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1、第四节二次函数与幂函数考试要求：1通过具体实例，结合yx，yx-1，yx2，yx12，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、教材概念结论性质重现1幂函数的概念一般地，函数yx称为幂函数，其中为常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数(2)x的系数为1.(3)解析式只有一项2常见的五种幂函数的图象3幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)(2)如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，)上是增函数(3)如果0)f(x)a
2、x2bxc(a0)图象定义域R值域4acb24a，+，4acb24a单调性在b2a，+上单调递增；在，b2a上单调递减在，b2a上单调递增；在b2a，+上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数顶点b2a，4acb24a对称性图象关于直线xb2a成轴对称图形二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关5常用结论(1)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)函数y2x12是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐
3、标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n1，所以函数y2x26x3在1，1上单调递减当x1时，y取得最小值，所以ymin2631.考点1幂函数的图象和性质基础性1幂函数yf(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是()A偶函数，且在区间(0，)上是增函数B偶函数，且在区间(0，)上是减函数C奇函数，且在区间(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在区间(0，)上是增函数D解析：设幂函数f(x)xa，则f(3)3a3，解得a12，所以f(x)x12x，是非奇非偶函数，且在区间(0，)上是增函数2若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm1B解析：因为幂
4、函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，所以m2m20，m23m+3=1，解得m1或2，符合题意故选B.3与函数yx121的图象关于x轴对称的图象大致是()B解析：yx12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数yx121的图象可看作由yx12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)将yx121的图象关于x轴对称后即为选项B.4若(a1)-2(32a)-2，则a的取值范围是_(，1)1，23(4，)解析：因为(a1)-2(32a)-2，又f(x)x-2为偶函数，且在(0，)上单调递减，所以a+132a，a+10， 32a0， 解得a23且a1或a4.1解决这类问题要优先
5、考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解2有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性质共同得出结论考点2二次函数的解析式综合性已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a+2b+c=1，ab+c=1，4acb24a=8， 解得a=4，b=4，c=7. 故f(x)4x24x7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x2+1212.所以m12.又根据题意函数有最大值8，所
6、以n8，所以yf(x)ax1228.因为f(2)1，所以a212281，解得a4，所以f(x)4x12284x24x7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即4a2a1a24a8，解得a4.故f(x)4x24x7.求二次函数解析式的策略1若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关B解析：设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值
7、点，则mx12ax1b，Mx22ax2b.所以Mmx22x12a(x2x1)，显然与a有关，与b无关2(2022青岛模拟)设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)x2axb满足f(a)f(b)，则f(2)()A7B5C4D2C解析：由f(x)x2axb可得函数f(x)图象的对称轴为直线xa2.又由ab，f(a)f(b)得f(x)图象的对称轴为直线xa+b2，所以a2a+b2，得2ab0，所以f(2)42ab4.故选C.考点3二次函数的图象和性质应用性考向1二次函数的图象应用(1)已知函数f(x)ax2xc，且f(x)0的解集为(2，1)，则函数yf(x)的图象为()D解析：因为函数f(x)a
8、x2xc，且f(x)0的解集为(2，1)，所以2，1是方程ax2xc0的两根把x2，1分别代入方程得4a+2c=0，a1c=0，联立解得a1，c2.所以f(x)x2x2.所以函数yf(x)x2x2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(1，0)和(2，0)故选D.(2)对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()A解析：若0a1，则ylogax在(0，)上单调递增，y(a1)x2x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足1解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法抓住函数的特殊性质或特殊点(2)讨论函数图象，依据图象特征，
9、得到参数间的关系2分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也能从图象中得到如上信息.考向2二次函数的单调性若函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数a的取值范围是()A3，0) B(，3C2，0 D3，0D解析：当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的图象对称轴为x3a2a.由f(x)在1，)上单调递减知a0， 3a2a1，解得3a0.综上，a的取值范围为3，0.若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a_3解析：由题
10、意知f(x)必为二次函数且abc且abc0，则f(x)的图象可能是()D解析：由abc且abc0，得a0，c0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C.又f(0)c0，排除选项B.故选D.2(多选题)设函数f(x)ax2bxc(a0)，对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，则f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()Af(1)Bf(1)Cf(2)Df(5)ACD解析：因为对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，所以函数f(x)ax2bxc(a0)图象的对称轴是x2.当a0时，函数值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a0时，函数值f(1)，f(1)，f
11、(2)，f(5)中，最小的是f(1)和f(5)3函数f(x)ax2(a1)x3在区间1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A，13B(，0)C0，13D0，13D解析：若a0，则f(x)x3，f(x)在区间1，)上是增函数，符合题意若a0，因为f(x)在区间1，)上是增函数，故a0， a12a1，解得0a13.综上，0a13.故选D.4已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围为_，12解析：2ax22x30在1，1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a321x13216，易知1x(，11，)，所以当x1时，函数f(x)取最小值12，所以a12.综
12、上，实数a的取值范围是，12.课时质量评价(九)A组全考点巩固练1若幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上单调递增，则m的值为()A1或3B1C3D2B解析：由题意得m24m41，m26m80，解得m1.2函数y3x2的图象大致是()C解析：y3x2x23，其定义域为xR，排除A，B.又0230)，已知f(m)0Df(m1)0，所以f(x)的大致图象如图所示由f(m)0，得1m0.所以f(m1)f(0)0.5(2023潍坊模拟)已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0，4ab0Ba0，2ab0Daf(1)，f(4)f(1)，所以f(x)
13、先减后增，于是a0.6已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)_x22x3解析：由f(0)3，得c3.又f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以b21，所以b2，所以f(x)x22x3.7设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围是12，+8若a+11332a13，则实数a的取值范围是_(，1)23，32解析：不等式a+11332a0或32aa10或a1032a，解得a1或23a4acB2ab1Cabc0D5a0，即b24ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即b2a1，得2ab0，B
14、错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，D正确故选AD.13(多选题)若函数f(x)(x1)(xa)在区间(1，2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是(AB)A0B2 C2D314(2022潍坊质检)已知函数f(x)x2+x，2xc，1x，ca在区间1，3上恒有解，求实数a的取值范围；(2)若f(x)a在区间1，3上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)a在区间1，3上恒有解，等价于afxmax.又f(x)x22x且x1，3，当x3时，f(x)max15，故a的取值范围为a|aa在区间1，3上恒成立，等价于af
15、xmin，又f(x)x22x且x1，3，当x1时，f(x)min3，故a的取值范围为a|a316(2022郑州模拟)已知函数g(x)ax22axb1(a0，b1)在区间2，3上有最大值4，最小值1.(1)求a，b的值；(2)设f(x)gxx，不等式f(2x)k2x0对x1，1恒成立，求实数k的取值范围解：(1)g(x)ax22axb1a(x1)2ab1.若a0，则g(x)在2，3上单调递增，所以g(2)b11，g(3)3ab14，解得a1，b0；若a0，则g(x)在2，3上单调递减，所以g(2)b14，解得b3.因为b1，所以b3(舍去)综上，a1，b0.(2)因为f(x)gxx，所以f(x)x22x+1xx1x2.因为不等式f(2x)k2x0对x1，1恒成立，所以2x12x2k2x0对x1，1恒成立，即k12x2212x112x12对x1，1恒成立因为x1，1，所以12x12，2，所以12x120，1，所以k0，故实数k的取值范围是(，0.