《2024年高考二级结论速解技巧12讲专题05 函数周期性对称性奇偶性问题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考二级结论速解技巧12讲专题05 函数周期性对称性奇偶性问题含答案.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题专题 05 05 函数周期性函数周期性，对称性，奇偶性，对称性，奇偶性问题问题 一、结论（一、结论（同号周期，异号对称同号周期，异号对称.）1 1、周期性：、周期性：已 知 定 义 在已 知 定 义 在R上 的 函 数上 的 函 数()f x,若 对 任 意若 对 任 意xR,总 存 在 非 零 常 数总 存 在 非 零 常 数T,使 得使 得()()f xTf x+=,则称则称()f x是周期函数是周期函数,T为其一个周期为其一个周期.除周期函数的定义外除周期函数的定义外,还有一些还有一些常见的与周期函数有关的结论如下常见的与周期函数有关的结论如下:(1)(1)如果如果()()f xaf
2、 x+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=(2)(2)如果如果1()()f xaf x+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=.(3)(3)如果如果1()()f xaf x+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=.(4)(4)如果如果()()f xaf xc+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=.(5)(5)如果如果()()f xaf xb+=+(0,0ab),),那么那么()
3、f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期|Tab=.(6 6)如果如果()()()f xf xaf xa=+(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期6Ta=.2 2、对称性：、对称性：已知函数已知函数()f x是定义在是定义在R上的函数上的函数.（1 1）轴对称：）轴对称：若若()()f xaf bx+=恒成立恒成立,则则()yf x=的图象关于直线的图象关于直线2abx+=对对称称,特别地特别地,若若()()f axf ax+=恒成立恒成立,则则()yf x=的图象关于直线的图象关于直线xa=对称对称;最常逆应用：若最常逆应用：若()
4、yf x=关于关于xa=对称：对称：可得到如下结论中任意一个：可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f axf axf xfaxfxfax+=+；周期性与对称性周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称记忆口诀：同号周期，异号对称.（2 2）点对称：）点对称：若若()()f axf bxc+=+,则则()yf x=的图象关于点的图象关于点(,)22ab c+对称对称.特别地特别地,若若()()2f axf axb+=+恒成立恒成立,则则()yf x=的图象关于点的图象关于点(,)a b对称对称.特别地特别地,若若()()f axf ax+=恒成立恒成立,则则()yf x=的图象
5、关于点的图象关于点(,0)a对称对称.最常逆应用：若最常逆应用：若()yf x=关于关于xa=对称：对称：可得到如下结论中任意一个：可得到如下结论中任意一个：2 0 2 4 年 高 考 二 级 结 论 速 解 技 巧 1 2 讲 ()()()(2)()(2)f axf axf xfaxfxfax+=+二、典型例题二、典型例题 例题例题 1 1（20232023 秋广东高二校联考期末）已知定义在秋广东高二校联考期末）已知定义在R上的函数上的函数()f x满足：满足：()()()()0,2fxf xfxf x+=，且，且()f x在在()1,1内单调递增，则（内单调递增，则（）A A()()()5
6、.35.52fff B B()()()5.325.5fff C C()()()25.35.5fff D D()()()5.525.3fff 【答案】B【详解】根据题意，函数()f x满足()()0fxf x+=，()()2=fxf x，则有()()2fxfx=，变形可得()()2f xf x+=，则有()()4f xf x+=，即函数()f x是周期为 4 的周期函数，对称轴为1x=，()f x在()1,1内单调递增，所以()f x在()1,3内单调递减，()()1.55.5ff=，()()()5.32.782.7fff=，1 1.522.73，即()()()5.325.5fff.故选：B.【
