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1、第三节函数的奇偶性与周期性第三节函数的奇偶性与周期性第二章第二章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性2.函数的周期性3.函数奇偶性、单调性、周期性的综合1.数学抽象2.逻辑推理3.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x)关于y轴对称函数图像关于y轴对称,
2、必为偶函数奇函数 f(-x)=-f(x)关于原点对称微思考1奇函数、偶函数的定义域有什么特点?微思考2如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,f(0)有什么特点?提示:设函数的定义域为I,由奇函数、偶函数的定义知,对任意的xI,都有-xI,所以奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.定义域关于原点对称是成为奇、偶函数的必要条件.提示:f(0)有意义,由奇函数定义,知f(-0)=-f(0),所以一定有f(0)=0.微思考3奇函数在关于原点对称的区间上的单调性如何?偶函数呢?提示:奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.微思考4存在既是奇函数又是偶函数的函数吗
3、?唯一吗?提示:存在既是奇函数又是偶函数的函数,但不唯一.如果函数y=f(x)是偶函数,那么有f(x)=f(-x),而它又是奇函数,那么f(x)=-f(-x),因此必有f(x)=-f(x),则f(x)=0,即既是奇函数又是偶函数的函数的函数值只能为零,但其解析式的2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就称为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.并不是所有周期函数都有最小正周期
4、,如f(x)=5常用结论1.奇偶性的4个重要结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(3)在函数f(x),g(x)公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.(4)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数.2.周期性的4个常用结论设函数y=f(x),xR,a0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;3.对称性
5、的3个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称;(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断典例突破例1.判断下列函数的奇偶性:考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(3)因为当x0时,f(x)
6、=-x2+2x+1,-x0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),所以f(x)为奇函数.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四突破技巧判断函数奇偶性的3种常用方法定义法确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再化简解析式后验证f(-x)=f(x)或其等价形式f(-x)f(x)=0是否成立图像法性质法设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇考点一考点一考点二考点二考点三
7、考点三考点四考点四注意分段函数奇偶性的判断,要分别从x0或x0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练1(1)(2021全国乙,理4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1(2)(2021湖北黄冈高三模拟)已知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,则下列为奇函数的是()A.f(g(x)B.g(f(x)C.f(f(x)D.g(g(x)考点一考点一考点二考点
8、二考点三考点三考点四考点四答案:(1)B(2)C解析:(1)(方法1)函数f(x)=,故该函数图像的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图像向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图像对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图像关于坐标原点对称,即为奇函数,故选B.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(2)由题意知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,故满足f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x),对于A,f(g(-x)=f(g(x),则f(g(x)为偶函数;对于B,g(f(-x)=g(-f(
9、x)=g(f(x),则g(f(x)为偶函数;对于C,f(f(-x)=f(-f(x)=-f(f(x),则f(f(x)为奇函数;对于D,g(g(-x)=g(g(x),则g(g(x)为偶函数.故选C.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点二考点二函数奇偶性的函数奇偶性的应用用典例突破例2.(1)(2021新高考,13)已知函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,则a=.(2)(2021江西重点中学盟校高三联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0.当x0时,f(x)=x2-x+a-1,则f(-3)=.(3)函数f(x)为R上的奇函数,且当x0时,-x0时,f(x)
10、=x2-4x,那么不等式f(x)x的解集为 .考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:(1)C(2)(-5,0)(5,+)所以f(-x)+f(x)=0,即(1-t)2-x+2x+(1-t)2x+2-x=(2-t)(2x+2-x)=0恒成立,所以2-t=0,可得t=2.(另解:也可直接由f(0)=0求得t=2.)所以f(x)=2-x-2x,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点三考点三函数的周期性及函数的周期性及应用用典例突破例3.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0 x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图像在区间0,4上与x轴的交点的个数为
11、.答案:5解析:当0 x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2x4时,0 x-22,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2x4时,y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.因为最小正周期为2,所以当x5=4时,也符合要求.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四解题心得解决与函数周期性有关问题的2个关键点(1)根据函数的周期性将待定函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内,再代入相应解析式求解;(2)对相关函数
12、解析式变形,使得其满足函数周期性的相关定义,进而归纳总结确定对应的周期,为进一步分析与求解打下基础.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四A.0B.1C.2D.3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2 023)=.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:(1)C(2)1 012解析:(1)f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,fn(2)的值具有周期性,且周期为3,f2 022(2)=f3674(2)=f3(2)=2,故选C.(2)f
13、(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=2.当x0,2)时,f(x)=2x-x2,f(0)=0,f(1)=1.f(0)=f(2)=f(4)=f(2 022)=0,f(1)=f(3)=f(5)=f(2 023)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+f(2 023)=1 012.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点四考点四函数性函数性质的的综合合应用用(多考向探究多考向探究)考向考向1.奇偶性与周期性的奇偶性与周期性的综合合应用用典例突破例4.(2021全国甲,理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x1,2时,f(x)=ax2+b.若
14、f(0)+f(3)=6,则f =()考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:D解析:f(x+1)是奇函数,f(-x+1)=-f(x+1).f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).f(x+2)是偶函数,f(x+2)=f(2-x),-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四f(x+4)=f(x+2)+2=f-(x+2)+2=f(-x)=f(x),函数f(x)的周期为4,f(3)=f(1)=0.f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),f(0)=-f(
15、2).当x1,2时,f(x)=ax2+b,由f(1)=0得a+b=0.f(0)+f(3)=6,f(0)=6,f(2)=-6.即4a+b=-6,a=-2,b=2,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考向考向2.单调性与奇偶性的性与奇偶性的综合合应用用典例突破例5.(1)(2021宁夏银川一中高三模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-,0)上是减少的,且f(-1)=0,若a=f(-log38),b=f(-2),c=f ,则a,b,c的大小关系是()A.cabB.abcC.acbD.cba(2)(2021黑龙江鹤岗一中高三月考)已知偶函数y=f(x)定义在-2,2上,且在-2,0上是
16、减少的,若不等式f(1-2a)-log38-log24=-2,f(-2)f(-log38)f(-1)=0,所以ba0,所以ca0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:B解析:f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),f(4-x)=f(x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),函数y=f(x)的图像关于x=2对称,并且是周期为8的周期函数.函数f(x)在0,2上是增加的,函数f(x)在-2,2上是增加的,在2,6上
17、是减少的,据此可画出函数y=f(x)在-8,8上的图像(令x1x2x30时,f(x)=-x2+ax-1-a,若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围是.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:(1)D(2)C(3)-1(4)-1,0解析:(1)根据题意可得函数f(x)在(0,+)上是增加的.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以由f(-1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=-1,对B,由f(-1)=1,f(1)=-1,故B正确;对C,由函数f(x)在(0,+)上是增加的,所以f(3)f(2)=1,故C正确;考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(2)因为定义在
18、R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四(3)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,f(0)=0,且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+4)=f(-x)=-f(x),则f(x+8)=f(x),则函数f(x)的周期是8,且函数关于直线x=2对称,则f(2 020)=f(2528+4)=f(4)=f(0)=0,f(2 021)=f(2528+5)=f(5)=f(-1)=-f(1)=-1,则f(2 020)+f(2 021)=0+(-1)=-1.(4)因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.若函数f(x)为R上的减函数,