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1、索引第五章 平面向量、复数补上一课向量中的最值(范围)问题平平面面向向量量中中的的范范围、最最值问题是是热点点问题，也也是是难点点问题，此此类问题综合合性性强，体体现了了知知识的的交交汇组合合，其其基基本本题型型是是根根据据已已知知条条件件求求某某个个变量量的的范范围、最最值，比比如如向向量量的的模模、数数量量积、向向量量夹角角、系系数数的的范范围等等，解解决决思思路路是是建建立立目目标函函数数的的函函数数解解析析式式，转化化为求求函函数数的的最最值，同同时向向量量兼兼顾“数数”与与“形形”的的双双重重身身份份，所所以以解解决决平平面向量的范面向量的范围、最、最值问题的另外一种思路是数形的另外
2、一种思路是数形结合合.题型分析内容索引分层精练巩固提升索引题型一与系数有关的最值(范围)问题A解析解析设BD，AE交于点交于点O，因因为DEAB，所以所以AOBEOD，索引 索引因因为x0，y0，索引此此类问题的一般解的一般解题步步骤是是第一步：利用向量的运算将第一步：利用向量的运算将问题转化化为相相应的等式关系；的等式关系；第二步：运用基本不等式或函数的性第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最求其最值.感悟提升索引B解解析析由由题意意，以以O为原原点点，OA为x轴的的正正向向，建建立立如如图所所示的坐示的坐标系，系，设C(cos，sin)，0120，索引0120，3030150，当当60时
3、，xy的最大的最大值为2，此，此时C为弧弧AB的中点的中点.所以所以xy的最大的最大值是是2.索引题型二与数量积有关的最值(范围)问题A解解析析法法一一如如图，取取A为坐坐标原原点点，AB所所在在直直线为x轴建立平面直角坐建立平面直角坐标系，系，索引索引数量数量积最最值(范范围)的解法：的解法：(1)坐坐标法法，通通过建建立立直直角角坐坐标系系，运运用用向向量量的的坐坐标运运算算转化化为代代数数问题处理理.(2)向向量量法法，运运用用向向量量数数量量积的的定定义、不不等等式式、极极化化恒恒等等式式等等有有关关向向量量知知识解决解决.感悟提升索引A解解析析取取线段段AB的的中中点点O，连接接OC
4、，则OCAB，以以O为坐坐标原原点点，OB，OC所在直所在直线分分别为x，y轴建立如建立如图所示的平面直角坐所示的平面直角坐标系系.索引题型三与模有关的最值(范围)问题解析解析法一法一由由题意可意可设a(0，1)，b(2，0)，c(x，y)，则ab2c(22x，12y)，由由|ab2c|1，可得可得(22x)2(12y)21，索引 索引 法二法二由由|a|1，|b|2，ab0，索引求向量模的最求向量模的最值(范范围)的方法，通常有：的方法，通常有：(1)代代数数法法，把把所所求求的的模模表表示示成成某某个个变量量的的函函数数，或或通通过建建立立平平面面直直角角坐坐标系系，借借助助向向量量的的坐
5、坐标表表示示；需需要要构构造造不不等等式式，利利用用基基本本不不等等式式，三三角角函函数数，再再用用求最求最值的方法求解；的方法求解；(2)几几何何法法(数数形形结合合法法)，弄弄清清所所求求的的模模表表示示的的几几何何意意义，注注意意题目目中中所所给的的垂垂直直、平平行行 ，以以及及其其他他数数量量关关系系，合合理理的的转化化，使使得得过程程更更加加简单；结合合动点表示的点表示的图形求解形求解.感悟提升索引B索引题型四与夹角有关的最值(范围)问题D解析解析因因为平面向量平面向量a，b满足足|ab|3，|a|2|b|，所以所以(ab)2a22abb24b22abb29，索引 因因为0ab，a，
6、索引求求夹角角的的最最值(范范围)问题要要根根据据夹角角余余弦弦值的的表表达达式式，采采用用基基本本不不等等式式或或函函数的性数的性质进行行.感悟提升索引 索引当当st0时，(st2)24，当当st0时，由，由2ts2，故故s0，t0，索引极化恒等式拓展视野索引索引 解析解析设A，B，C三点所在三点所在圆的的圆心心为O，取，取AB中点中点D，因因为A，B，C三点在三点在圆上，上，所以所以CD长度最大度最大为rd，其中其中d为圆心心O到弦到弦AB的距离，的距离，索引 D解解析析法法一一以以C为坐坐标原原点点，CA，CB所所在在直直线分分别为x轴、y轴建建立立平平面面直直角角坐坐标系系(图略略)，
7、则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，索引 索引 FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16A【A级 基础巩固】解析解析设ab，c的的夹角角为，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B解析解析由由题设，知，知ab0且且(ab)(2ab)2a2ab2abb22a2b22，当当|b|0时等号成立，等号成立，|ab|min1.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B
8、解析解析因因为点点M在在ABC内部内部(包括包括边界界)，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C又又|ca|1，于是有于是有|cb|(ca)(ab)|ca|ab|4，当且当且仅当当ca与与ab同向共同向共线时取取“”，所以所以|cb|的最大的最大值为4.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16因因为A，C不重合，不重合，所以所以1cos
9、AOC1，所以所以cosAOC1，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 161索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16又又m，n0，1，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16又向量又向量a，b的的夹角角为，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162，2索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16因因为四四边形形ABCD是是边长为2的菱形，且
10、的菱形，且ABC60，所以所以BAD120，ABAD2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16法二法二因因为四四边形形ABCD是菱形，是菱形，所以所以ACBD，记AC，BD的的交交点点为O，以以O为坐坐标原原点点，AC，BD所所在在直直线分分别为x，y轴建立平面直角坐建立平面直角坐标系，如系，如图所示所示.因因为菱形菱形ABCD的的边长为2，且，且ABC60，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16因因为点点P在在线段段BC上，上，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B【B级 能力提升】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16M，D，N三点共三点共线，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 166得：得：a2b22acos 2bsin 24，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解析析以以圆心心为原原点点，A7A3所所在在直直线为x轴，A5A1所所在在直直线为y轴建立平面直角坐建立平面直角坐标系，如系，如图所示，所示，