《2024届长郡中学高三上学期月考(五)数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届长郡中学高三上学期月考(五)数学试题含答案.pdf（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 英才大联考长郡中学英才大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（五）届高三月考试卷（五）数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.集合2|60Ax xx=，集合2|lo1gBxx=，0P为原污染物数量该工厂某次过滤废气时，若前 4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 90%，那么再继续过滤 2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七
2、市三模）5.函数()()2,Raxbf xa b cxc+=+的图象可能是（）的 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A B.C.D.6.现有长为89cm的铁丝，要截成n小段(2)n，每段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（）A.8 B.9 C.10 D.11 7.已知函数211()sinsin(0)222xf xx=+，xR.若()f x在区间(,2)内没有零点，则的取值范围是 A.10,8 B.150,148 C.50,8 D.11 50,84 8 8.已知函数22()42af xxxx=在区间(),2，3,上都单调递增，则实数a的取值范
3、围是（）A.02 3a B.04a C.04 3a D.08 3a 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9.同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程航海光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类
4、函数表达式可以为()xxfxaebe=+（其中 a，b是非零常数，无理数 e=2.71828），对于函数()f x，以下结论正确的是（）A.如果 a=b，那么()f x奇函数 B.如果0ab，那么()f x没有零点 D.如果1ab=，那么()f x的最小值为 2.为 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 10.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体 1如图 1，沿着1BB和1DD分别作上底面的垂面，垂面经过棱,EP PH HQ QE的中点,F G M N，则两个垂面之间的几何体 2 如图 2 所示，若2ENABEA=，则（）A.12 2BB=B./FGAC C.BD平面1BFBG D.几
5、何体 2的表面积为16 38+11.已知函数exyx=+的零点为1x，lnyxx=+的零点为2x，则（）A.120 xx+B.120 x x C.12ln0 xex+=D.12121x xxx+时，()fx最小值为 1 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知sin3cos0=，则cos2tan+=_ 14.函数()1 293xxf x=+的最小值是_.15.写出一个同时具有下列性质的函数()f x=_.()f x是定义域为R的奇函数；()()11fxfx+=；()12f=.16.函数()sinln 23f xxx=的所有零点之
6、和为_ 的 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且()222(sinsinsin)1 cos2.aAcCbBaC+=（1）求 B.（2）是否存在()0,A，使得2acb+=，若存在，求;A若不存在，说明理由.18.已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC=，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB （1）证明：BFDE；（2）当
7、1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最大？19.函数22()ln,()(2)2.71828.xf xaxxg xxexmxe=+=+（其中）.（1）当0a 时，讨论函数()f x的单调性；（2）当1a=时，(0,1x时，()()f xg x恒成立，求正整数m最大值.20.已知函数()()lnfxaxax=+（1）讨论()f x的单调性；（2）证明：当0a 时，()2 eafxa 21.已知函数()ln1f xxx x=（1）证明：()0;f x （2）若e1xax+，求a 22.设函数()()2esin1xf xaxaxa x=+.（1）当0a 时，讨论()f x的
8、单调性；（2）若()f x在R上单调递增，求a.的 第1页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 英才大联考长郡中学英才大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（五）届高三月考试卷（五）数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.集合2|60Ax xx=，集合2|lo1gBxx=，则AB=A.()2,3 B.(),3 C.()2,2 D.()0,2【答案】A【解析】【分析】先由二次不等式的解法得|23Axx=，由对数不等式的解法
9、得|02Bxx=，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260 xx,解得23x,则|23Axx=,解不等式2log1x,解得02x,即|02Bxx=时，2yxx=，,第2页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 其在10,2单调递增，在1,2+单调递减，故错误；对C：容易知1yx=是偶函数，当0 x 时，1yx=是单调增函数，故正确；对D：容易知1yxx=是奇函数，故错误；故选：C.3.已知像 2，3，5，7这样只能被 1 和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设 x是正整数，用()x表示不超过 x的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当 x 充分大时，()lnxxx，利用此公
