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1、第一节空间几何体考试要求：1认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图3知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题一、教材概念结论性质重现1多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等并垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3
2、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)“斜”：在直观图中，x轴、y轴的夹角为45或135(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线，在直观图中长度为原来的一半画直观图要注意平行，还要注意长度及角度两个要素4圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l5空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V13S底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V13(S上S下S上S下
3、)h球S4R2V43R3(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决(2)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题.(3)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等体积法6常用结论几个与球有关的切、接常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.若球为正方体的外接球，则2R3a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2Ra2+b2+c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.解决与球“外接”问题的关键：(1)确定球心(2)构造正(长)方
4、体等特殊几何体二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分()(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()2如图，长方体ABCD-ABCD被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是()A棱台B四棱柱C五棱柱D简单组合体C解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱3已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1
5、 cmB2 cm C3 cmD32 cmB解析：S表r2rlr2r2r3r212，所以r24，所以r2 cm.4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12B323C8D4A解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212.故选A5在直观图(如图所示)中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为_，面积为_cm2.矩形8解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.考点1空间几何体
6、的结构特征与直观图基础性1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱B圆锥C球D圆柱、圆锥、球体的组合体C解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体2下列命题正确的是()A以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台C解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确对于D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确3如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，
7、CD2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形 D一般的平行四边形C解析：如图，在原图形OABC中，应有OD2OD22242(cm)，CDCD2 cm.所以OCOD2+CD2422+226(cm)，所以OAOC，所以四边形OABC是菱形4(多选题)下列命题中正确的是()A棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C存在每个面都是直角三角形的四面体D棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等BC解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂
8、直于底面；C正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等1解决空间几何体的结构特征的判断问题，其主要方法是定义法，即紧扣定义来判断，或列举反例进行判断解答此类问题常常由于定义理解出错，如第2题有可能错选A，B，D，第4题错选A，D等2解决直观图问题，要理解并学会运用斜二测画法规则考点2空间几何体的表面积与体积综合性考向1空间几何体的表面积问题(1)(2021新高考卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A2B22C4D
9、42B解析：由题意知圆锥的底面周长为22.设圆锥的母线长为l，则l22，即l22.故选B(2)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为()A442B443C12D842A解析：连接A1B因为AA1底面ABC，则AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CA1B30.又AA1AC2，所以A1C22，所以BC2.又ABBC，则AB2，则该三棱柱的侧面积为22222442.(3)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母
10、线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S_cm2.2 600解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形由题意得所求侧面展开图的面积S12(5080)(40)2 600(cm2)求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成规则的柱体、锥体、台体，先求出这些规则的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或
11、作差，求出所给几何体的表面积1一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_12解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得1361223h23，所以h1，所以斜高h12+322，所以S侧6122212.2九章算术是我国古代数学名著，它在书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵已知一个堑堵的底面积为6，体积为43的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为_36解析：设球的半径为r，底面三角形的周长为l，由已知得r1，所以堑堵的高为2.则12lr6，l12，所以表面积S1226236.考向2空间几何体的体积问题(1)如图所示，已知三棱
12、柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A312B34C612D64A解析：易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，又三棱锥AB1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为131232312.(2)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为_61解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O，则圆台的高OOOQ2OQ252423.据此可得圆台的体积V133(525442)61.求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的
13、体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解通过选择合适的底面来求几何体体积，主要用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积1(2022全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若S甲S乙2，则V甲V乙()A5B22C10D5104C解析：如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一