7、反思反思】奇偶性，周期性，对称性问题，在高考中往往是同时呈现，题目比较综合，在本奇偶性，周期性，对称性问题，在高考中往往是同时呈现，题目比较综合，在本例中由例中由()()()()0,2fxf xfxf x+=联立，联立，()()()2()fxf xfxf x=两式相加，得到两式相加，得到()()2fxfx=，用“，用“x”替换”替换()()2fxfx=中的“中的“x”变形可得变形可得()()2f xf x+=，从而得到周期从而得到周期4T=，进而再利用周期性和已知的单调性求解问题。，进而再利用周期性和已知的单调性求解问题。例题例题 2 2（20222022 春 贵州遵义 高一统考期末）对春 贵
8、州遵义 高一统考期末）对Rx，函数，函数()f x满足满足()()11fxf x=+，()()40f xfx+=.当当01x#abc【详解】()()11fxf x=+，()()40f xfx+=，()()2fxfx=+，()()4f xfx+=，()()42f xf x+=+，即()()2f xf x+=，()()()42f xf xf x+=+=，函数()f x的周期为 4，又当01x.故答案为：cba.【反思反思】在本例中，由在本例中，由()()11fxf x=+()f x关于直线关于直线1x=对称，进而得到：对称，进而得到：()(2)fxfx=+与与()()40f xfx+=联立，联立，
9、()(2)()(4)fxfxfxf x=+=+，得到，得到()()42f xf x+=+，即即()()2f xf x+=，从，从而根据周期的公式得到周期为而根据周期的公式得到周期为4T=，进而，进而利用周期，再结合题意已知条件解题利用周期，再结合题意已知条件解题.三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 1（2023新疆乌鲁木齐统考一模）已知定义在 R 上的奇函数()f x，满足()()3f xf x+=，且当30,2x时，()268f xxx=+，则()()()()012100ffff+=（）A6 B3 C0 D3【答案】B【详解】因为函数()f x对任意的实数x，恒有()()3f xf
10、x+=，所以()()()63f xf xf x+=+=，所以函数()f x是以 6 为周期的周期函数，又()f x定义在 R上的奇函数，所以()()()00,300fff=，又当3(0,2x时，()268f xxx=+，所以()()()()()13,21 3113fffff=+=，()()()()()()41 313,52323ffffff=+=+=，所以()()()()012.100ffff+，()()()()012.516ffff=+()()()()()01234fffff+，0 1633=+=，故选：B.2（2023河南郑州统考一模）已知函数()f x定义域为R，()1f x+为偶函数，
11、()2f x+为奇函数，且满足()()122ff+=，则()20231kf k=（）A2023 B0 C2 D2023【答案】B【详解】因为(1)f x+为偶函数，所以(1)(1)+=+fxf x，所以(2)()fxf x+=，因为(2)f x+为奇函数，所以(2)(2)fxf x+=+，所以(2)()f xf x+=，所以(4)(2)()f xf xf x+=+=，所以()f x是以 4 为周期的周期函数，由(2)(2)fxf x+=+，令0 x=，得(2)(2)ff=，则(2)0f=，又(1)(2)2ff+=，得(1)2f=，由(2)(2)fxf x+=+，令1x=，得(1)(3)ff=，
12、则(3)2f=，由(2)()f xf x+=，令2x=，得(4)(2)0ff=，则(1)(2)(3)(4)0ffff+=，所以20213()(1)(2)(3)(4)505(1)(2)(3)0 5052(2)0kf kfffffff=+=+=.故选：B 3（2023 秋江西抚州高三临川一中校考期末）若函数()f x的定义域为R，且()1f x+是偶函数，()1f x+关于点()2,0成中心对称，则函数()f x的一条对称轴为（）A2023x=B2022x=C2021x=D2020 x=【答案】C【详解】因为()1f x+是偶函数，所以()()11f xfx+=+，所以()f x关于1x=对称，即
13、()()2f xfx=，因为()1f x+关于点()2,0成中心对称，且()f x向左平移 1 个单位长度之后得到()1f x+，所以()f x关于()3,0对称，所以()()60f xfx+=，因为()()2f xfx=，()()60f xfx+=，所以()()62fxfx=，故()()()48f xf xf x=+=+，故()f x的周期为 8，因为()f x关于1x=对称，关于()3,0对称，所以()f x关于5x=对称，所以()f x的对称轴为1 8,Zxk k=+或58,Zxk k=+，因为2020252 84,2021252 85,2022252 86,2023252 87,=+=