10、式求出不超过 10000的素数个数约为(lge0.4343)（）A.1086 B.1229 C.980 D.1060【答案】A【解析】【分析】由题中的定义，可知是计算ln1100000000，再根据对数的运算法则及性质求解即可.【详解】由题意，可知100002500(10000)2500lge2500 0.43431086ln100004ln10l00100n10=.故选:A 4.2021年 10 月 12日，习近平总书记在生物多样性公约第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲”某工厂将产生的废气经过过
11、滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 P（单位：毫克/升）与过滤时间 t（单位：小时）之间的函数关系为()0e0ktPPt=，其中 k 为常数，0k，0P为原污染物数量该工厂某次过滤废气时，若前 4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 90%，那么再继续过滤 2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）A.5%B.3%C.2%D.1%【答案】B【解析】【分析】根据前 4小时废气中的污染物恰好被过滤掉 90%，求出1ln104k=，再计算经过 6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.【详解】由题可得，前 4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉 90%，故由0ektPP=得()400190%e
12、kPP=，所以40.1ek=，即1ln104k=，由再过滤 2 小时，即共 6小时，空气中剩余污染物为 第3页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 321336ln10ln106ln1042200000010eeee10100kPPPPPPP=，()103,3.5，故污染物所剩比率约为03%P,故选：B（2022.苏北七市三模）5.函数()()2,Raxbf xa b cxc+=+的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取0,0,0acb=，此时()2axf xxc=+，可排除 A、C、D.【详解】因为,Ra b c，所以取0,0,0acb=，此时()2axf xxc=+，
13、0 x 时，()0f x，0 x 时，()0f x，每段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，因 n 段之和为定值，欲 n尽可能的大，按从小到大排序后，必须每段的长度尽可能小，即：保证前两段最短的情况下，使得第三项等于前两项之和便不能构成三角形.【详解】截成的铁丝最小为 1，因此第一段为 1，第4页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 因 n段之和为定值，欲 n尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，所以第二段为 1，又因为任意三
14、条线段都不能构成三角形，所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，又因为每段的长度尽可能小，所以第三段为 2，为了使得 n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各数之和为 88，与 89 相差 1，因此可以取最后一段为 35，这时 n 达到最大为 9.故选：B.7.已知函数211()sinsin(0)222xf xx=+，xR.若()f x在区间(,2)内没有零点，则的取值范围是 A.10,8 B.150,148 C.50,8 D.11 50,84 8【答案】D【解析】【分析】先把()f x化成2()si
15、n24f xx=，求出()f x的零点的一般形式为+4,kxkZ=，根据()f x在区间(,2)内没有零点可得关于k的不等式组，结合k为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.【详解】由题设有1 cos112()sinsin22224f xxxx=+=，令()0f x=，则有,4xkkZ=即+4,kxkZ=.因为()f x在区间(,2)内没有零点，故存在整数k，使得5+442kk，所以1k 且15428kk+，故1k=或0k=，所以108或1548，故选：D.【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.8.已知函数22()4
16、2af xxxx=在区间(),2，3,上都单调递增，则实数a的取值范围是（）A.02 3a B.04a C.04 3a D.08 3a【答案】D【解析】【分析】设2()42ag xxx=的零点为1x，2x且12xx，函数()g x一定有两个零点，设()g x的两个零点为1x，2x且12xx，由2402axx=，得2116242aax+=，2216242aax+=，121224,2()24,24,2axxxaf xxxxxxaxxx+，当0a 时，()f x在()1,x上单调递减或为常函数，从而()f x在(),2 不可能单调递增，故 第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 0a；当0a
17、时，()20ga=，故12x ，则120 x，()f x在()1,x上单调递增，()f x在(),2 上也单调递增，3(3)102ga=，23x，由()f x在2,8ax和()2,x+上都单调递增，且函数的图象是连续的，()f x在,8a+上单调递增，欲使()f x在3,上单调递增，只需38a，得8 3a，综上：实数a的范围是08 3a.故选：D.【点睛】关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出()f x的分段函数表达式，再讨论参数 a，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项
