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1、考点过关检测32_立体几何中的向量方法(1)12022湖北恩施模拟如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ABCD，ABADPA2CD4，G为PD的中点(1)求证：AG平面PCD；(2)若点F为PB的中点，线段PC上是否存在一点H，使得平面GHF平面PCD？若存在，请确定H的位置；若不存在，请说明理由2.2022福建厦门模拟在三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC上一点，E是BC1的中点，且DE平面ABB1A1.(1)证明：DADC；(2)若BB1平面ABC，平面ABB1A1平面BCC1B1，AA1ACAB，求直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值32021新高考卷在四棱锥Q
2、 ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQA，QC3.(1)证明：平面QAD平面ABCD；(2)求二面角B QD A的平面角的余弦值4.2022湖南湘潭模拟如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC90，PA2，AC2.(1)求证：平面PBC平面PAB；(2)若二面角PBCA的大小为45，过点A作ANPC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小考点过关检测32立体几何中的向量方法(1) 参考答案1解析：(1)因为PA平面ABCD，所以PAAB，又ADAB，ADPAA，所以AB平面PAD，又ABCD，所以CD面PAD，AG面PAD，CDAG.又PAAD，G为PD的中点，所以AGP
3、D，而PDDCD，所以AG平面PCD.(2)以A为坐标原点，所在方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)，F(0,2,2)，G(2,0,2)所以(4,2，4)，设k(0k1)，所以(4k,2k，4k)，则H(4k,2k，4k4)，所以(4k2,2k，4k2)，(2，2,0)，设平面GHF的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即，令x2k1，则n(2k1,2k1,3k1)，由(1)可知(2,0,2)为平面PCD的一个法向量，若平面GHF平面PCD，则n0，即2k13k10，解得k.即PHP
4、C时平面GHF平面PCD.2解析：(1)证明：连接CB1，AB1，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以C，E，B1三点共线，且E是CB1中点，因为平面AB1C平面ABB1A1AB1，且DE平面ABB1A1，DE平面AB1C，所以DEAB1，所以D是CA中点，即DADC；(2)因为BB1平面ABC，所以BB1BA，BB1BC，因为平面ABB1A1平面BCC1B1BB1，所以ABC是二面角ABB1C的平面角，因为平面ABB1A1平面BCC1B1，所以ABC，所以BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，以，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，因为ACAB，ABC，所以BABC，设A
5、C2，则BABC，BB1AA1AC2，B(0,0,0)，C(，0,0)，C1(，0,2)，A(0，0)，A1(0，2)，D，E，所以，(，0,2)，(0，2)，设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则，即取x，得n，设直线DE与平面A1BC1所成角为，则sin |cos，n|，所以直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值为.3解析：(1)取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QAQD，OAOD，则QOAD，而AD2，QA，故QO2.在正方形ABCD中，因为AD2，故DO1，故CO，因为QC3，故QC2QO2OC2，故QOC为直角三角形且QOOC，因为OCADO，故QO平面ABCD，因为QO
6、平面QAD，故平面QAD平面ABCD.(2)在平面ABCD内，过O作OTCD，交BC于T，则OTAD，结合(1)中的QO平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系则D，Q，B，故，.设平面QBD的法向量n，则即，取x1，则y1，z，故n.而平面QAD的法向量为m，故cosm，n.二面角B QD A的平面角为锐角，故其余弦值为.4解析：(1)因为PA底面ABC，所以PABC，又ABC90，所以ABBC，又PA，AB为平面PAB内的两条相交直线，所以BC平面PAB，因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB；(2)解法一：由(1)可知，ABP为二面角PBCA的平面角，所以ABP45，又PA2，AC
7、2，ABC90，所以ABBC2，过点A作AMPB于M，则AM平面PBC且M为PB中点，连接MN，则ANM为直线AN与平面PBC所成的角，在RtANM中，AM，AN，所以sinANM，故ANM60，所以直线AN与平面PBC所成的角为60.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2,0,2)，C(0,2,0)，设N(x，y，z)，(01)，则x22，y2，z22，因为ANPC，(x2，y，z)，(2,2，2)，所以2(x2)2y2z0，解得，所以N，故，设平面PBC的法向量为a(x，y，z)，因为(0,2,0)，(2,0,2)，由，得，令x1，则z1，所以a(1,0，1)为平面PBC的一个法向量，所以cosa，故直线AN与平面PBC所成的角的正弦值为，所以直线AN与平面PBC所成的角为60.