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1、7.5 7.5 正态分布正态分布第七章 随机变量及其分布复习回顾回顾 前面已经研究过哪些重要的离散型随机变量？前面已经研究过哪些重要的离散型随机变量？二项分布：一般地，在一般地，在n重伯努利重伯努利试验试验中，中，设设每次每次试验试验中事件中事件A发发生的概率生的概率为为p(0p0，它的，它的图图象在象在x轴轴的上方，可以的上方，可以证证明明x轴轴和曲和曲线线之之间间的区域的面的区域的面积为积为1.我我们们称称f(x)为为正态密度函数正态密度函数，称它的，称它的图图象象为为正态密度正态密度曲线曲线，简简称称正态曲线正态曲线，若随机，若随机变变量量X的概率分布密的概率分布密度函数度函数为为f(x
2、)，则则称随机称随机变变量量X服从服从正态分布正态分布，记为记为XN(,2).其中其中R，0为为参数参数.特特别别地，当地，当=0,=1时时，称随机，称随机变变量量X服从服从标准正态分布标准正态分布.y012-1-2x-33=0=1相关知识 早在1733年，法国数学家棣莫弗（A.De Moivre,1667-1754）在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式直到德国数学家高斯（C.F.Gauss,1777-1855）提出正态误差的理论后，正态密度函数才取得概率分布的身份因此，人们也称正态分布为高斯分布 高高斯斯是是一一个个伟大大的的数数学学家家，一一
3、生生中中的的重重要要贡献献不不胜枚枚举，早早期期德德国国的的10马克克纸币上上印印有有高高斯斯的的头像像和和正正态分分布布曲曲线，这就就传达达了了一一个个信信息息：在在高高斯斯的的科科学学贡献献中中，对人人类文明影响最大的是文明影响最大的是“正正态分布分布”。新知探究追问3 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？若若XN(，2)，则如右图所示，则如右图所示，X取值不超过取值不超过x的概率的概率P(Xx)为图中为图中区域区域A的面积的面积，而而P(aXb)为区域为区域B的面积的面积.面积即为概率！由由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以
4、下特点的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:(1)曲曲线线是是单单峰的，它关于直峰的，它关于直线线x=对对称称；具有两头低、中间高、左右对称的基本特征(2)曲曲线线在在x=处处达到峰达到峰值值(最高点最高点)；(3)正正态态曲曲线线在在x轴轴上方上方，两，两侧侧与与x轴轴无限接近而不相交；无限接近而不相交；(4)x轴轴和曲和曲线线之之间间的区域的的区域的面面积为积为1.频率组距o钟型曲线x=问题2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？新知探究新知探究312=0.5=-1=0=1 由于正由于正态态曲曲线线关
5、于关于x=对对称，因此，当称，因此，当参数参数固定固定时时，正正态态曲曲线线的的位置由位置由确定确定，且，且随着随着的的变变化而沿化而沿x轴轴平移，平移，故故称为位置参数称为位置参数规律：左“-”右“+”所以参数所以参数反映了正态分布反映了正态分布的的集中位置集中位置，可以用，可以用均值均值来估来估计，故有计，故有E(X)=.新知探究=0=0.5=1=2越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布表示总体的分布越分散越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布表示总体的分布越集中越集中.所以所以反映了随机反映了随机变变量的分布相量的分布相对对于均于均值值的的离散程度离散
6、程度，可以用，可以用标标准差准差来估来估计计，故有，故有D(X)=2.(1)曲线曲线在在x轴的上方轴的上方，与，与x轴不相交；轴不相交；(3)曲线与曲线与x轴之间的轴之间的面积为面积为1；(4)当当一定时，一定时，越大越大，曲线越曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的，表示总体的分布越分散分布越分散；越小越小，曲线越曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的，表示总体的分布越集中分布越集中.正态曲线的性质：(5)参数参数反映了正态分布的反映了正态分布的集中位置集中位置，反映了随机变量的分布相对于反映了随机变量的分布相对于均值均值的的离散程度离散程度.在实际问题中，参数在实际问题中，参数,可以分别用可以分别用样本均