18、中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9.同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程航海光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()xxf xaebe=+（其中 a，b是非零常数，无理数 e=2.71828），对于函数()f x，以下结论正确的是（）A.如果 a=b，那么()f x为奇函数
19、B.如果0ab，那么()f x没有零点 D.如果1ab=，那么()f x的最小值为 2【答案】BC【解析】【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质逐一分析即可得到选项.【详解】解：对于 A：当ab=时，函数()xxf xaeae=+，此时()()xxfxaeaef x=+=为偶函数，故 A 错误.对于 B：当0ab，函数xyae=在其定义域上单调递增函数，函数xbye=在其定为 第7页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 义域上也为单调递增函数，故函数()xxbf xaee=+在其定义域上为单调递增函数；当0,0ab，函数xyae=在其定义域上为单调递减函数，函数xbye=在
20、其定义域上也为单调递减函数，故函数()xxbf xaee=+在其定义域上为单调递减函数；综上，如果0ab 时，函数()220 xxxxf xaebeaebeab=+=，当0,0ab时，函数()()()()220 xxxxf xaebeaebeab=，那么函数()f x没有零点；故 C 正确.对于 D：由1ab=，则1ba=，当0,0ab时，函数()1122xxxxf xaeeaeeaa=+=；故1ab=时，函数()f x没有最小值，故 D 错误 故选：BC.10.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体 1如图 1，沿着1BB和1DD分别作上底面的垂面，垂面经过棱,EP PH HQ QE的中点,
21、F G M N，则两个垂面之间的几何体 2 如图 2 所示，若2ENABEA=，则（）A.12 2BB=B./FGAC C.BD平面1BFBG D.几何体 2的表面积为16 38+【答案】ABC.第8页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】对于 A，先证得四形边1B FBG是边长为2菱形，再利用中位线定理求得FG，从而得解；对于 B，利用面面平行的性质定理证得/ACEH，从而得证；对于 C，利用勾股定理证得PQBK，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；对于 D，将几何体 2拆分成 4个正方形与 8 个菱形即可得得解.【详解】将几何体 1 与几何体 2 合并在一起，连接1,BB
22、FG PQ EH AC BD，记FGPQK=，易得1KBB，对于 A，因为在正四棱台ABCDEPHQ中，/ABEP，F是EP的中点，所以/ABEF，又N是EQ的中点，2EN=，所以4EQ=，则4EP=，2EF=，又2AB=，所以ABEF=，所以四边形ABFE是平行四边形，则2BFAE=，同理：112B FBGBG=，所以四形边1B FBG是边长为2菱形，在边长为4的正方形EPHQ中，4 2HE=，因为,F G是,EP PH的中点，所以/FGEH，12 22FGEH=，所以2212 22 22 22BB=，故 A正确；对于 B，因为在正四棱台ABCDEPHQ中，面/ABCD面EPHQ，又面AEH
23、C 面ABCDAC=，面AEHC 面EPHQEH=，所以/ACEH，又/FGEH，所以/FGAC，故 B 正确；对于 C，在四边形EPHQ中，由比例易得124PKPQ=，第9页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 由对称性可知1122BKB B=，而2PB=，所以222PKBKPB+=，则PKBK，即PQBK，而由选项 B同理可证/BDPQ，所以BDBK，因为在正方形ABCD中，BDAC，而/FGAC，所以BDFG，因为,BKFGK BK FG=面1BFBG，所以BD面1BFBG，对于 D，由选项 A易知四边形1BGB F是边长为2的正方形，上下底面也是边长为2的正方形，四边形ABFE是边长
24、为2的菱形，其高为2242232=，所以几何体 2是由 4个边长为 2 正方形和 8 个上述菱形组合而成，所以其表面积为24 28 2316 16 3+=+，故 D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得四形边1B FBG是边长为2菱形，从而解决选项 A，再利用面面平行的性质定理推得/ACEH，/BDPQ，从而解决选项 BC，将几何体 2 各个面分解成基本图形即可解决 D.11.已知函数exyx=+的零点为1x，lnyxx=+的零点为2x，则（）A.120 xx+B.120 x x C.12ln0 xex+=D.12121x xxx+【答案】BCD【解析】【分析】将零点问题
25、转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.【详解】12,x x分别为直线yx=与exy=和lnyx=的交点的横坐标，因为函数exy=与函数lnyx=互为反函数，所们这两个函数的图象关于直线yx=，而直线yx=、yx=的交点是坐标原点，故120 xx+=，120 x x，()11,0 x ，()20,1x，1212ln0exxxx+=，第10页/共23页 学科网（北京）股份有限公司()()1212121110 x xxxxx+=+，故12121x xxx+时，()fx的最小值为 1【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，
