《广东东莞中学、广州二中、惠州一中等六校2024届高三上学期11月期中联考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东东莞中学、广州二中、惠州一中等六校2024届高三上学期11月期中联考数学试题含答案.pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学学 2024 届高三第三次六校联考试题届高三第三次六校联考试题 数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.集合0,1,2A=，集合2,0,1B=，则AB=（）A.0,1 B.2,0 C.2,1,0 D.0,1,2 2.若复数 z 满足()34i1z=，则z=（
2、）A.1 B.15 C.17 D.125 3.已知非零向量a、b满足2ba=，且()aab，则a与b的夹角为（）A.3 B.2 C.23 D.56 4.已知17tantan422+=，则cos2=（）A.12 B.12 C.45 D.45 5.已知函数()sin2f xx=和直线 l：2yxa=+，那么“直线 l与曲线()yf x=相切”是“0a=”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知 a，b为正实数，且21ab+=，则22121abab+的最小值为（）A.12 2+B.22 2+C.32 2+D.42 2+7.已知三棱锥SABC如图
3、所示，AS、AB、AC两两垂直，且2 2ASABAC=，点E、F分别是棱AS、BS的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点，则空间几何体EFGABC的体积为（）的 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.11 26 B.2 2 C.13 26 D.7 23 8.已知数列ka为有穷整数数列，具有性质 p：若对任意1,2,3,4n，ka中存在ia，1ia+，2ia+，ija+（1i，0j，i，Nj），使得12iiiijaaaan+=，则称ka为 4-连续可表数列.下面数列为 4-连续可表数列的是（）A.1,1,1 B.1,1,2 C.1,3,1 D.2,3,6 二、选择题：本题共二、选择题：
4、本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确是（）A.9,2ak=，(),8bk=，若/a b，则6k=B.若acbc=且0c，则ab=C.若点 G是ABC的重心，则0GAGBGC+=D.若向量()1,1a=，()2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为2a 10.已知函数22si1()scosconf xxxx=+的图象为C，以下说法中正
5、确的是（）A.函数()f x的最大值为212+B.图象C相邻两条对称轴的距离为2 C.图象C关于,08中心对称 D.要得到函数in22syx=的图象，只需将函数()f x的图象横坐标伸长为原来的 2倍，再向右平移4个单位 的的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 11.若函数()f x的定义域为 D，若对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()()121f xf x+=，则称()f x为“型函数”，则下列说法正确的是（）A.函数()lnf xx=是“型函数”B.函数()sinf xx=是“型函数”C.若函数()f x是“型函数”，则函数()1f x也是“型函数”D.已知Rm，若()s
6、inf xmx=+，,2 2x 是“型函数”，则12m=12.已知棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中，P为线段1AC上一动点，则下列判断正确的是（）A.存在点 P，使得11/C P AB B.三棱锥1PBC D的外接球半径最小值为63 C.当 P 为1AC中点时，过 P 与平面1BC D平行的平面截正方体所得的截面面积为3 34 D.存在点 P，使得点 P到直线11BC的距离为45 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.关于x的不等式()220axab x+的解集为()3,1，则ab+=_.14.已知数列 na的前n项
7、和，21nnS=，则210log a=_.15.已知函数()()221,12,1xxf xxx=，关于 x的方程()()20fxa f x=有六个不等的实根，则实数 a的取值范围是_.16.如图，已知函数()()sinf xAx=+（其中0A，0，2）的图象与 x 轴交于点 A，B，与 y轴交于点 C，2BCBD=，3OCB=，2OA=，2 213AD=.则函数()f x在1,6上的值域为_.的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知
8、nS为数列 na的前n项和，且11a=，()211nnnSnSnn+=+，nN.（1）证明：数列nSn为等差数列，并求 nS的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，设数列 nb的前n项和为nT，求nT.18.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且coscos2 cosbAaBcA+=.（1）求角A的值；（2）已知点D为BC的中点，且2AD=，求a的最大值.19.若二次函数()f x满足()()25152f xf xxx+=（1）求()f x的解析式；（2）若函数()()lng xx xf x=+，解关于x的不等式：()()22g xxg+.20.如图（1）所示，在ABC中，60
9、ABC=，过点A作ADBC，垂足D在线段BC上，且2 3AD=，5CD=，沿AD将CDA折起（如图（2），点E、F分别为棱AC、AB的中点.第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：ADEF；（2）若二面角CDAB所成角的正切值为2，求二面角CDFE所成角的余弦值.21.已知数列 na是公比大于 0 的等比数列，14a=，364a=.数列 nb满足：21nnnbaa=+（Nn）.（1）求数列 nb的通项公式；（2）证明：22nnbb是等比数列；（3）证明：()122(21)(21)2 2N*knkkkkkbb=+.第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 东莞中学、广州二中、