14、个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2r14，2r22，解得r12，r21，由勾股定理可得h15，h222，所以V甲V乙13r12113r22210.2如图，已知体积为V的三棱柱ABCA1B1C1，P是棱B1B上除点B1，B外的任意一点，则四棱锥PAA1C1C的体积为_2V3解析：如图，把三棱柱ABCA1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1ADBC设点P到平面AA1C1C的距离为h，则VPAA1C1C13SAA1C1Ch13VAA1C1CDD1B1B132VABCA1B1C12V3.考点3与球有关的切、接问题综合性考向1“相切”
15、问题已知正四面体PABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则S1S2_63解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1434a23a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r1463a612a，因此内切球表面积为S24r2a26，则S1S23a2a2663.本例中若把“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积为323，内切球的体积为323处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，利用体积分割法求内切球半径.考向2“相接”问题已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶
16、点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A3172B 210C132D310C解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM12BC52，OM12AA16，所以球O的半径ROA522+62132.处理与球有关外接问题的策略1构造正(长)方体等特殊几何体转化为特殊几何体的外接球问题2空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面(过球心、接点等)3利用球与截面圆心的连线垂直于截面，确定球心所在的直线1(2022新高考卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A100
17、B128C144D192A解析：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为332sin603，下底面所在平面截球所得圆的半径为432sin604，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得R232R2421，解得R5，该球的表面积为4R2425100.2已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23解析：方法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CDAB，BD1，BC3，圆O内切于ABC，E为切点，连接OE，则OEBC在RtBCD中，CDBC2BD222.易知BEBD1，则CE2.设圆锥的内切球半径为R，则OC22R，在RtCOE中，OC2OE2CE2，即(22R)2
18、R24，所以R22，圆锥内半径最大的球的体积为43R323.方法二：如图，记圆锥的轴截面为ABC，其中ACBC3，AB2，CDAB，在RtBCD中，CDBC2BD222，则SABC22.设ABC的内切圆O的半径为R，则R2SABC3+3+222，所以圆锥内半径最大的球的体积为43R323.课时质量评价(三十二)A组全考点巩固练1(2022潍坊一模)以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为()A2B8C23D83B解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体是底面半径为2，高为2的圆柱体，该圆柱体的体积为V2228.2如图，一平面图形的直观图是一个等
19、腰梯形OABC，且该梯形的面积为2，则原图形的面积为()A2B2C22D4D解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的42倍，故原图形的面积为2424.3棱长为a的正四面体的表面积是()A36a2B312a2C34a2D3a2D解析：棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是434a23a2.4我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S的计算公式为()AS278d2BS272d2CS92d2DS111
20、4d2A解析：因为316V9d，所以V9d31643d23，所以278，所以S4d224278d24278d2.故选A5(多选题)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则()A该圆锥的母线长为5B该圆锥的体积为12C该圆锥的表面积为15D三棱锥SABC体积的最大值为12ABD解析：该圆锥的母线长为32+425，A正确；该圆锥的体积为1332412，B正确；该圆锥的表面积为3(35)24，C错误；当OBAC时，ABC的面积最大，此时SABC12639，三棱锥SABC体积的最大值为139412，D正确故选ABD6一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为2的扇形，则该圆锥的表面积为_54解析：设圆锥
21、的底面半径为r，则有2r22，解得r12，所以圆锥的表面积为21212254.7已知体积为8的正方体内接于球O，求球O的表面积解：由题意可知正方体的边长是2，则球O的直径为23，因此半径是3，则球的表面积是4R212.B组新高考培优练8算数书是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V136L2h，用该术可求得圆周率的近似值现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为()A3B23C33D3A解析：圆锥的体积V1
22、3L22hL212h136L2h，解得3，则设所求圆锥的底面直径与母线长为x(x0)，则底面半径为x2，则Sx2212x234x294x29，解得x2，设高为h，则V13x22h13x2x22333.故选A9张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB底面BCD，BCCD，且ABCD3，BC2，利用张衡的结论可得球O的表面积为()A30B1010C33D1210B解析：因为BCCD，所以BD7，又AB底面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为10.利用张衡的结论可得21658，则10，所
23、以球O的表面积为41022101010.故选B10(2022全国乙卷)已知球的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A13B12C33D22C解析：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r22a，该四棱锥的高h1a22，所以该四棱锥的体积V13a21a2243a24a241a2243a24+a24+1a2233431334327，当且仅当a241a22，即a243时，等号成立该四棱锥的体积最大时，其高h1a2212333.11在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离
24、中的最小值现有边长为2的正方形ABCD，则到定点A距离为1的点围成的几何体的体积为_；该正方形ABCD区域(包括边界以及内部的点)记为，则到距离等于1的点所围成的几何体的体积为_438163解析：到定点A距离等于1的点所围成的几何体是半径为1的球，其体积V431343.由题意可知，几何体为组合体，是一个棱长为2的正方体和四个高为2，底面半径为1的半圆柱及四个半径为1的四分之一球，其体积为V22241212241443138163.12如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全等的小
25、正三角形，如图乙所示若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体的体积为_2解析：由题知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，故体积为212234212132.13若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1ECF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积.解：如图所示，连接AB1，AC1.因为B1ECF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，所以VABEFCVAB1EFC112VABB1C1C又VAA1B1C113SA1B1C1AA1，VABCA1B1C1SA1B1C1AA1m，所以VAA1B1C1m3，所以VABB1C1CVABCA1B1C1VAA1B1C12m3，所以VABEFC122m3m3，即四棱锥ABEFC的体积是m3.