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1、课时规范练51双曲线基础巩固组1.点(3,0)到双曲线x216y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为()A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.x2-3y23=1D.3x23-y2=13.已知双曲线x2a+4y2a-4=1(a4)的实轴长是虚轴长的3倍,则实数a=()A.5B.6C.8D.94.已知双曲线x2m+1y2m=1(m0)的渐近线方程为x3y=0,则m=()A.12B.3-1C.3+12D.25.定义实轴长与焦距之比为黄金数5-12的双曲线叫黄金双曲线,
2、若双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)是黄金双曲线,则a2b2等于()A.5-12B.3-52C.5-22D.9-4546.(多选)已知方程x2m2-2+y2m2+2=1表示的曲线是双曲线,其离心率为e,则()A.-2m2B.点(2,0)是该双曲线的一个焦点C.1n0,则曲线C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则曲线C是圆,其半径为nC.若mn0,则曲线C是两条直线8.(多选)(2022山东泰安二模)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为32,且其右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是()A.双曲线C的方程为x24y2
3、5=1B.点A到双曲线C的渐近线的距离为253C.若|PF1|=6,则|PF2|=2D.若PF1PA=0,则PF1A的外接圆半径为529.已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则双曲线C的焦距为.10.已知双曲线有一个焦点F(0,-2),它的离心率是方程2x2-5x+2=0的一个根,则双曲线的标准方程是.11.(2022广东广州二模)写出一个同时满足下列性质的双曲线方程:.中心在原点,焦点在y轴上;一条渐近线方程为y=2x;焦距大于10.综合提升组12.已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点
4、,若sinPF2F1=3sinPF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+)D.(2,3)13.(多选)已知直线y=x与双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)无公共点,则双曲线的离心率可能取值为()A.1B.2C.62D.314.(多选)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,A,B分别是双曲线C的左、右顶点,点P是双曲线C的右支上位于第一象限内的动点,记PA,PB的斜率分别为k1,k2,则()A.双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时,双曲线C的方程为x24-y2=1B.双曲线C的渐近线方程为y=
5、2xC.k1k2为定值D.存在点P,使得k1+k2=115.已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,PF1交双曲线的另一条渐近线于点Q,且满足3F1Q=2F1P,则双曲线的渐近线的斜率为.16.已知双曲线C1:x24y2b2=1(b0)的右焦点为F,其一条渐近线的方程为5x-2y=0,点P为双曲线C1与圆C2:(x+3)2+y2=r2(r0)的一个交点,若|PF|=4,则双曲线C1的离心率为,r=.创新应用组17.点F1,F2是双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2作直线
6、ABF1F2交双曲线C于A,B两点,现将双曲线所在平面沿直线F1F2折成平面角为锐角的二面角,如图,翻折后A,B两点的对应点分别为A,B,AF1B=,若1-cos1-cos=2516,则双曲线C的离心率为()A.173B.3C.2D.3课时规范练51双曲线1.A解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为|33-40|32+(-4)2=95.故选A.2.A解析:因为e=ca=2,所以c=2a,b=c2-a2=3a,所以双曲线的方程为x2a2y23a2=1.将点(2,3)的坐标代入双曲线的方程可得2a233a2=1a2=1,解得a=1,所以b