10、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学学 2024 届高三第三次六校联考试题届高三第三次六校联考试题 数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.集合0,1,2A=，集合2,0,1B=，则AB=（）A.0,1 B.2,0 C.2,1,0 D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为0,1,2A=，2,0,1B=，所以0,1AB=.故
11、选：A 2.若复数 z 满足()34i1z=，则z=（）A 1 B.15 C.17 D.125【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i34i3434i1i34i34i34i252525zz+=+，所以2234125255z=+=.故选：B.3.已知非零向量a、b满足2ba=，且()aab，则a与b的夹角为（）A.3 B.2 C.23 D.56.第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】A【解析】【分析】分析可得()0aab=，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos,a b 的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a与b的夹角.【详
12、解】因为非零向量a、b满足2ba=，且()aab，则()2222cos,2cos,0aabaa baaba baaa b=，所以，1cos,2a b=，又因为0,a b，故,3a b=.因此，a与b的夹角为3.故选：A.4.已知17tantan422+=，则cos2=（）A.12 B.12 C.45 D.45【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan的方程，解出tan的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos2的值.【详解】因为tantantan1174tantan41tan221tantan4+=，整理可得2tan6tan90+=，解得tan3=，所以，22222
13、2cossin1tan1 94cos2cossin1tan1 95=+.故选：C.5.已知函数()sin2f xx=和直线 l：2yxa=+，那么“直线 l与曲线()yf x=相切”是“0a=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据直线l与曲线()yf x=相切，求出2,akkZ=，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论【详解】设函数()sin2f xx=和直线:2l yxa=+的切点坐标为()00,xy，则()00002cos22sin22fxxxxa=+，可得2
14、,akkZ=，所以0a=时，直线l与曲线()yf x=相切；直线l与曲线()yf x=相切不能推出0a=因此“0a=”是“直线l与曲线()yf x=相切”的必要不充分条件 故选：B 6.已知 a，b为正实数，且21ab+=，则22121abab+的最小值为（）A.12 2+B.22 2+C.32 2+D.42 2+【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b满足21ab+=，则221211111(2)()1(2)()abababababab+=+=+2244242 2bab aabab=+=+，当且仅当2baab=，即221ab=时取等号，
15、所以当221,12ab=时，22121abab+取得最小值42 2+.故选：D 7.已知三棱锥SABC如图所示，AS、AB、AC两两垂直，且2 2ASABAC=，点E、F分别是棱AS、BS的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点，则空间几何体EFGABC的体积为（）第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 A.11 26 B.2 2 C.13 26 D.7 23【答案】C【解析】【分析】过点G作/GH AC，交SA于点H，证明出GH 平面SAB，计算出三棱锥CSAB、GSEF的体积，可得出EFG ABCC SABG SEFVVV=，即可得解.【详解】过点G作/GH AC，交SA于点H，因为A
16、CAB，ACSA，ABASA=，AB、AS 平面SAB，所以，AC 平面SAB，因为/GH AC，则GH 平面SAB，且34GHSGACSC=，则33 242GHAC=，因为E、F分别为SA、BS的中点，则()21112 21442SEFABSSS=，所以，113 2213322G SEFSEFVSGH=，()31118 22 23323C SABSABVSAC=，第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 因此，8 2213 2326EFG ABCC SABG SEFVVV=.故选：C.8.已知数列ka为有穷整数数列，具有性质 p：若对任意的1,2,3,4n，ka中存在ia，1ia+，2i
17、a+，ija+（1i，0j，i，Nj），使得12iiiijaaaan+=，则称ka为 4-连续可表数列.下面数列为 4-连续可表数列的是（）A.1,1,1 B.1,1,2 C.1,3,1 D.2,3,6【答案】B【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得【详解】选项 A中，1233aaa，和不可能为 4，A不是 4-连续可表数列；选项 B中，112231231,2,3,4aaaaaaaa=+=+=+=，B 是 4-连续可表数列；选项 C中，没有连续项的和为 2，C 不是 4-连续可表数列；选项 D中，没有连续项的和为 1，D不是 4-连续可表数列 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共
18、4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.9,2ak=，(),8bk=，若/a b，则6k=B.若acbc=且0c，则ab=C.若点 G是ABC的重心，则0GAGBGC+=D.若向量()1,1a=，()2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为2a【答案】CD【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断 A 选项；利用向量垂直的表示可判
