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1、引引 入入引引 入入引引 入入 日食是一种天文现象日食是一种天文现象,在民间在民间称此现象为天狗食日称此现象为天狗食日.日食只在月日食只在月球与太阳呈现重合的状态时发生球与太阳呈现重合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。环食、全环食。我们将月亮与太阳抽象为圆，我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的位置关系是怎样的?问题问题1 圆与圆有几种不同的位置系？圆与圆有几种不同的位置系？2.5.2 2.5.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程2023/11/
2、272.5 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系探究新知探究新知1个个2个个1个个0个个0个个1个个2个个0个个1个个问题问题2 观察左圆运动过程中两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？观察左圆运动过程中两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含探究新知探究新知1.圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系：(1)两圆两圆相交相交，有，有两个公共点两个公共点；(2)两圆两圆相切相切，包括，包括外切与内切外切与内切，只有，只有一个公共点一个公共点；(3)两圆两圆相离相离，包括，包括外离与内外离与内含，含，没有公共点没有公共点.按位置
3、分有按位置分有5种：种：外离、外切、相交、内切、内含外离、外切、相交、内切、内含.按公共点个数分有按公共点个数分有3种：种：相离、相交、相切相离、相交、相切.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含探究新知探究新知2.圆与圆的位置关系判定方法：圆与圆的位置关系判定方法：问题问题3 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系圆的方程，判断它们之间的位置关系?(1)把两圆的方程联立成方程组把两圆的方程联立成方程组 ；(2)消去消去y(或或x)得到关于得到关于x(或或y)的一元二次方程；
4、的一元二次方程；(3)求出求出；(4)判断判断的符号，得出结论：的符号，得出结论：若若0，则两圆，则两圆相交相交优点：优点：能求出两圆的交点能求出两圆的交点缺点：缺点：当当r1+r2，则两圆则两圆外离外离；若若d=r1+r2，则两圆则两圆外切外切；若若|r1-r2|dr1+r2，则两圆，则两圆相交相交；若若d=|r1-r2|，则两圆则两圆内切内切；若若0dr1+r2，则两圆则两圆外离外离；若若d=r1+r2，则两圆则两圆外切外切；若若|r1-r2|dr1+r2，则两圆，则两圆相交相交；若若d=|r1-r2|，则两圆则两圆内切内切；若若0d0，所以，方程，所以，方程有两个不相等的有两个不相等的实
5、实数根数根x1，x2.把把x1，x2分分别别代人方程代人方程，得到，得到y1，y2.因此因此圆圆C1与与圆圆C2有两个公共点有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这这两个两个圆圆相交相交.yxABC2C1例题讲解例题讲解例例1解法解法2:把把圆圆C1与与圆圆C2的方程分的方程分别别化成化成标标准方程，得准方程，得圆圆C1与与圆圆C2相交相交.yxABC2C1例题讲解例题讲解例例12.你发现了什么？你能说明什么吗你发现了什么？你能说明什么吗？先动手后动脑先动手后动脑1.画出两圆的图象和方程画出两圆的图象和方程 表示的直线的图象表示的直线的图象当两圆相交时，当两圆相交时，两圆方程相减两圆
6、方程相减，可得两圆可得两圆公共弦所在直线的方程公共弦所在直线的方程.课堂练习课堂练习1.两圆两圆x2+y2-6x=0和和x2+y2+8y+12=0的位置关系（的位置关系（）.相离相离.外切外切.相交相交.内切内切2.若圆若圆x2+y2-2ax+a2=4和和x2+y2-2by+b2=1外离，则外离，则a,b满足的条件是满足的条件是_.3.两圆两圆x2+y2-2x=0与与x2+y2-4y=0的公共弦所在直线的方程的公共弦所在直线的方程_.Bx-2y=0解解:把把圆圆C2方程化成方程化成标标准方程，得准方程，得圆圆C1与与圆圆C2外切外切.4.课堂练习课堂练习5.当当实实数数k为为何何值值时时，两两