7、值样本均值和和样本标准差样本标准差来估计，来估计，故有故有(2)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线x=对称对称，且在且在x=处取得处取得最大值最大值 ；归纳小结典例解析例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到骑自行车所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平均用时坐公交车平均用时30 min，样本，样本方差为方差为36；骑自行车；骑自行车平均用时平均用时34 min，样本方差为，样本方差为4.假设坐公交车用时假设坐公交车用时X和骑自行车用时和骑自行车用时Y都服从正态分
8、布都服从正态分布.(1)估计估计X，Y的分布中的参数；的分布中的参数；(2)根据根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出中的估计结果，利用信息技术工具画出X和和Y的分布密度曲线的分布密度曲线;(3)如果某天有如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由请说明理由.分析：对对于于第第(1)问问，正正态态分分布布由由参参数数和和完完全全确确定定，根根据据正正态态分分布布参参数数的的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计意义，可以分别用样本均值和样本标准
9、差来估计.对对于于第第(3)问问,这这是是一一个个概概率率决决策策问问题题,首首先先要要明明确确决决策策的的准准则则,在在给给定定的的时时间间内内选选择择不不迟迟到到概概率率大大的的交交通通工工具具；然然后后结结合合图图形形，根根据据概概率率的的表表示示，比比较概率的大小，作出判断较概率的大小，作出判断解：(1)随机随机变变量量X的的样样本均本均值为值为30，样样本本标标准差准差为为6；随机随机变变量量Y的的样样本均本均值为值为34，样样本本标标准差准差为为2.用用样样本均本均值值估估计计参数参数，用，用样样本本标标准差估准差估计计参数参数，可以得到，可以得到XN(30,62)，YN(34,2
10、2).（2）由由(1)得得XN(30,62)，YN(34,22)，作出作出X和和Y的分布密度曲的分布密度曲线线如如图图示示.(3)应选择应选择在在给给定定时间时间内不内不迟迟到的概率大的交到的概率大的交通工具。由通工具。由图图可知，可知，P(X38)P(Y34).所以，如果有所以，如果有38 min可用，那么可用，那么骑骑自行自行车车不不迟迟到的概率大，到的概率大，应选择骑应选择骑自行自行车车；如果只有如果只有34 min可用，那么坐公交可用，那么坐公交车车不不迟迟到的概率大，到的概率大，应选择应选择坐公交坐公交车车.典例解析X的密度曲线Y的密度曲线yx303438新知探究正态曲线下的面积规律
11、-x1 -x2 +x2 +x1 a-a正态曲线下正态曲线下对称区域的面积相等对称区域的面积相等对应的概率也相等对应的概率也相等利用利用“对称法对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率求正态分布下随机变量在某个区间的概率 01 2-1-2xy-33 4=10.51-aa1-a1-2a1.若若XN(2,32)，则，则E(X)=_，D(X)=_.2932 2.XN(,2)，若，若E(X)=3，(X)=2，则，则=_，=_.3.若若XN(1,2)，且，且P(X1)=_；(2)P(X0)=_；(3)P(X2)=_；(4)P(X2)=_；(5)P(0X2)=_；(6)P(0X1)=_ (精确精确到到0
12、.0001.)0.50.68270.841350.15865O1-1xy=0巩固练习 解解：正正态态变变量量几几乎乎总总是是落落在在区区间间3,3内内，所所以以可可通通过过判判断断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.XN(10,0.22)，310.6，39.4，9.529.4,10.6，9.989.4,10.6，该厂这一天的生产状况是正常的该厂这一天的生产状况是正常的.某厂生产的某厂生产的“T”形零件的外直径形零件的外直径(单位：单位：cm)XN(10,0.22)，某天从该厂，某天从该厂生产的生产的“T”形零件中
13、随机取出两个，测得它们的外直径分别为形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52cm和和9.98cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.说明：解解题题时时,应应当当注注意意零零件件尺尺寸寸应应落落在在3,3之之内内,否否则则可可以以认认为为该该批批产产品品不不合合格格.判判断断的的根根据据是是概概率率较较小小的的事事件件在在一一次次试试验验中中几几乎乎是是不不可可能能发发生生的的,而一旦发生了而一旦发生了,就可以认为这批产生不合格就可以认为这批产生不合格.巩固练习课堂小结 若随机若随机变变量量X的概率分布密度函数的概率分布密度函数为为f(x)，则则称随机称随机变变量量X服从服从正态分布正态分布，记记为为XN(,2).特特别别地，当地，当=0,=1时时，称随机，称随机变变量量X服从服从标准正态分布标准正态分布.1.正态分布：正态分布：正态密度函数：正态密度函数：2.特殊区间的概率：特殊区间的概率：