7、=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1.故选A.3.A解析:因为双曲线x2a+4y2a-4=1(a4)的实轴长是虚轴长的3倍,所以2a+4=23a-4,解得a=5.故选A.4.A解析:由渐近线方程y=bax=33x,得ba=33,有b2a2=mm+1=13,得m=12.故选A.5.A解析:由题可知2a2c=5-12,所以2a2=(3-5)c2=(3-5)(a2+b2),解得a2b2=5-12.故选A.6.AC解析:对于A,因为方程x2m2-2+y2m2+2=1表示的曲线是双曲线,所以(m2-2)(m2+2)0,解得-2m2,故选项A正确;对于B,x2m2-2+y2m2+2=1可化为y2m2+
8、2x22-m2=1,所以双曲线的焦点在y轴上,故选项B错误;对于C,因为2m2+2n0,1n1m0.mx2+ny2=1,x21m+y21n=1,故曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;m=n0,x2+y2=1n,即曲线C是圆,半径r=nn,故B错误;由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1.mn0时,有ny2=1,得y2=1n,即y=nn,表示两条直线,故D正确.故选ACD.8.ABD解析:由离心率为32,右顶点为A(2,0),可得a=2,c=3,故b=5,故双曲线C的方程为x24y25=1,A正确;双曲线的渐近线方程为y=52x,故点A到双曲线C的渐近线的距离为|5|54+1=253,
9、B正确;由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=4,若|PF1|=6,则|PF2|=2或|PF2|=10,C错误;PF1PA=0,则PF1PA,PF1A的外接圆半径为|F1A|2=52,D正确.9.4解析:由双曲线方程可知其渐近线方程为xmy=0,即y=1mx,得-3m=-1m,解得m=3,可得C的焦距为2m+1=4.10.y2-x23=1解析:由2x2-5x+2=0得x1=2,x2=12.因为双曲线的离心率e1,所以e=2.由题可得c=2,所以e=ca=2,解得a=1,所以b=c2-a2=3.因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y2-x23=1.11.5y21445x236
10、=1(答案不唯一,写出一个即可)解析:由可设双曲线方程为y2a2x2b2=1(a0,b0).由知ab=2,即a=2b.由知2c10,即c5.则可取c=6(此处也可取大于5的其他数).a2+b2=c2,(2b)2+b2=36.b2=365.a2=4b2=1445.则同时满足性质的一个双曲线方程为5y21445x236=1.12.A解析:在PF1F2中,因为sinPF2F1=3sinPF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.在PF1F2中,由|PF1|+|PF2|F1F2|得3a+a2c,
11、即2ac,所以e=ca1,所以1e2.故选A.13.BC解析:双曲线的一条渐近线方程为y=bax.因为直线y=x与双曲线无公共点,故有0ba1.即b2a2=c2-a2a2=e2-1(0,1,所以1e22,所以10,b0)的离心率为52,所以e=ca=52,ba=ca2-1=12,所以双曲线C的渐近线方程为y=12x,B不符合题意;因为双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离为1,所以b=1.又ba=12,所以a=2,所以双曲线方程为x24-y2=1,A符合题意;因为A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=b2a2=14,C符合题意;k1+k2=y
12、x+a+yx-a=2xyx2-a2=2y2x2-a2xy=12xy.因为点P在第一象限,渐近线方程为y=12x,所以0kOP2,所以k1+k21,所以不存在点P,使得k1+k2=1,D不符合题意.故选AC.15.3解析:不妨设直线PF2垂直于渐近线y=bax,由y=bax,y=-ab(x-c),解得点Pa2c,abc.又F1Q=23F1P,且F1(-c,0),所以Q2a2-c23c,2ab3c.又点Q在直线y=-bax上,所以2ab3c=-ba2a2-c23c,所以b2=3a2.故双曲线的渐近线的斜率为3.16.328解析:因为a=2,一条渐近线的方程为5x-2y=0,所以b=5,所以c=a2
13、+b2=3,所以双曲线C1的离心率为e=ca=32.由上可知圆C2的圆心为双曲线C1的左焦点,设双曲线C1的左焦点为F2.因为|PF|=4a+c,所以点P在双曲线的右支上.又|PF2|-|PF|=2a=4,所以r=|PF2|=8.17.D解析:设AF2=y,AB=x,AF1=z(x,y,z均为正数).cos=y2+y2-x22y2,cos=z2+z2-x22z2,1-cos1-cos=1-2y2-x22y21-2z2-x22z2=z2y2=2516.zy=54.在RtAF1F2中,y|F1F2|=y2c=b2a2c=43,3b2=8ac.即3(c2-a2)=8ac,即3e2-8e-3=0,解得e=3或e=-13(舍去).故选D.