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1、课时规范练4基础巩固组1.(2022湖南邵阳二模)函数y=x+1x+2(x-2)的最小值为()A.3B.2C.1D.0答案:D解析:因为x-2,所以x+20,1x+20,利用基本不等式可得x+1x+2=x+2+1x+2-22(x+2)1x+2-2=0,当且仅当x+2=1x+2,即x=-1时,等号成立.2.(2022江西萍乡三模)已知正实数x,y满足lg x+lg y=2,则1x+4y的最小值为()A.15B.25C.45D.85答案:B解析:由lgx+lgy=lgxy=2,得xy=100,x0,y0,所以1x+4y24xy=25,当且仅当1x=4y,即x=5,y=20时等号成立,所以1x+4y
2、的最小值为25.3.用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙的长大于16 m),则菜地的最大面积为()A.64 m2B.48 m2C.32 m2D.16 m2答案:C解析:根据题意,设菜地垂直于墙的一边长为xm,则平行于墙的一边长为(16-2x)m,所以菜地面积为S=x(16-2x)=122x(16-2x)122x+16-2x22=32,当且仅当2x=16-2x,即x=4时,等号成立,所以菜地的最大面积为32m2.4.(多选)下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+1xB.y=x+4x-1-3C.y=x2+4x2+3D.y=x+4x-2答案:AD解析:对于A选项,当x0时,y=
3、x+1x2,当且仅当x=1时取等号;当x0时,y=-x+1x2,当且仅当x=-1时取等号,所以y=x+1x2,即函数最小值为2,故A正确;对于B选项,当x0,所以4x0,2x0,所以2x+4x22x4x=42,当且仅当2x=4x,即x=2时,等号成立.所以y=-2x2+x-4x=-2x+4x+1-42+1,即y的最大值是1-42.6.(2023河北衡水模拟)在使-x2+2xM成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫做-x2+2x的上确界.若a0,b0,且a+b=1,则-12a2b的上确界为()A.-3B.-4C.-14D.-92答案:D解析:根据题意,由a+b=1,得-12a2b=-12a2b(
4、a+b)=-b2a+2ab-52,因为a0,b0,所以b2a+2ab2b2a2ab=2,当且仅当b2a=2ab,即b=2a=23时,等号成立,因此-b2a+2ab-52-2-52=-92,根据题意知-12a2b的上确界为-92.7.(2022山东济宁三模)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(xR)的值域为1,+),则1a+4c的最小值为()A.-3B.3C.-4D.4答案:B解析:因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(xR)的值域为1,+),所以a0,且f(x)min=4ac-44a=ac-1a=1,所以ac-1=a,可得a=1c-10,则c1,所以1a+4c=c+4c-12c4c-1=
5、3,当且仅当c=2时,等号成立,因此1a+4c的最小值为3.8.已知a,bR,且a-2b+1=0,则13a+9b的最小值为.答案:23解析:由a-2b+1=0,可得2b-a=1,13a+9b=3-a+32b23-a32b=232b-a=23,当且仅当-a=2b,即a=-12,b=14时,等号成立,即13a+9b的最小值为23.9.当x1时不等式x2+3x-1m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.答案:(-5,5)解析:因为x1,所以x-10,所以x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+4x-1=(x-1)+4x-1+224+2=6,当且仅当x=3时,等号成立,所以要使不等式恒成立,应有m2
6、+16,解得-5m0,因此00,n0,m+n=2,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn122+2nmmn=2,当且仅当nm=mn,即m=n=1时,等号成立,故A正确;m+n=22mn,mn1,当且仅当m=n=1时,等号成立,故B正确;(m+n)22(m)2+(n)2=4,m+n2(m+n)=2,当且仅当m=n=1时,等号成立,故C错误;m2+n2(m+n)22=2,当且仅当m=n=1时,等号成立,故D错误.12.(2023山东济南历城第二中学模拟预测)已知a0,b0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1l2,则1a+1+12b的最小值为()A
7、.2B.4C.25D.45答案:D解析:因为直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1l2,所以2b+a-4=0,即a+2b=4,所以(a+1)+2b=5,因为a0,b0,所以1a+1+12b=15(a+1)+2b1a+1+12b=152+a+12b+2ba+1152+2a+12b2ba+1=45,当且仅当a+12b=2ba+1,即a=32,b=54时,等号成立,所以1a+1+12b的最小值为45.13.已知a0,b0,a+2b=1,请写出使得“m2a+1b”恒成立的一个充分不必要条件为.(用含m的式子作答)答案:m0,b0,a+2b=1,故2a+1b=2a+1b(a
8、+2b)=4+4ba+ab4+24baab=8,当且仅当a=2b=12时,等号成立,故2a+1b的最小值为8,故“m2a+1b”恒成立的一个充分不必要条件可以为m7.创新应用组14.(多选)已知正实数a,b满足a+2b=ab,则以下不等式正确的是()A.2a+1b2B.a+2b8C.log2a+log2b0,b0,a+2b=ab,所以a+2b22ab=22(a+2b),当且仅当a=2b时取等号,所以(a+2b)28(a+2b),因为a+2b0,所以a+2b8,当且仅当a=2b=4时取等号,所以B正确;对于C,假设log2a+log2b3成立,则log2a+log2b=log2(ab)3=log28,所以ab8,所以a+2b8,而由选项B可知a+2b8,所以log2a+log2b3不成立,所以C错误;对于D,因为正实数a,b满足a+2b=ab,所以a+2bab=1,即2a+1b=1,所以2a+b=(2a+b)2a+1b=5+2ab+2ba5+22ab2ba=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=3时取等号,所以D正确.