26、确定函数极值点；对于B，设切点为2e(,),ammn nbmm=+，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于 C，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于 D，由于()fx为偶函数，故先判断0 x 时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断0 x，则()g x即()e2axfxaxb=+在 R 上单调递增，令()e20axfxaxb=+=，则e2axaxb=，当0a 时，作出函数e,2axyayxb=的大致图象如图：当a0时，作出函数e,2axyayxb=的大致图象如图：第11页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 可知e,2axya
27、yxb=的图象总有一个交点，即()e20axfxaxb=+=总有一个根0 x，当0 xx时，()0fx时，0fx，此时()f x存在唯一极小值点，A正确；对于 B，由于()01f=，故原点不在曲线()2eaxf xxbx=+上，且()e2axfxaxb=+，设切点为2e(,),ammn nbmm=+，则()2ee2amamnmbmfmambmm+=+=，即eeamamamm+=，即2e(1)0amamm+=，令2()e(1)amh mamm=+，2()e(1)e2(e2)amamamh maamamm a=+=+，当0m 时，()0h m时，()0h m，()h m在(0,)+上单调递增，故m
28、in()(0)1h mh=，当m 时，e(1)amam的值趋近于 0，2m趋近于无穷大，故()h m趋近于正无穷大，当m +时，e(1)amam的值趋近于正无穷大，2m趋近于无穷大，故()h m趋近于正无穷大，故()h m在(,0)和(0,)+上各有一个零点，即2e(1)0amamm+=有两个解，故对任意a，b，曲线()yf x=过原点的切线有两条，B正确；对于 C，当2ab+=时，2=ba，()2e(2)axf xxax=+，故()e22axfxaxa=+，该函数为 R上单调增函数，()()020,1e(e1)0aaffaaa=，第12页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 故(0,1)s
29、，使得()0fs=，即22e1assaa=+，结合 A的分析可知，()f x的极小值也即最小值为2222e(2)1(2()asfsasssasaas+=+=，令2221)2)(ssasaam s+=，则()22(2)m ssaa=+，且为增函数，当a，当且仅当2a=时取等号，故当0s 时，()()00m sm，则()f s在(0,1)上单调递增，故2()(0)1f sfa=+，令3a=，则21(0)10,()(0)03ff sfa=+=，此时()f x的最小值为()0f s，()f x无零点，C 错误；对于 D，当0ab+时，()fx为偶函数，考虑0 x 视情况；此时()2e,)()0axfx
30、f xxbx x+=，e()2axxabfx+=+，结合 A的分析可知e()2axxabfx+=+在 R 上单调递增，)0(0bfa=+，故0 x 时，()(0)0fxf，则()f x在(0,)+上单调递增，故()f x在(,0)上单调递减，()fx为偶函数，故()min(0)1fxf=，D正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小
31、题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知sin3cos0=，则cos2tan+=_【答案】115#2.2#125【解析】【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可.【详解】因为tan3=，则22222222cossin1tan4cos2cossincossin1tan5=+，第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以411cos2tan355+=故答案为：115 14.函数()1 293xxf x=+的最小值是_.【答案】2 3【解析】【分析】先化简为()399xxf x=+，再结合基本不等式求出最小值即可.【详解】()1 2233393992 92 3399xxxxxxxx
32、f x=+=+=+=，当且仅当399xx=，即14x=时取等.所以最小值为2 3.故答案为：2 3.15.写出一个同时具有下列性质的函数()f x=_.()f x是定义域为R的奇函数；()()11fxfx+=；()12f=.【答案】2sin2x（答案不唯一）【解析】【分析】根据满足的条件写出一个函数即可.【详解】由条件可知函数对称轴为1x=，定义域为 R 的奇函数，可写出满足条件的函数()2sin2f xx=.故答案为：2sin2x（答案不唯一）16.函数()sinln 23f xxx=的所有零点之和为_【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，构造函数sinyx=，ln 23yx=，作出这两个
33、函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由()0sinln|23|xxf x=，令sinyx=，ln 23yx=，显然sinyx=与ln 23yx=的图象都关于直线32x=对称，第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 在同一坐标系内作出函数sinyx=，ln 23yx=的图象，如图，观察图象知，函数sinyx=，ln 23yx=的图象有 6 个公共点，其横坐标依次为123456,x xx xx x，这 6个点两两关于直线32x=对称，有1625343xxxxxx+=+=+=，则1234569xxxxxx+=，所以函数()sinln 23f xxx=的所有零点
34、之和为 9.故答案为：9 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且()222(sinsinsin)1 cos2.aAcCbBaC+=（1）求 B.（2）是否存在()0,A，使得2acb+=，若存在，求;A若不存在，说明理由.【答案】（1）3B=或23；（2）当3B=时，存在3A=，使得2;acb+=当23B=时，不存在()0,A，使得2.acb+=【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cosB，进而求得B.
