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1、第三节三角函数的图象与性质考试要求：1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2上的性质及正切函数在2，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)一、教材概念结论性质重现1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)(2)在余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan
2、 x图象定义域RRxxR，且xk+2值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k2，+22k，2kk2，k+2递减区间2k+2，+322k，2k无对称中心(k，0)k+2，0k2，0对称轴方程xk2xk无1讨论三角函数性质，应先把函数式化成yA sin (x)(0)的形式2要注意求函数yA sin (x)的单调区间时的符号，若22，则x4.()2对于函数f(x)sin 2x，下列选项中正确的是()Af(x)在4，2上单调递增Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的最小正周期为2Df(x)的最大值为2B解析：因为函数ysin x在2，上单调递减，所以f(x)sin 2x在4，
3、2上单调递减，故A错误因为f(x)sin 2(x)sin (2x)sin 2xf(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确f(x)的最小正周期为，故C错误f(x)的最大值为1，故D错误3下列函数中最小正周期为且图象关于直线x3对称的是()Ay2sin 2x+3By2sin 2x6Cy2sin x2+3Dy2sin 2x3B解析：函数y2sin 2x6的最小正周期T22，又sin 2361，所以函数y2sin 2x6的图象关于直线x3对称4函数y32cos x+4的最大值为_，此时x_5342k(kZ)解析：函数y32cos x+4的最大值为325，此时x42k(kZ)，即x342
4、k(kZ)5cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是_sin 68cos 23cos 97解析：sin 68cos 22，又ycos x在0180上是减函数，所以sin 68cos 23cos 97.考点1三角函数的定义域基础性1函数ytan 4x的定义域是()Axx4Bxx4Cxxk4，kZDxx34k，kZD解析：函数ytan 4xtan x4，令x42k，kZ，解得x34k，kZ，所以函数的定义域是xx34k，kZ2函数y2sinx1的定义域为()A6，56B2k+6，2k+56(kZ)C2k+6，2k+56(kZ)Dk+6，k+56(kZ)B解析：由2sin x10，得si
5、n x12，所以2k6x2k56(kZ)3已知x0，2，则ytanx+cosx的定义域为()A0，2B0，2C，32D，32C解析：由题意tanx0，cosx0，x0，2，得xk2(kZ)，所以函数的定义域为，32.4函数ylg (sin x) cosx12的定义域为_x2kx32k，kZ解析：要使函数有意义必须有sinx0， cosx120，即sinx0，cosx12，解得2kx+2kkZ， 3+2kx3+2kkZ所以2kx32k(kZ)1解答T3容易忽视正切函数的定义域而错选D.2求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解考点2三角函数的值域
6、或最值综合性(1)函数f(x)cos 2x2sin 2xcos 2+x，x0，2的最小值为()A1B2C3D0A解析：f(x)cos 2x2cos x(sin x)cos 2xsin 2x2sin 2x+4，因为x0，2，可得2x44，54，sin2x+422，1，所以f(x)2sin 2x+41，2，即其最小值为1.(2)函数ycos2xsinx的值域是()A1，54B1，54C0，2D1，1A解析：ycos2xsinx1sin2xsinxsinx+12254，由于sin x1，1，所以当sin x1时，y的最小值为1；当sin x12时，y的最大值为54.所以函数的值域是1，54.求解三角
7、函数的值域(最值)常见的类型(1)形如ya sin xb cos xc的三角函数化为yA sin (x)c的形式，再求值域(最值)(2)形如ya sin2xb sinxc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如ya sin x cos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值1函数y2sin x6x23的值域是()A1，2)B(1，2)C(1，2D1，2D解析：对于函数y2sin x6x23，当x6时，函数y取得最小值为1；当
8、x2时，函数y取得最大值为2，故函数y的值域为1，2.2函数ysin xcos xsin x cos x，x0，的最小值是_1解析：设sin xcos xt，则t2sin x4，sin x cos x1t22.因为x0，所以x44，34，所以t1，2，所以yt1t2212(t1)21，当t1时，ymin1.考点3三角函数的单调性应用性考向1求三角函数的单调区间(1)(2021新高考全国卷)下列区间中，函数f(x)7sin x6单调递增的区间是()A0，2B2，C，32D32，2A解析：因为函数ysin x的单调递增区间为2k2，2k+2(kZ)，对于函数f(x)7sin x6，由2k2x62k
9、2(kZ)，解得2k3x0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，函数f(x)cos x4在2，上单调递减，则的取值范围是_12，54解析：由2x0，得2+4x40，所以58k38.又kZ，得k0，所以12，54.已知三角函数的单调性求参数的2种方法(1)求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(2)求导数，根据单调性分离参数求解1若函数f(x)sin x(0)在0，53上单调递增，则的取值范围是()A35，1B0，35C310，12D0，310D解析：因为函数f(x)sin x(0)在0，53上单调递增，所以532，所以310.2函数f(x)sin 2x+3的单调