7、圆圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相离相交、相切、相离？例题讲解例题讲解3.圆与圆相交的公共弦问题：圆与圆相交的公共弦问题：【教材教材98页页9】C(2,-2)OxyAB解解1:将将圆圆C1与与圆圆C2的方程的方程联联立，得到方程立，得到方程组组联联立立，消去，消去y，可得，可得例例2例题讲解例题讲解3.圆与圆相交的公共弦问题：圆与圆相交的公共弦问题：【教材教材98页页9】例例2C(2,-2)OxydAB解解2:将将圆圆C1与与圆圆C2的方程相减，可得公共弦所在直的方程相减，可得公共弦所在直线线l的方程的方程为为l探究新知探究新知(1)当两圆相交时，公共
8、弦所在的直线方程的求法当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若若圆圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交相交，则则两圆两圆公共弦所在的直线公共弦所在的直线方程为方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(2)公共弦长的求法公共弦长的求法代代数数法法：将将两两圆圆的的方方程程联联立立，解解出出交交点点坐坐标标，利利用用两两点点间间的的距距离离公公式式求求 出出弦长弦长.几何法几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构弦心距构成成的直角三角形，根据勾股定理求解的直角三角形，根据勾
9、股定理求解.3.圆与圆相交的公共弦问题：圆与圆相交的公共弦问题：课堂练习课堂练习解解:把把圆圆C1与与圆圆C2的方程分的方程分别别化成化成标标准方程，得准方程，得圆圆C1与与圆圆C2相交相交.把把圆圆C1与与圆圆C2的方程相减，得的方程相减，得圆圆C1与与圆圆C2的公共弦所在直的公共弦所在直线线的方程的方程为为6.课堂练习课堂练习解：解：由题意将两圆的方程相减，可得圆由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆和圆C2公共弦所在的直线公共弦所在的直线l的方程的方程为为 xy10.又圆又圆C3的圆心坐标为的圆心坐标为(1，1)，7.圆圆C1：x2y21与与圆圆C2：x2y22x2y10的的公公共共弦弦
10、所所在在的的直直线线被被圆圆C3：(x1)2(y1)2 所所截得的弦长为截得的弦长为_.例题讲解例题讲解例例3 求求圆圆心心在在直直线线xy40上上，且且过过两两圆圆x2y24x60和和x2y24y60 的交点的圆的方程的交点的圆的方程.两两圆圆x2y24x60和和x2y24y60的的交交点点坐坐标标分分别别为为A(1，1)，B(3，3)，线段，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为的垂直平分线所在的直线方程为y1(x1).即所求圆的圆心坐标为即所求圆的圆心坐标为(3，1)，所求圆的方程为所求圆的方程为(x3)2(y1)216.解法一解法一:得两圆公共弦所在直线的方程为得两圆公共弦所在直线的方程
11、为yx.例题讲解例题讲解例例3 求求圆圆心心在在直直线线xy40上上，且且过过两两圆圆x2y24x60和和x2y24y60 的交点的圆的方程的交点的圆的方程.解法解法二二:设设经经过过两两圆圆交交点点的的圆圆系系方方程程为为 x2y24x6(x2y24y6)0(1)，所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为x2y26x2y60.例题讲解例题讲解【教材教材98页页7】解解1：例题讲解例题讲解【教材教材98页页7】解解2：4.圆系方程：圆系方程：例题讲解例题讲解1.若若两圆相交两圆相交，则过交点的圆系方程为，则过交点的圆系方程为 2.若若两圆相切两圆相切(内切或外切内切或外切),则则公切线所在直线公切
12、线所在直线方程为方程为 注意：注意：为参数为参数,圆系中不包括圆圆系中不包括圆C2;当当1时时,方程两圆的方程两圆的公共弦所在直线方程公共弦所在直线方程,即即(也就是两圆方程相减所得也就是两圆方程相减所得)例题讲解例题讲解 例例4 已知圆已知圆O的直径的直径AB4，动点，动点M与点与点A的距离是它与点的距离是它与点B的距离的的距离的 倍倍.试探究试探究点点M的轨迹，并判断该轨迹与圆的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系的位置关系.PMxyOAB 解解:如如图图示，以示，以线线段段AB的中点的中点O为为原点建立平面直角坐原点建立平面直角坐标标系系.由由AB=4，得，得A(一一2,0)，B(2,0)
