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1、第五章第五章定积分及其应用 6 定积分在几何上应用定积分在几何上应用第1页5.6 定积分在几何上应用定积分在几何上应用 若能把某个量表示若能把某个量表示成定积分成定积分,我们就能够我们就能够计算了计算了.第2页回顾回顾 曲边梯形求面积问题曲边梯形求面积问题问题提出问题提出ab xyo一、定积分应用微元法一、定积分应用微元法A第3页面积表示为定积分步骤以下面积表示为定积分步骤以下（3）求和，得求和，得A近似值近似值（4）求极限，得求极限，得A准确值准确值第4页ab xyo提醒提醒面面积积微微元元对以上过程进行简化对以上过程进行简化:这种简化以后定积分方法叫这种简化以后定积分方法叫“微元法微元法”
2、第5页微元法普通步骤：微元法普通步骤：两边积分两边积分第6页第7页曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积1.直角坐标系情形直角坐标系情形二、用定积分求平面图形面积二、用定积分求平面图形面积上曲线上曲线下曲线下曲线第8页xoyxx+dx总之总之x+dxx第9页解解两曲线交点两曲线交点面积微元面积微元选选 为积分变量为积分变量可直接由公式得到可直接由公式得到x+dxx第10页求面积普通步骤：求面积普通步骤：1.作图求交点作图求交点.2.用定积分表示面积用定积分表示面积.3.求出定积分值求出定积分值.微元法微元法公式法公式法第11页解解由公式得：由公式得：例例2可直接从几何可直接从几何意义
3、上得到意义上得到xy=sinxoy第12页解解两曲线交点两曲线交点说明：注意各积分区间上被积函数形式说明：注意各积分区间上被积函数形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选x 吗？吗？选选 为积分变量为积分变量第13页选选 为积分变量为积分变量yy+dy说明说明:合理选择积分变量会使计算简单合理选择积分变量会使计算简单.第14页普通地普通地:y+dyyoyxdcoyxdcy+dyy右曲线右曲线左曲线左曲线第15页例例4解解 如图求得交点为如图求得交点为oxy取取y为积分变量为积分变量第16页假如曲边梯形曲边为参数方程假如曲边梯形曲边为参数方程曲边梯形面积曲边梯形面积（相当于定积分换元）（相当
4、于定积分换元）由由知知第17页解解椭圆参数方程椭圆参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积第18页面积元素面积元素曲边扇形面积为曲边扇形面积为:2.极坐标系情形极坐标系情形第19页解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积第20页解解利用对称性知利用对称性知第21页求在直角坐标系下、参数方程形求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下式下、极坐标系下平面图形面积平面图形面积.（注意恰当（注意恰当选择积分变量选择积分变量有利于简有利于简化积分运算）化积分运算）总结总结微元法微元法第22页oyxoyxoyxoyx第23页思索题思索题请列出请列出f(x)所满足关系式所满足关系式第24页第25页