35、（2）利用正弦定理化简已知条件，对B进行分类讨论，进而求得A.【详解】（1）因为()222(sinsinsin)1 cos2aAcCbBaC+=，所以222(sinsinsin)sinaAcCbBaC+=，可得sinsinsinsinaAcCbBaC+=或sinsinsinsinaAcCbBaC+=，即222acbac+=或222acbac+=，所以2221cos22abcBac+=，又因为()0,B，所以3B=或23.第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（2）因为2acb+=，所以sinsin2sinACB+=.当3B=时，sinsin2sin33AA+=，可得33sincos32
36、2AA+=，所以sin16A+=，又因为203A，所以.3A=当23B=时，22sinsin2sin33AA+=，可得13sincos322AA+=，所以sin33A+=，无解，综上，当3B=时，存在3A=，使得2;acb+=当23B=时，不存在()0,A，使得2.acb+=18.已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC=，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB （1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）当12B D=时，面11BBC C与面DF
37、E所成的二面角的正弦值最大 第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）连接AF，易知1CF=，5BF=，由11BFAB，BFAB，再利用勾股定理求得AF和AC的长，从而证明BABC，然后以B为原点建立空间直角坐标系，证得0BF DE=，即可；（2）易知平面11BBC C的一个法向量为(1p=，0，0)，求得平面DEF的法向量n，再由空间向量的数量积可得23cos,1272()22p nm=+，从而知当2m=时，得解【小问 1 详解】证明：连接AF，E，F分别为直三棱柱111ABCABC的棱AC和1CC的中点，且2ABBC=，1CF=，5BF=，11BFAB，11/AB
38、AB，BFAB 22222(5)3AFABBF=+=+=，2222312 2ACAFCF=，222ACABBC=+，即BABC，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，第17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 则(2,0,0)A，(0,0,0)B，(0,2,0)C，(1,1,0)E，(0,2,1)F，设1B Dm=，且0,2m，则(,0,2)D m，(0,2,1)BF=，(1,1,2)DEm=，0BF DE=，即BFDE【小问 2 详解】解：AB 平面11BBC C，平面11BBC C的一个法向量为(1,0,0)p=，由（1）知，(1,1,
39、2)DEm=，(1,1,1)EF=，设平面DEF的法向量为(,)nx y z=，则00n DEn EF=，即(1)200m xyzxyz+=+=，令3x=，则1ym=+，2zm=，(3,1,2)nmm=+，2222333cos,|12719(1)(2)22142()22p np npnmmmmm=+，又0,2m 当2m=时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当12B D=时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最大 19.函数22()ln,()(2)2.71828.xf xaxxg xxexmxe=+=+（其中）.（1）当0a 时，讨论函数()f
40、x的单调性；（2）当1a=时，(0,1x时，()()f xg x恒成立，求正整数m的最大值.【答案】（1）见解析（2）3【解析】【分析】（1）对()f x求导，再因式分解，讨论每个因式的正负，再判断()fx的正负，进而判断()f x的单调性；（2）代入1a=，将不等式()()f xg x中的x和m分离在不等号两边，然后讨论不等号含有x一边的函数的单调性，进而判断最值，再计算m的取值范围，由m是正整数的条件可求出m的最大值.【详解】解：（1）函数()f x的定义域为(0,)+，22()21,axxafxxxx+=+=第18页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 当18a 时，因为(0,)x+，
41、故有2111()0248xafxx+=.此时函数()f x在区间(0,)+单调递减.当108a，方程220 xxa+=的两根分别是：1211 811 80,044aaxx+=1(0,)()0,xxfx，函数()f x在12(,)x x上单调递增；当2(,)()0,xxfx+，函数()f x在2(,)x+上单调递减.当0a=时，易知()f x在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+上单调递减.综上所述，当18a 时，()f x(0,)+上单调递减；当108a +，设1()(2)ln,(0,1,()(1)(),xxh xxexx xh xx ex=+=当01x()u x在(0,1上单调递增，又()
