得到随机变量有了分布函数，就可以很容易得到随机变量有了分布函数，就可以很容易得到随机变量有了分布函数，就可以很容易得到随机变量X X取值在任意区间取值在任意区间取值在任意区间取值在任意区间 x x1 1，x x2 2 上的概率，即上的概率，即上的概率，即上的概率，即 连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量 和和 (离散变量离散变量)或或 (连续变量连续变量)的关系，的
45、关系，就像向上累计频率和频率的关系一样。不同之处在于，就像向上累计频率和频率的关系一样。不同之处在于，累计的是累计的是概率。但使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对概率。但使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对离散型随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率离散型随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点都固定为的起点都固定为，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。区间的概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。例例例例 求两颗骰子点数的分布函数。求
46、两颗骰子点数的分布函数。求两颗骰子点数的分布函数。求两颗骰子点数的分布函数。X X2 23 34 45 56 67 78 89 91 10 01 11 11 12 2合计合计合计合计P(X)P(X)F(X)F(X)一些符号的读法1 alpha a:lf 阿尔法阿尔法 2 beta bet 贝塔贝塔 3 gamma ga:m 伽马伽马 4 delta delt 德尔塔德尔塔 5 epsilon epsilon 伊普西龙伊普西龙 6 zeta zat 截塔截塔 7 eta eit 艾塔艾塔 8 thet it 西塔西塔 9 iot aiot 约塔约塔 10 kappa kap 卡帕卡帕 11 la
47、mbda lambd 兰布达兰布达 12 mu mju 缪缪 13 nu nju 纽纽 14 xi ksi 克西克西 15 omicron omikron 奥密克戎奥密克戎 16 pi pai 派派 17 rho rou 肉肉 18 sigma sigma 西格马西格马 19 tau tau 套套 20 upsilon jupsilon 宇普西龙宇普西龙 21 phi fai 佛爱佛爱 22 chi phai 西西 23 psi psai 普西普西 24 omega omiga 欧米伽欧米伽4.4.数学期望数学期望数学期望数学期望(总体均值总体均值总体均值总体均值)在前面统计分组的讨论中，我们
48、在得到频数在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数(或频率或频率或频率或频率)分布分布分布分布后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分别得到了平均指标趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分别得到了平均指标趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分别得到了平均指标趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分
49、别得到了平均指标和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出集中趋势和离中趋势
50、作概括性的描述，这就引出数学期望数学期望数学期望数学期望和和和和变异变异变异变异数数数数(方差方差方差方差)这两个概念。这两个概念。这两个概念。这两个概念。所谓所谓所谓所谓数学期望数学期望数学期望数学期望，是反映随机变量，是反映随机变量，是反映随机变量，是反映随机变量X X取值的集中趋势的理论均取值的集中趋势的理论均取值的集中趋势的理论均取值的集中趋势的理论均值值值值(算术平均算术平均算术平均算术平均)，记作，记作，记作，记作E E(X X)。离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例 谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手