14、+=+=+所以函数()f x的一条对称轴为2021x=，故选：C 4（2023 秋江苏苏州高三统考期末）已知函数()f x的定义域为R，(1)f x+为奇函数，(2)f x+为偶函数.记函数()2(21)1g xfx=+，则3112kkg=（）A25 B27 C29 D31【答案】D【详解】(1)f x+为奇函数，(1)f x+是由()f x向左平移 1 个单位得到，则()f x的图象关于点(1,0)对称，所以(2)()fxf x=，(1)0f=，(2)f x+为偶函数，(2)f x+是由()f x向左平移 2 个单位得到，则()f x的图象关于直线2x=对称，所以(2)(2)fxfx=+，则
15、(3)0f=，所以(2)()f xf x+=，从而(4)(2)()f xf xf x+=+=，()f x是周期函数，且周期为 4，所以(21)0,Zfkk=，因为()f x的图象关于直线2x=对称，也关于点(1,0)对称，所以()f x的图象关于点(3,0)对称，所以(2)(4)0ff+=，所以(2)(3)(4)(5)0+=ffff，所以 3117(2)(3)(4)(5)(2)(3)(4)0(1)=+=+kfffffkfff 因为()2(1)12=+kgf k，Zk，所以313111231(3121)=+=+=kkf kkg，故选：D 二、多选题二、多选题 5（2023 秋湖南永州高一统考期末
16、）已知定义在R上的奇函数()f x满足()()2fxfx+=，若()12f=，则（）A4 为()f x的一个周期 B()f x的图象关于直线1x=对称 C()20220f=D()20232f=【答案】ABC【详解】对于 A：函数()f x为奇函数，则()()()2+=fxfxf x，则()()()()4222fxfxfxf x+=+=+=，则()f x的一个周期为 4，故 A 正确；对于 B：()()2fxfx+=，则函数关于212x=对称，故 B 正确；对于 C：()f x的一个周期为 4，()()()2022505 422fff=+=，令()()2fxfx+=中的0 x=，则()()20f
17、f=，函数()f x为定义在R上奇函数，()00f=，()20220f=，故 C 正确；对于 D：()f x的一个周期为 4，()()()2023506 4 11fff=，函数()f x为奇函数，()()112ff=，()20232f=，故 D 错误；故选：ABC.三、填空题三、填空题 6（2023四川南充四川省南部中学校考模拟预测）已知函数()f x是定义在R上的奇函数，对任意的xR都有()32fxf x+=，当3,04x 时，()()2log1f xx=+，则()()20212022ff+=_【答案】1【详解】解：根据题意，()f x满足对任意的xR都有()32fxf x+=，所以()()
18、332f xfxf x+=+=，则()f x是周期为3的周期函数，则()()()20212022 11fff=，()()20220ff=，又由()f x为定义在R上的奇函数，则()00f=，又由3,04x 时，()()2log1f xx=+，则()2311111log12222ffff=+=，则()()202111ff=，()()202200ff=，则()()202120221 01.ff+=+=故答案为：1 7（2023 春安徽高一淮北一中校联考开学考试）设函数()f x是定义在R上的偶函数，且()(2)f xfx=，当0,1x时，()f xx=，则函数()|tan|()g xxf x=在3
19、 5,2 2上所有零点之和为_【答案】6【详解】|tan|yx=是由tanyx=纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍，再将 x 轴下方的图象翻到 x轴上方即可得到，又有()f x是定义在R上的偶函数，且()(2)(2)f xfxf x=，所以()f x图象关于直线1x=对称，且周期为 2，又因为0,1x时，()f xx=，在同一坐标系下，画出|tan|yx=及()f x在3 5,2 2的图象如下所示：由图象可知|tan|yx=与()f x交点个数为 10 个，其零点之和为 6 故答案为：6 8（2023 秋湖南娄底高一校考期末）已知函数()f x的定义域为 R，(1)f x+为偶函数，(2)1f
