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1、第第1 1课时利用导数证明不等式课时利用导数证明不等式高考高考解答解答题题专项一专项一考情分析导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.考向考向1.“比较法比较法”构造函数证明不等式构造函数证明不等式例1.(2021四川乐山十校联考)已知函数f(x)=ex-ax2+1(a为常数).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2,求a,b
2、的值;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)当a=1,x0时,求证:f(x)(e-2)x+2.(1)解:f(x)=ex-2ax,f(1)=e-2a,f(1)=e-a+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-e+a-1=(e-2a)x-e+2a,即y=(e-2a)x+a+1,由题意得e-2a=b,a+1=2,a=1,b=e-2.(2)解:函数f(x)的定义域为R,f(x)=ex-2ax,设h(x)=f(x),h(x)=ex-2a,当a0时,h(x)0在R上恒成立;当a0时,令h(x)0,即ex-2a0,解得xln(2a),令h(x)0,即ex-2a0,解得x0时,函数f(x)在(ln(2a
3、),+)上是递增的,在(-,ln(2a)上是递减的.(3)证明:令(x)=f(x)-(e-2)x-2=ex-x2-(e-2)x-1(x0),则(x)=ex-2x-(e-2),令t(x)=(x),则t(x)=ex-2,令t(x)0,解得0 x0,解得xln 2,t(x)=(x)在(0,ln 2)内是递减的,在(ln 2,+)上是递增的.t(0)=(0)=3-e0,t(1)=(1)=0,0ln 21,t(ln 2)=(ln 2)0,当x(x0,1)时,t(x)=(x)0,(x)在(0,x0)内是递增的,在(x0,1)内是递减的,在(1,+)上是递增的,又(0)=(1)=0,所以有(x)0,即f(x
4、)-(e-2)x-20,f(x)(e-2)x+2.突破技巧欲证函数不等式f(x)g(x)在其区间上恒成立,先令h(x)=f(x)-g(x),转化为证明函数h(x)0恒成立问题,即求h(x)的单调性及最小值.对点训练1已知函数f(x)=xln x.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求证:f(x)x2+x.(1)解:f(1)=0,所以切点为(1,0).f(x)=ln x+1,f(1)=ln 1+1=1,所以切线方程为x-y-1=0.(2)证明:函数f(x)的定义域为(0,+),要证f(x)x2+x,只需证xln xx2+x,即证ln x-x-10,g(x)是递增的,当x
5、(1,+)时,g(x)0,g(x)是递减的.所以g(x)max=g(1)=-20,所以ln x-x-10恒成立,即证f(x)(x+1)ln x+x.令F(x)=ex-ex+1,定义域为(0,+),则F(x)=ex-e,当x(0,1)时,F(x)0,此时函数F(x)是递增的,可得当x=1时,函数F(x)取得最小值,F(1)=1.当0 x0,此时G(x)是递增的,当xe时,G(x)0,当x(1,+)时,g(x)0,则g(x)在(0,1)内是递增的,在(1,+)上是递减的,所以g(x)max=g(1)=1,则a1,所以a的最小值为1.突破技巧导数的综合应用题中,最常见就是ex和ln x与其他代数式结
6、合的题目,对于这类问题,可以先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下:(1)ex1+x,当且仅当x=0时,等号成立;(2)exex,当且仅当x=1时,等号成立;对点训练3已知函数f(x)=ex-x2.(1)求函数f(x)的图像在x=1处的切线方程;(1)解:因为f(x)=ex-x2,所以f(x)=ex-2x.所以f(1)=e-2,f(1)=e-1,所以函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-1,即(e-2)x-y+1=0.(2)证明:令g(x)=f(x),则g(x)=ex-2,当xln 2时,g(x)ln 2时,g(x)
7、0,所以函数g(x)=f(x)在(-,ln 2)上是递减的,在(ln 2,+)上是递增的,所以g(x)min=g(ln 2)=f(ln 2)=2-2ln 20,所以函数f(x)=ex-x2在R上为增函数,亦在(0,+)上是递增的.由函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1,f(1)=e-1,可猜测当x0时,f(x)(e-2)x+1.设h(x)=f(x)-(e-2)x-1(x0),则h(x)=ex-2x-e+2,令m(x)=h(x),则m(x)=ex-2.当0 xln 2时,m(x)ln 2时,m(x)0,所以m(x)=h(x)在(0,ln 2)内是递减的,在(ln 2,+)上是递增的,因为h(1)=0,0ln 21,所以h(ln 2)0,所以存在x0(0,ln 2),使得h(x0)=0,所以当0 x1时,h(x)0;当x0 x1时,h(x)2ax1x2.证明:由题意知f(x)的定义域为(0,+),不妨设x10时,若x1,x2(0 x1x2)满足f(x1)=f(x2),证明:f(x1)+f(x2)0.