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1、第第3 3课时翻折问题与探索性问题课时翻折问题与探索性问题第八章第八章解解答答题题专专项四项四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一翻折翻折问题例题(2022山东威海三模)如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,M,N分别是AB,AC上的点,且AM=AN=4,E是BC的中点,AE交MN于点F.以MN为折痕把AMN折起,使点A到达点P的位置(0PFE),连接PB,PE,PC.(1)证明:MNPE;(2)设点P在平面ABC内的射影为点Q,若二面角P-MN-B的大小为 ,求直线QC与平面PBC所成角的正弦值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(1)证明因为ABC是等边三角形,E是BC的
2、中点,所以AEBC.因为AM=AN=4,所以MNBC,所以MNAE,可得MNPF,MNEF,又PFFE=F,所以MN平面PEF,又PE平面PFE,所以MNPE.(2)解因为MNPF,MNFE,由第(1)问知,MN平面PFE,MN平面ABC,所以平面ABC平面PFE,又因为平面PFE平面ABC=AE,所以点P在平面ABC内的射影点Q在AE上,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 翻折问题的两个解题策略 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练(2022山东烟台三模)如图,在平面五边形PABCD中,PAD为正三角形,ADBC,DAB=90且A
3、D=AB=2BC=2.将PAD沿AD翻折成如图所示的四棱锥P-ABCD,使得PC=.E为PD上一点,F,Q分别为AB,CE的中点.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(1)证明取DC的中点M,连接MF,MQ.则MQPD,MFDA.因为MQ平面PAD,MF平面PAD,所以MQ平面PAD,MF平面PAD,MQMF=M,所以平面MQF平面PAD,因为FQ平面MQF,所以FQ平面PAD.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二与空与空间角有关的探究性角有关的探究性问题例题(2022山东德州二模)九章算术是算经十书中最重要的
4、一部,是当时世界上最简练有效的应用数学之一,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体,是指底面为矩形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,现有如图所示“阳马”P-ABCD,底面为边长为2的正方形,侧棱PA平面ABCD,PA=2,E,F为边BC,CD上的点,点M为AD的中点.(1)若=,证明:平面PBM平面PAF;(2)是否存在实数,使二面角P-EF-A的大小为45?如果不存在,请说明理由;如果存在,求此时直线BM与平面PEF所成角的正弦值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解(1)当=时,点E,F分别为BC,CD边上的中点,连接AF与BM交于点G,在AB
5、M和DAF中,AB=AD,AM=DF,BAM=ADF=90,所以ABMDAF,于是ABM=FAD.而FAD+BAF=90,所以ABM+BAF=90,故AGB=90,即BMAF.又PA平面ABCD,BM平面ABCD,所以PABM.因为BMPA,BMAF,PA平面PAF,AF平面PAF,PAAF=A,所以BM平面PAF.又因为BM平面PBM,所以平面PBM平面PAF.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)连接AC,交EF于点Q,连接PQ,记BD与AC交于点O,如图:因为ACBD,所以ACEF,又PA平面ABCD,EF平面ABCD,故PAEF,又PAAC=A,故EF平面PAC,PQ平面PAC,从
6、而PQEF,所以AQP为二面角P-EF-A的平面角.由题意,AQP=45,从而AQ=PA=2,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 与空间角有关的存在性问题的解题流程 考点一考点一考点二考点二考点三考点三图1 图2(1)当EN平面MBD时,求的值;(2)试探究:随着值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角B-MD-E的正弦值大小.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解(1)取MB的中点为P,连接DP,PN,因为MN=CN,MP=BP,所以NPBC.又DEBC,所以NPDE,即N,E,D,P四点
7、共面,又EN平面BMD,EN平面NEDP,平面NEDP平面MBD=DP,所以ENPD,即四边形NEDP为平行四边形,所以NP=DE,则DE=BC,即=.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)取DE的中点O,连接MO,因为平面MDE平面DECB,平面MDE平面DECB=DE,且MODE,所以MO平面DECB,如图建立空间直角坐标系,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三最最值、范、范围问题例题(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1
8、B1上的点,BFA1B1.(1)证明:BFDE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?考点一考点一考点二考点二考点三考点三【规范解答】考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)解BFA1B1,BFAB,AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,AC2=8,则ABBC.如图,以B为原点,BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).设DB1=t,则D(0,t,2),0t2.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一
9、考点二考点二考点三考点三【教师讲评】(1)本题第(1)问的解答为常规方法,借助题目条件,利用平面几何知识,通过证明全等得某个角为90,则说明线线垂直,进而可证线面垂直,再由性质得线线垂直.(2)本例第(2)问先建立坐标系,设DB1=t,将相关点坐标表示出来,利用法向量夹角与二面角的关系,将所求最值转化为关于t的函数问题求最值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 求最值、范围问题的常用思路 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练(12分)如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC平面ABC,PAC为正三角形,E,F分别是PC,PB上的动点.(1)求证:BCAE;(2)若E,F分别是PC,PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为 ,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线l上一动点,求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,过C且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设AC=2.因为PAC为正三角形,所以AE=,从而EF=2.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三