20、x+为奇函数，且(0)1,(1)2ff=，则(1)(2)(2022)fff+=_【答案】2023【详解】因为(1)f x+为偶函数，所以()f x的图象关于直线1x=对称，得()(2)f xfx=+因为(2)1f x+为奇函数，所以(2)1(2)1f xfx+=+，得(2)(2)2f xfx+=由，得()(2)2,(2)(4)2f xf xf xf x+=+=，所以()(4)f xf x=+由()(2)2f xf x+=，得(0)(2)2,(1)(3)2,(2)(4)2ffffff+=+=+=，得(2)1f=，故(1)(2)(2022)505(1)(2)(3)(4)(2021)(2022)ff
21、fffffff+=+5054212023=+=故答案为：2023 9（2023全国高三专题练习）对Rx，函数()f x满足()()11fxf x=+，()()40f xfx+=.当01x时，()21f xx=.设12af=，53bf=，20234cf=，则a，b，c的大小关系为_.【答案】cba#abc，即cba.故答案为：cba或abc.10（2023全国高三专题练习）已知定义在 R 上的函数()f x满足()()0f xfx+=，()()22f xf x=+，当2,0 x 时，()13xf xb=+，则()3log 162f=_.【答案】1【详解】由题意知()f x为定义在R上的奇函数，(
22、)010fb=+=，即1b .因为()()2222f xf x+=+，所以()()4f xf x=+，所以函数()f x的周期为 4，则()()()333log 162log 1624log 2fff=.因为()3log 20,1，()f x为奇函数，所以()()31log233311log 2log 2log1123fff=+=.故答案为：1 11（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数()f x满足(2)()fxf x+=，当0,2x时，()(2)f xx x=，则方程()lgf xx=有_个根.【答案】10【详解】由(2)()fxf x+=可知，函数周期为2T=，作出函数()yf
23、 x=与|lg|yx=，由图象可知，()yf x=与|lg|yx=有 10 个交点，所以方程()lgf xx=有 10 个根.故答案为：10 专题专题 05 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题函数周期性，对称性，奇偶性问题 一、结论（一、结论（同号周期，异号对称同号周期，异号对称.）1 1、周期性：、周期性：已知定义在已知定义在R上的函数上的函数()f x,若对任意若对任意xR,总存在非零常数总存在非零常数T,使得使得()()f xTf x+=,则称则称()f x是周期函数是周期函数,T为其一个周期为其一个周期.除周期函数的定义外除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下还有
24、一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)(1)如果如果()()f xaf x+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=(2)(2)如果如果1()()f xaf x+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=.(3)(3)如果如果1()()f xaf x+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=.(4)(4)如果如果()()f xaf xc+=(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期2Ta=.(5)(
25、5)如果如果()()f xaf xb+=+(0,0ab),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期|Tab=.(6)(6)如果如果()()()f xf xaf xa=+(0a),),那么那么()f x是周期函数是周期函数,其中的一个周期其中的一个周期6Ta=.2 2、对称性：、对称性：已知函数已知函数()f x是定义在是定义在R上的函数上的函数.（1 1）轴对称：）轴对称：若若()()f xaf bx+=恒成立恒成立,则则()yf x=的图象关于直线的图象关于直线2abx+=对称对称,特别地特别地,若若()()f axf ax+=恒成立恒成立,则则()yf x=