19、断 B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断 C 选项；利用投影向量的定义可判断 D 选项.【详解】对于 A选项，已知9,2ak=，(),8bk=，若/a b，则298362k=，解得6k=，A错；第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 对于 B选项，若acbc=且0c，则()0a cb ccab =，所以，ab=或()cab，B 错；对于 C选项，若点 G是ABC的重心，则0GAGBGC+=，C 对；对于 D选项，若向量()1,1a=，()2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为21cos,2aa baa bba bbaaaabaa=，D 对.故选：CD.10.已知函数22si1()
20、scosconf xxxx=+的图象为C，以下说法中正确的是（）A.函数()f x的最大值为212+B.图象C相邻两条对称轴的距离为2 C.图象C关于,08中心对称 D.要得到函数in22syx=的图象，只需将函数()f x的图象横坐标伸长为原来的 2倍，再向右平移4个单位【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si1()scosconf xxxx=+cos2111222sin2sin22cos2sin 222222224xxxxx+=+=+=+，所以函数()f x的最大值为22，故 A错误；函数()f x的最
21、小正周期22T=，所以图象C相邻两条对称轴的距离为2，故 B正确；因为2sin 208284f=+=，所以图象C关于,08中心对称，故 C正确；第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 将()2sin 224f xx=+的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到2sin24yx=+，再将2sin24yx=+向右平移4个单位得到2sin2yx=，故 D正确；故选：BCD 11.若函数()f x的定义域为 D，若对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()()121f xf x+=，则称()f x为“型函数”，则下列说法正确的是（）A.函数()lnf xx=是“型函数”B.函数()sinf xx
22、=是“型函数”C.若函数()f x是“型函数”，则函数()1f x也是“型函数”D.已知Rm，若()sinf xmx=+，,2 2x 是“型函数”，则12m=【答案】ACD【解析】【分析】根据所给函数的定义求解 C，根据对数运算求解 A，根据三角函数的周期性以及单调性求解 BD.【详解】对于 A,由()()121f xf x+=可得121212lnln1ln1exxx xx x+=，所以21exx=，故 A正确，对于 B，取12x=，则由()()121f xf x+=以及()sinf xx=可得22sin0,Zxxkk=,故这与存在唯一的2xD矛盾，故 B错误，对于 C，由于函数()f x是“
23、型函数”，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()()121f xf x+=，故()()12111f xf x+=，因此对于对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得()()12111f xf x+=，故()1f x是“型函数”，C正确，对于D，对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得12sinsin1mxmx+=，所以21sin1 2sinxmx=，由于11,sin1,12 2xx，所以 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 21sin1 2sin2,22,xmxmm=，由于sinyx=在,2 2x 单调递增，所以21m 且221m，故12m=，D正确，故选：ACD 12.已知棱
24、长为 1的正方体1111ABCDABC D中，P为线段1AC上一动点，则下列判断正确的是（）A.存在点 P，使得11/C P AB B.三棱锥1PBC D的外接球半径最小值为63 C.当 P 为1AC的中点时，过 P与平面1BC D平行的平面截正方体所得的截面面积为3 34 D.存在点 P，使得点 P到直线11BC的距离为45【答案】BCD【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解 A，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定 B，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定 C，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解 D.【详解】由于1112,BC
25、C DBDBDC=为等边三角形，且其外接圆的半径为1262sin603r=，由于1AA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD，又11,ACBD ACAAA AC AA=平面11AAC C，所以BD平面11AAC C，1AC 平面11AAC C，故1BDAC，同理可证11BCAC,因此11,BDBCB BD BC=平面1BDC，故1AC 平面1BDC，因此三棱锥1PBC D为正三棱锥，设外接球半径为R，球心到平面1BDC的距离为h，则22Rrh=+，故当0h=时，63Rr=为最小值，故 B 正确，取11,AB C D AD的中点为,M Q,N,连接,NM MQ NQ,当P是1AC的中点
26、，也是QM的中点，第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 则该截面为与平面1BC D平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为222NMAM=,所以截面面积为1223 36sin602224=，C正确，对于 D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1DCA()111,0,0C BDA=,设()()111,1,1,APaACaa aa=，(01a),()()()1111,0,1,0,1,B PAPABa aaa aa=,所以点 P 到直线11BC的距离为22222211111111321221222C BdB PB Paaaaa