10、递减区间为_k12，k+512(kZ)解析：由已知函数为ysin 2x3，欲求函数的单调递减区间，只需求ysin 2x3的单调递增区间由2k22x32k2，kZ，得k12xk512，kZ.故所给函数的单调递减区间为k12，k+512(kZ)考点4三角函数的周期性、奇偶性、对称性应用性考向1三角函数的周期性和奇偶性(1)(2021全国乙卷)函数f(x)sin x3cos x3的最小正周期和最大值分别是()A3和2B3和2C6和2D6和2C解析：f(x)2sin x3+4，所以f(x)的最小正周期为T2136，最大值为2.(2)若函数f(x)sin x+4+为奇函数，则的一个取值可能为()A0B4
11、C2DB解析：由题意知，4k，kZ，所以k4，kZ，当k0时，4.(多选题)本例(2)条件改为：若函数f(x)sin x+4+为偶函数，则的取值可能为()A0B34C4DBC解析：由题意知，4k2，kZ，所以k4，kZ.当k1时，34；当k0时，4.三角函数的周期性与奇偶性(其中A，0，kZ)最小正周期奇函数的充要条件偶函数的充要条件yA sin (x)2kk2yA cos (x)2k2kyA tan (x)k2考向2三角函数的对称性(1)若函数ycos (2x)2图象的一个对称中心是3，0，则()A3B6C6D3B解析：由题意可知232k，kZ，所以6k，kZ.又|sin 10Bcos 40
12、0cos (50)Csin 3sin 2Dsin 87cos 78BD解析：ysin x在2，0上单调递增，又810，所以sin 8cos 50cos (50)，故B成立ysin x在2，上单调递减，又223sin 3，故C不成立sin 87sin 7，cos 78cos 8sin 28sin 38.因为07382，且ysin x在0，2上单调递增所以sin 7cos 78，故D成立4已知f(x)sin 2x+3在区间a，a上的最小值为12，则a的值为()A6B4C3D2B解析：结合f(x)sin 2x+3的图象，当sin 2x+312时，离坐标原点最近的x值为4.因为区间a，a关于原点对称，
13、所以a的值为4.5(2022威海三模)已知函数f(x)sin x cos (2x)(0，)为偶函数，则()A0B4C2DC解析：因为f(x)的定义域为R，且为偶函数，所以f2f2cos ()cos ()cos cos cos 0.因为0，所以2.当2时，f(x)sin x sin 2x为偶函数，满足题意6函数y1tanx4的定义域为_xxk2 +4，kZ解析：要使函数有意义必须有tan x40，则x42+k，kZ，x4k，kZ. 所以x4k2，kZ，所以xk2+4，kZ，所以原函数的定义域为xxk2 +4，kZ7已知奇函数f(x)cos (x)(0，01)的最小正周期为8，则log的值是_12
14、解析：因为f(x)cos (x)(0，01)的最小正周期为8，所以2814.又函数f(x)cos (x)为奇函数，所以2k，kZ，解得12k，kZ.又因为01，所以12，故loglog1412log14141212.B组新高考培优练8(2023福州质检)下列函数中，周期为，且在区间2，上单调递增的是()Ay|sin x|Bytan 2xCycos 2xDysin 2xC解析：对于A，y|sin x|的周期为，在2，上单调递减，不符合要求；对于B，ytan 2x的周期为2，在2，34和34，上单调递增，不符合要求；对于C，ycos 2x的周期为，在2，上单调递增，符合要求；对于D，ysin 2x
15、的周期为，在2，上不单调，不符合要求9已知函数f(x)sin(x)(0)的图象与函数g(x)cos 2x+3的图象关于y轴对称，则符合条件的，的对应值可以为()A1，3B1，6C2，3D2，6D解析：因为g(x)cos 2x+3的图象与ycos 2x+3的图象关于y轴对称，所以f(x)sin (x)cos 2x+3+2k，kZ，即cos 2x+cos 2x+3+2k，kZ，所以2x2x32k，kZ，即(2)x2k6，kZ，所以2，62k，kZ，故D符合条件10函数f(x)sin |x|sin x|的值域是()A2，0B(2，0)C(0，2)D0，2A解析：函数f(x)sin |x|sin x|
16、的定义域为R，且f(x)sin |x|sin (x)|sin |x|sin x|，即f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数；当x0时，f(x)sin x|sin x|0，x2k，2k+， 2sinx，x2k+，2k+2，kN，所以当x0时，2f(x)0；又f(x)为定义域上的偶函数，所以函数f(x)的值域是2，0.11(多选题)若函数f(x)sin 2x3与g(x)cos x+4都在区间(a，b)(0ab)上单调递减，则ba的可能取值为()A6B3C2D512AB解析：当x(0，)时，2x33，53，所以当2x32，32，即x512，1112时，f(x)单调递减；当x(0，)时，x44，54，
17、所以当x44，即x0，34时，g(x)单调递减，因为512，11120，34512，34，所以512ab34，所以ba345123，结合选项，所以ba可能为6或3.故选AB.12已知函数f(x)3cos xsin x，且x0，则函数f(x)的单调减区间为_0，56解析：f(x)3cos xsin x2cos x+6，因为ycos x在2k，2k(kZ)上单调递减，所以2kx62k(kZ)，即2k6x562k(kZ)，当k0时，6x56，又因为x0，所以x0，56；当k1时，116x176，又因为x0，所以不合题意；当k1时，136x76，又因为x0，所以不合题意；所以函数f(x)的单调减区间为
18、0，56.13(2022扬州模拟)已知最小正周期是，图象关于点512，0对称，在6，3上为减函数，请写出一个函数同时满足上述三个性质：_ycos 2x+3(答案不唯一)解析：设满足条件的函数为ycos (x)，因为最小正周期T22，所以2，令2x2k，kZ，则xk2+42，kZ，当k1时，令x512，此时3；令2x32k，2k，kZ，则x6+k，3+k，kZ，当k0时，函数y的单调递减区间为6，3，均符合题意14函数f(x)sin x+6(0)在(0，)内有且仅有一个极大值点，则的取值范围是_13，73解析：因为x(0，)，所以x66，+6.因为0，所以函数f(x)在(0，)内有且仅有一个极大值点等价于函数ysin x在6，+6上有且仅有一个极大值点，所以2652，解得1373.