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1、课时规范练8函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.下列函数既是偶函数又存在零点的是()A.y=ln xB.y=x2+1C.y=sin xD.y=cos x2.已知函数f(x)=sinx(x+1)(x-a)为奇函数,则a=()A.-1B.12C.-12D.13.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a,则g(2)=()A.-4B.4C.-8D.84.(2022湖南长沙明德中学二模)定义在R上的偶函数f(x)在区间0,+)上单调递减,且f(-3)=0,若不等式f(x-m)0的解集为(-1,5),则m的值为()A.3B.2C.-2D.-35.(多选)已
2、知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+)上单调递增,且x0I,f(x0)f(2 022)f40392B.f(2 022)f40392f40432C.f40432f40392f(2 022)D.f40392f(2 022)f4043211.(多选)已知xR,函数f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x+2)=-f(2-x),则下列结论一定正确的是()A.f(x)的图象关于点(-2,0)对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图象关于直线x=-2对称D.f(x+4)为偶函数12.已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-30即为f(|x-m|)f(3),可得|x-m|3
3、,即m-3xm+3.由题意得m-3=-1,且m+3=5,解得m=2.故选B.5.ABD解析:xR,f(x)=x2+|x|0,故A不符合题意;函数f(x)=2x-2-x是定义在R上的奇函数,故B不符合题意;函数f(x)=log2|x|是定义在(-,0)(0,+)上的偶函数,且在(0,+)上,f(x)=log2x单调递增,x0=12,f12=-10,故C符合题意;幂函数f(x)=x-43在(0,+)上单调递减,故D不符合题意,故选ABD.6.CD解析:对于A,当x(0,1时,f(x)=-x2+2x,此时0f(x)1,又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且当x-1,0)时,-1f(x)
4、0,故在区间-1,1上,-1f(x)1,A错误;对于B,函数f(x)图象关于直线x=1对称,则有f(2-x)=f(x),又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x)=-f(2+x),从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是最小正周期T=4的周期函数,B错误;对于C,f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x+1)的图象关于y轴对称,f(x+1)是偶函数,C正确;对于D,f(x)是周期T=4的周期函数,则f(2021)=f(1+4505)=f(1)=1,D正确.故选CD.7.11解析:由f(0)=a-1=0,得a=1.当x0,f(-x)=-x+1-2-x=-f(
5、x),即f(x)=x-1+2-x,所以f(x)=x+1-2x,x0,x-1+2-x,xf(0)-f12,即f40432f(2022)f40392.11.AD解析:因为f(x+2)=-f(2-x),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称.又因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)是最小正周期为8的周期函数,且它的图象关于点(-2,0)对称和关于直线x=4对称,所以f(x+4)为偶函数,故选AD.12.(-1,1)解析:根据题意,对于函数f(x)=x(2x-2-x),有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),则f(x)为偶函数,其导数f(x)=2x-2-x+xln2(2x
6、+2-x),当x0时,f(x)0,则f(x)在(0,+)上单调递增,从而f(x)在(-,0)上单调递减.又f(1)=2-12=32,由2f(x)-30可得f(x)f(1),所以|x|1,解得-1x1,即不等式的解集是(-1,1).13.2解析:f(x)=e|x|-x13+1e|x|+1=1-x13e|x|+1,则函数的定义域为R.设g(x)=x13e|x|+1,xR,则g(-x)=(-x)13e|-x|+1=-x13e|x|+1=-g(x),g(x)为奇函数,g(x)max+g(x)min=0.M=f(x)max=1-g(x)min,m=f(x)min=1-g(x)max,M+m=2-g(x)
7、max+g(x)min=2.14.ACD解析:对于A,因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+2+2)=-f(x+2),f(0)=0,所以f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,故A正确;对于B,当x-1,0)时,-x(0,1,则f(-x)=1-(-x)=1+x,因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=1+x,即f(x)=-1-x,因为f(x)=-1-x,x-1,0),1-x,x(0,1,所以f(x)在区间(-1,1)内不是单调递减,故B错误;对于C,由已知得f(x+6)=f(x+2)=-f(x)=f(-x),所以f(
8、x-3+6)=f-(x-3),即f(x+3)=f(3-x),所以f(x)的图象关于直线x=3对称,故C正确;对于D,因为f(x+4)=f(x)=-f(-x),所以f(x+4)+f(-x)=0,所以f(x-4+4)+f-(x-4)=0,即f(x)+f(4-x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,故D正确.故答案为ACD.15.1解析:因为对任意xR,都有f(x)5,所以当x=a时,f(x-a)5,不满足f(0)=0,所以无论正数a取什么值,f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;中f(x)=cos2x-2=sin2x,f(x)的图象向左或右平移4个单位长度后其函数变为偶函数,f(x)的图象向左或右平移2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;中f(x)=sinx+cosx=2sinx+4,因为fx-4=2sinx是奇函数,fx+4=2cosx是偶函数,故是“和谐函数”;因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,只有是“和谐函数”.