27、aC B=+=+=+，由于01a，所以21122,1222da=+，由于42,152,故 D 正确，由于()()1,1,1,1B Pa aaPa aa=，()10,1,1C,则()11,1,C Pa aa=,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1ABAB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C Pa aa=共线，则10a=，1a=，此时()10,0,1C P=，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=不共线，故11,C P AB不平行 故 A 错误，故选：BCD 第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小
28、题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.关于x的不等式()220axab x+的解集为()3,1，则ab+=_.【答案】43#113【解析】【分析】分析可知，3、1是关于x的方程()220axab x+=的两根，利用韦达定理可得出ab+的值.【详解】因为关于x的不等式()220axab x+的解集为()3,1，则a，关于 x的方程()()20fxa f x=有六个不等的实根，则实数 a的取值范围是_.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x=或()f xa=，其中()0f x=可解得两个根，因此()f xa=应有 4个根，作出函数y=()f x的图象与直线ya=，由图象
29、得它们有 4 个交点时的参数范围【详解】2()()0fxaf x=，则()0f x=或()f xa=，2100 xx=，2(2)02xx=，即()0f x=有两个根，因此()f xa=应有 4 个根，作出函数y=()f x的图象与直线ya=，由图象可知，当01a，0，2）的图象与 x 轴交于点 A，B，与 y轴交于点 C，2BCBD=，3OCB=，2OA=，2 213AD=.则函数()f x在1,6上的值域为_.第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】8 16,33【解析】【分析】由题意可得：3|sin|2A=+，sin(2)0+=，可得A，B，C，D的坐标，根据2 21|3A
30、D=，可得方程22228(1)243A sin+=，进而解出，A，即可求出()f x，再由三角函数的性质求解 详解】由题意可得：|3|OBOC=，3sin2A=+，sin(2)0+=，(2,0)A，2,0B+，(0,sin)CA，sin1,22AD+，2 213AD=，222sin281243A+=，把1sin(2)3A=+代入上式可得：2()2240=，0.解得6=，6=，sin()03+=，|2，解得3=.3sin263A=+，0A，解得163A=，所以函数16()sin()363f xx=，【第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 1,6x时，2,6363x，1sin(),163
31、2x，168 16()sin(),36333f xx=故答案为：8 16,33 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知nS为数列 na的前n项和，且11a=，()211nnnSnSnn+=+，nN.（1）证明：数列nSn为等差数列，并求 nS的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，设数列 nb的前n项和为nT，求nT.【答案】（1）证明见解析，2nSn=（2）21nnTn=+【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列nSn为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列
32、nSn的通项公式，进而可得出数列 nS的通项公式；（2）利用nS与na的关系可求出数列 na的通项公式，再利用裂项相消法可求得nT.【小问 1 详解】解：对任意的nN，()211nnnSnSnn+=+，则()()()21111111nnnnnSnSSSnnnnn nn n+=+，所以，数列nSn为等差数列，且其首项为111S=，公差为1，所以，11nSnnn=+=，故2nSn=.【小问 2 详解】第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 解：当2n 时，()221121nnnaSSnnn=，11a=也满足21nan=，故对任意的nN，21nan=.所以，()()11111121212 2
33、121nnnbaannnn+=+，故111 111111111232 352 212122121nnTnnnn=+=+.18.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且coscos2 cosbAaBcA+=.（1）求角A的值；（2）已知点D为BC的中点，且2AD=，求a的最大值.【答案】（1）23A=（2）4 3【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2ADABAC=+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a的不等式，由此可解得a的最大值.【小问 1 详解
34、】解：因为A、()0,C，则sin0C，由正弦定理可得()2cossinsincossincossinsinACBAABABC=+=+=，所以，1cos2A=，故23A=.【小问 2 详解】解：因为D为BC的中点，则()()111222ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+=+，所以，2ADABAC=+，所以，22222222422cos163ADACABAC ABbcbcbcbc=+=+=+=，由余弦定理可得2222222cos3abcbcbcbc=+=+，第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 所以，222162abc+=，2216bca=，由基本不等式可得222bc