13、.所以点所以点M的的轨轨迹是以迹是以P(6,0)为圆为圆心，半心，半径径为为 的一个的一个圆圆.因因为为两两圆圆的的圆圆心距心距为为|PO|=6，两，两圆圆的半的半径分径分别为别为r1=2，r2=，又，又r2-r1|PO|r2+r1，所以点所以点M的的轨轨迹与迹与圆圆O相交相交.例题讲解例题讲解已知圆已知圆O的方程为的方程为x2+y2=9,求过点求过点A(1,2)所作的弦的中点所作的弦的中点P的轨迹的轨迹.变式变式:探究新知探究新知已知圆已知圆O的方程为的方程为x2+y2=9,求过点求过点A(1,2)所作的弦的中点所作的弦的中点P的轨迹的轨迹.变式变式:点点 差差 法法例题讲解例题讲解OxyA
14、lBC(-1,2)得直线与圆的交点坐标为得直线与圆的交点坐标为故所求圆方程为：故所求圆方程为：解解1：【巩固训练巩固训练2】例题讲解例题讲解【巩固训练巩固训练2】设所求圆的方程为设所求圆的方程为解解2：故面积最小的圆的方程：故面积最小的圆的方程：例题讲解例题讲解【巩固训练巩固训练3】解：解：探究新知探究新知【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(1)直线直线PA、PB的方程；的方程；(2)过点过点P与与 C相切的切线长；相切的切线长；(3)APB的余弦；的余弦；(4)以以PC为直径的圆的方程；为直径的圆的方程；(5
15、)直线直线AB的方程的方程.xyOPABC例题讲解例题讲解解：解：【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(1)直线直线PA、PB的方程；的方程；xyOPABC例题讲解例题讲解解：解：【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(2)过点过点P与与 C相切的切线长；相切的切线长；xyOPABC例题讲解例题讲解(3)取两切线取两切线PA、PB的方向向量分别为的方向向量分别为【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作
16、 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(3)APB的余弦；的余弦；xyOPABC解：解：例题讲解例题讲解 以以PC为直径的圆的圆心坐标为为直径的圆的圆心坐标为 半径为半径为【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(4)以以PC为直径的圆的方程；为直径的圆的方程；xyOP(2,1)ABC解：解：以以PC为直径的圆方程为：为直径的圆方程为：以以PC为直径的圆方程为：为直径的圆方程为：例题讲解例题讲解【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:
17、(5)直线直线AB的方程的方程.解解1：xyOP(2,1)ABC例题讲解例题讲解【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(5)直线直线AB的方程的方程.解解2：xyOP(2,1)ABC例题讲解例题讲解【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(5)直线直线AB的方程的方程.解解3：xyOP(2,1)ABC例题讲解例题讲解【典例典例】已知已知 C:(x1)2(y2)22,P(2,1),过过P作作 C的切线的切线,切点为切点为A,B.求求:(5)
18、直线直线AB的方程的方程.解解4：xyOP(2,1)ABC解解5：探究新知探究新知1.过圆外一点过圆外一点P(x0,y0)引圆引圆x2+y2=r2的两条切线的两条切线,则过两切点的直线方程为：则过两切点的直线方程为：xOPABy2.过圆外一点过圆外一点P(x0,y0)引圆引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的两条切线的两条切线,则过两切点的直线方程为则过两切点的直线方程为推广：推广：注注意意：此此方方程程与与过过圆圆上上一一点点P(x0,y0)与与圆圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程是一样的相切的切线方程是一样的.课堂练习课堂练习8.求圆求圆 关于直线关于直线 对称的圆的方程对称的圆的方程.CED(a,b)课堂小结课堂小结1.研究两圆的位置关系可以有两种方法研究两圆的位置关系可以有两种方法:代数法：代数法：联立两者方程看是否有解联立两者方程看是否有解 几何法：几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的判断圆心距与两圆半径的和与差的 绝对值的大小绝对值的大小2.会求两圆相交时的公共弦所在的直线的方程和公共弦长会求两圆相交时的公共弦所在的直线的方程和公共弦长.布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业