42、u x在(0,1上的函数图像是一条不间断的曲线，且1()e202u，(1)10ue=存在唯一01,12x，使得0()0u x=，即001xex=.在的 第19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 当0(0,),()0,()0 xxu xh x，()h x在0(0,)x上单调递减，在0(,1x上单调递增，0min00000000012()()(2)ln(2)212,xh xh xxexxxxxxx=+=+=+212yxx=+在(0,1)上单调递减，01(,1)2x，0()(3,4).h x 3m时，不等式(2)lnxmxexx时，()2 eaf xa，恒有ln1aa且1eaa+，所以()0f
43、x时，()()xafxx=，令()0fx=，得xa=，则当()0,xa时，0fx，有()f x在()0,a上单调递增；第20页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 当(),xa+时，()0fx时，()f x在()0,a上单调递增，()f x在(),a+上单调递减【小问 2 详解】我们先证明引理：0a，恒有ln1aa且1eaa+，恒有()0g a，()0h a 由于()11gaa=，知当()0,1a时，()0ga；则()g a在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min10g ag=，所以0a，恒有()0g a 由于()e1ah a=，知当0a，均有0e1e10a =，所
44、以恒有()0h a，故()h a在()0,+上单调递增，则()0e0 10h a =所以0a，恒有()0h a 综上，引理得证回到原题：由（1）得()()2maxlnf xf aaaaa=+，故只需证明：对0a，恒有2ln2 eaaaaaa+，即ln12eaaa+由引理得()()ln111212eaaaaaa+命题得证【点睛】关键点点睛：根据需要证明不等式，进行恰当转化可得ln12eaaa+，恒有ln1aa且1eaa+时()min()lnln10g xgaaa a=，结合（1）中的结论求解即可【小问 1 详解】证明：()ln1f xxx x=的定义域为()0+，且()11lnln.fxxxxx
45、=+=令 0fx，得1x=当01x时，0fx，()f x单调递减，所以()max()10f xf=，所以()0.f x 【小问 2 详解】令()e1xg xax=，则()exgxa=当0a 时，有()11e10ga=+时，令 0gx，得ln.xa=当lnxa时，0gx，()g x单调递增，所以()min()lnln10.g xgaaa a=由()1知，ln10(aa a 当且仅当1a=时，取等号)，所以ln10aa a=，所以1a=22.设函数()()2esin1xf xaxaxa x=+.（1）当0a 时，讨论()f x的单调性；（2）若()f x在R上单调递增，求a.【答案】（1）在(),
46、0上单调递减，在()0,+上单调递增 第22页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（2）12【解析】【分析】（1）求得()()ecos21xfxaxaxa=+，设()()g xfx=，得到()()e2 sinxg xax+=，得到()yg x=在R上单调递增，得到()yfx=在R上单调递增，结合()00f=，即可求解；（2）令()e1xh xx=，利用导数求得()()00h xh=，得到e10 xx 和e1xx，令()sinxxx=，得出0 x 时，sinxx；0 x，得到sinxx，分0a，102a和12a=，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【小问 1 详解】解：因
47、为()()2esin1xf xaxaxa x=+，可得()()ecos21xfxaxaxa=+，设()()g xfx=，则()()e2 sinxg xax+=所以当0a 时，()0gx，函数()yg x=在R上单调递增，即函数()yfx=在R上单调递增，又由()00f=，所以当0 x 时，()0fx时，0fx，所以当0a 时，()f x在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增.【小问 2 详解】解：令()e1xh xx=，可得()e1xh x=，当0 x 时，()0h x，()h x单调递增；当0 x 时，()0h x，()h x单调递减，又由()00h=，所以()()00h xh=，即e
48、10 xx，所以e1xx+，所以e1xx；令()sinxxx=，可得()1 cos0 xx=，所以函数()x单调递增，因为()00=，当0 x，可得()()00 x=，即sin0 xx，即sinxx；当0 x，可得()()00 x=，即sin0 xx，即sinxx，第23页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（2.1）当0a 时，由（1）知不合题意；（2.2）当102a时，若(),0 x，()()ecos21xfxaxaxa=+()1cos211axaxax+121212111ax xaaaxaxx+=；当1102xa时，()0fx时，若()0,1x，同理可得()12121ax xafxx，当1012xa 时，()0fx时，()111esin11sin10222xgxxxxxx=+，所以()g x在()0,+上单调递增，()fx在()0,+上单调递增，当0 x 时，若)1,0 x，()()()1111esin1102122 1xxxgxxxxx+=，若(,1x ，()111esin1102e2xgxx+=，所以()g x在(),0上单调递增，()fx在(),0上单调递增，由可知，()()00fxf=，所以()f x在R上单调递增，综上所述，12a=.