35、bc+，即2216162aa+，解得04 3a，则()111xhxxx=，由()0h x可得01x，由()0h x，所以，函数()h x的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+，故对任意的0 x，()()()10gxh xh=，所以，函数()g x在()0,+上为减函数，由()()22g xxg+可得202xx+，解得21x 或01x，因此，不等式()()22g xxg+的解集为)(2,10,1.20.如图（1）所示，在ABC中，60ABC=，过点A作ADBC，垂足D在线段BC上，且2 3AD=，5CD=，沿AD将CDA折起（如图（2），点E、F分别为棱AC、AB的中点.（1）证明
36、：ADEF；（2）若二面角CDAB所成角的正切值为2，求二面角CDFE所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD 平面BCD，可得出ADBC，利用中位线的性质可得出/EF BC，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角CDAB的平面角为BDC，以点D为坐标原点，DB、DA所在直线分别为x、y轴，平面BCD内过点D且垂直于BD的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角CDFE所成角的余弦值.【小问 1 详解】证明：翻折前，ADBC，则ADCD，ADBD，翻折后，则有ADCD，ADBD，因为B
37、DCDD=，BD、CD 平面BCD，所以，AD 平面BCD，因为BC平面BCD，所以，ADBC，在四棱锥ABCD中，因为点E、F分别为棱AC、AB的中点，则/EF BC，因此，ADEF.【小问 2 详解】解：因为ADCD，ADBD，则二面角CDAB的平面角为BDC，即tan2BDC=，因为AD 平面BCD，以点D为坐标原点，DB、DA所在直线分别为x、y轴，平面BCD内过点D且垂直于BD的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD=，ADBD，2 3AD=，则2 32tan603ADBD=，又因为5CD=，则()0,2 3,0A、()2,0,0B、()1,0,2C、()0,0,0
38、D、1,3,12E、()1,3,0F，设平面CDF的法向量为()111,mx y z=，()1,0,2DC=，()1,3,0DF=，第18页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 则11112030m DCxzm DFxy=+=+=，取12 3x=，可得()2 3,2,3m=，设平面DEF的法向量为()222,xny z=，1,0,12EF=，则222230102n DFxyn EFxz=+=，取22 3x=，可得()2 3,2,3n=，所以，()2124313cos,1919m nm nmn+=，由图可知，二面角CDFE的平面角为锐角，故二面角CDFE的余弦值为1319.21.已知数列 na
39、是公比大于 0 的等比数列，14a=，364a=.数列 nb满足：21nnnbaa=+（Nn）.（1）求数列 nb的通项公式；（2）证明：22nnbb是等比数列；（3）证明：()122(21)(21)2 2N*knkkkkkbb=+.【答案】（1）2144nnnb=+（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得 na的通项公式，进而求出数列 nb的通项公式；（2）运算可得222 4nnnbb=，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)42 2nnnnnnbb+，进而可得11212(21)(21)122kkknnkkkkkbb=+，结合错位
40、相减法即可得证.【小问 1 详解】设等比数列 na的公比为q，则2231464aa qq=，则4q=，所以14 44nnna=，第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 又221144nnnnnbaa=+=+.【小问 2 详解】所以22242211442 444nnnnnnnbb=+=，所以220nnbb，且21122222 442 4nnnnnnbbbb+=，所以数列22nnbb是首项为 8，公比为4的等比数列；【小问 3 详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)4142 42 22 2nnnnnnnnnnnbb+=，所以22212(21)(21)4212 222
41、22nnnnnnnnnnbb+=，所以11212(21)(21)122kkknnkkkkkbb=+，设10121112322222nnknkknT=+，则123112322222nnnT=+，两式相减得21111111122121222222212nnnnnnnnnT+=+=，所以1242nnnT+=，所以112112(21)(21)11242 22222kkknnnkkkkknbb=+=+.【答案】22.()10,et上单调递增，()1e,t+上单调递减.23 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问 1 详解】()()lnf xx tx=,
42、()n1l1 lntxfxtxxx=+=,()100etfxx,()10etxfx,()10,et上单调递增，()1e,t+上单调递减.【小问 2 详解】()()1 lnf xxx=,()lnfxx=,()()1 lnf xxx=在()0,1上单调递增，()1,+上单调递减.()11f=()e0f=，()()00000211 lnlimlim1 lnlimlimlim011xxxxxxxf xxxxxx+=，因为()10fxx=，所以函数()f x在区间()0,e上为上凸函数，函数()f x在区间(0,e的图象如图所示.不妨设12xx，则1201exx,所以要证明121(2e)eexxa+，只需证明411(2e)eexxa+，即只需证明1411(2e)eeexaxa+=，连接OA的直线1l的方程为yx=,设函数()f x的图象的与OA平行的切线是直线3l，()1ln1exfxx=，11121 lneeeef=，直线3l的方程为21eeyx=,即1eyx=+，令ya=,得直线ya=与直线3l的交点横坐标为1ea,由图可知，11exa，故要证不等式成立.