26、的图象关于直线的图象关于直线xa=对称对称;最常逆应用：若最常逆应用：若()yf x=关于关于xa=对称：对称：可得到如下结论中任意一个：可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f axf axf xfaxfxfax+=+；周期性与对称性周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称记忆口诀：同号周期，异号对称.（2 2）点对称：）点对称：若若()()f axf bxc+=+,则则()yf x=的图象关于点的图象关于点(,)22ab c+对称对称.特别地特别地,若若()()2f axf axb+=+恒成立恒成立,则则()yf x=的图象关于点的图象关于点(,)a b对称对称.特别地特
27、别地,若若()()f axf ax+=恒成立恒成立,则则()yf x=的图象关于点的图象关于点(,0)a对称对称.最常逆应用：若最常逆应用：若()yf x=关于关于xa=对称：对称：可得到如下结论中任意一个：可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f axf axf xfaxfxfax+=+二、典型例题二、典型例题 例题例题 1 1（20232023 秋广东高二校联考期末）已知定义在秋广东高二校联考期末）已知定义在R上的函数上的函数()f x满足：满足：()()()()0,2fxf xfxf x+=，且，且()f x在在()1,1内单调递增，则（内单调递增，则（）A A()()(
28、)5.35.52fff B B()()()5.325.5fff C C()()()25.35.5fff D D()()()5.525.3fff 例题例题 2 2（20222022 春贵州遵义高一统考期末）对春贵州遵义高一统考期末）对Rx，函数，函数()f x满足满足()()11fxf x=+，()()40f xfx+=.当当01x时时()21f xx=.设设12af=，53bf=，20234cf=，则，则a，b，c的大的大小关系为小关系为_._.三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 1（2023新疆乌鲁木齐统考一模）已知定义在 R 上的奇函数()f x，满足()()3f xf x+=，且
29、当30,2x时，()268fxxx=+，则()()()()012100ffff+=（）A6 B3 C0 D3 2（2023河南郑州统考一模）已知函数()f x定义域为R，()1f x+为偶函数，()2f x+为奇函数，且满足()()122ff+=，则()20231kf k=（）A2023 B0 C2 D2023 3（2023 秋江西抚州高三临川一中校考期末）若函数()f x的定义域为R，且()1f x+是偶函数，()1f x+关于点()2,0成中心对称，则函数()f x的一条对称轴为（）A2023x=B2022x=C2021x=D2020 x=4（2023 秋江苏苏州高三统考期末）已知函数()
30、f x的定义域为R，(1)f x+为奇函数，(2)f x+为偶函数.记函数()2(21)1g xfx=+，则3112kkg=（）A25 B27 C29 D31 二、多选题二、多选题 5（2023 秋湖南永州高一统考期末）已知定义在R上的奇函数()f x满足()()2fxfx+=，若()12f=，则（）A4 为()f x的一个周期 B()f x的图象关于直线1x=对称 C()20220f=D()20232f=三、填空题三、填空题 6（2023四川南充四川省南部中学校考模拟预测）已知函数()f x是定义在R上的奇函数，对任意的xR都有()32fxf x+=，当3,04x 时，()()2log1f
31、xx=+，则()()20212022ff+=_ 7（2023 春安徽高一淮北一中校联考开学考试）设函数()f x是定义在R上的偶函数，且()(2)f xfx=，当0,1x时，()f xx=，则函数()|tan|()g xxf x=在3 5,2 2上所有零点之和为_ 8（2023 秋湖南娄底高一校考期末）已知函数()f x的定义域为 R，(1)f x+为偶函数，(2)1f x+为奇函数，且(0)1,(1)2ff=，则(1)(2)(2022)fff+=_ 9（2023全国高三专题练习）对Rx，函数()f x满足()()11fxf x=+，()()40f xfx+=.当01x时，()21f xx=.设12af=，53bf=，20234cf=，则a，b，c的大小关系为_.10（2023全国高三专题练习）已知定义在 R 上的函数()f x满足()()0f xfx+=，()()22f xf x=+，当2,0 x 时，()13xf xb=+，则()3log 162f=_.11（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数()f x满足(2)()fxf x+=，当0,2x时，()(2)f xx x=，则方程()lgf xx=有_个根.