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1、江苏省苏州中学2022-2023学年度第二学期期中考试高一数学一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知灯塔在海洋观测站 的北偏东的方向上，两点间的距离为5海里某时刻货船在海洋观测站的南偏东的方向上，此时，两点间的距离为3海里，该时刻货船与灯塔间的距离为（ ）A. 3海里B. 4海里C. 6海里D. 7海里【答案】D【解析】【分析】由条件画出简图，得出，在中，由余弦定理即可求出的长【详解】根据题意画出简图，如图所示，可知，在中，解得，故选：D2. 下列说法正确的是（ ）A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B. 有2个面平行，其
2、余各面都是梯形的几何体是棱台C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D. 棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据棱柱，棱台的定义依次判断每个选项即可.【详解】对选项A：长方体是四棱柱，底面不是长方形的直四棱柱不是长方体，错误；对选项B：棱台的侧棱延长线必须相交于一点，错误；对选项C：各侧面都是正方形，底面不是正方形（如菱形）的四棱柱不是正方体，错误；对选项D：棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形，正确；故选：D3. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在
3、（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数z实部和虚部的符号即可.【详解】由题意 ，显然 ，所以在复平面中对应的点在第一象限；故选：A.4. 在中，若，则的最大角与最小角之和是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA所对的角为，则最大角与最小角的和是，利用余弦定理求解即可.【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA所对的角为，则最大角与最小角的和是，由余弦定理可得，由为三角形内角，则最大角与最小角的和是.故选
4、：B5. 已知向量与向量不共线，对任意，恒有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】两边平方得到，得到，得到答案.【详解】，则，整理得到，故，即，故，即，故.故选：C6. 已知均为锐角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】由得，又，即又均为锐角，所以故选：C7. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）A. B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得，进
5、而得，再根据结合向量垂直关系的表示解得，进而得，再根据平移变换得，最后求函数值即可.【详解】解：由题知，函数的周期满足，解得，所以，由图象与轴的交点为得，因为，所以，即，所以，图象与轴的交点为，因为，所以，解得（负舍），所以，所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为 ，所以.故选：D8. 在中，为线段上的点，且.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】转化，结合余弦定理，即可求解x,得到.【详解】不妨设由余弦定理：联立得到：故选：B【点睛】本题考查了解三角形和向量综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二多项选择题：本题共4小题，每小题
6、5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列有关复数的叙述正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则的虚部为C. 若，则不可能为纯虚数 D. 若，则 【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项【详解】，所以，A正确；，虚部是，B错误；，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确故选：ACD10. 下列说法中正确的是（ ）A. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底B. 非零向
7、量，满足且与同向，则C. 的外心O满足，则为等腰三角形D. 设向量，满足，则【答案】AC【解析】【分析】根据基底的定义、平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，因此这两个平面向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以本选项说法正确；B：因为两个向量不能比较大小，所以本选项说法不正确；C：设的外接圆的半径为，由，同理：，由圆的性质可知：，所以为等腰三角形，因此本选项说法正确；D：，所以本选项不正确，故选：AC11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若为钝角三角形，则C. 若，则有两解D. 若三角形为斜三角形，则【答案】ACD【
8、解析】【分析】由正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由可判断C，由两角和的正切公式可判断D.【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得，所以，A正确；对于B，若为钝角三角形，假设为钝角，则，可得，B错误；对于C，则，如图：所以有两解，C正确；对于D，因为，所以因为，所以，所以，D正确.故选：ACD12. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理已知ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案
9、】BCD【解析】【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.【详解】由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误；过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则，故B项正确；因为G是三角形ABC的重心，所以有，故，由欧拉线定理可得，故C项正确；如图（2），由可得，即，则有，D项正确， 故选：BCD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 化简：_.【答案】1【解析】【分析】化简得原式为，再进一步化简即得解.【详解】原式.故答案为：1【点
10、睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.14. 已知在中，则等于_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出【详解】因为在中，所以正弦定理可得，则令（），由余弦定理得，故答案为：15. 设，若存在（），使得，则取值范围_.【答案】【解析】【分析】存在，使得等价于存在整数，使得，然后分和两种情况求出的范围【详解】解：由知，而，存在，使得等价于存在整数，使得，当时，区间，的长度不小于，故必存在，满足式；当时，注意到，故仅需考虑如下几种情况：，此时且，无解；，此时；，此时，又，所以，综上，的取值范围为故
11、答案为：16. 在中，角的对边分别为， ，若有最大值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围.详解】由于，所以，由正弦定理得，所以，所以.当，即时，没有最大值，所以，则，其中，要使有最大值，则要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.四解答题：本题共6小题，共
12、70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，（1）若与共线，求实数k的值：（2）求向量与夹角的大小【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式计算即可；（2）利用公式求解即可.【小问1详解】由已知，与共线，解得；【小问2详解】由已知，又，.18. 设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限.（1）若复数为纯虚数，求实数m的值；（2）若，且是关于x的方程的一个复数根，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据为纯虚数可得其实部为零，虚部不为零，从而可求参数的值；（2）用实数表示，根据其模长可求，再根据
13、复数的除法可求.【小问1详解】由题可知，其中，复数为纯虚数，且，.【小问2详解】，关于的方程的两根分别为，对应的点在第一象限，且 ，或，.19. 已知函数.（1）求函数的值域；（2）在中，角的对边分别为，若，求的面积的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可化简，进而可求值域；（2）根据结合正弦型函数的性质可得，进而由余弦定理以及不等式即可求解.【小问1详解】解：，的值域为【小问2详解】解：由（1）知，即，由 ,得，即，又由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，的面积的最大值为，当且仅当时取得20. 如图：某公园改建一个三角形池塘，（百米），（百米），现
14、准备养一批观赏鱼供游客观赏（1）若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏如图，当为正三角形时，求的面积的最小值【答案】（1）百米 （2）(百米)【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求得，在 中，确定，由余弦定理求得，即可求得答案；（2）设正三角形DEF的边长a，（）则可表示，从而可由正弦定理表示出，结合三角函数的性质求得其最小值，即可求得答案.【小问1详解】点P是等腰三角形PBC的顶点，且，且由余弦定理可得：，解得，
15、又,在 中，,在ACP中，由余弦定理得,解得，；，连廊的长为百米【小问2详解】设正三角形DEF的边长a，（）则，设,可得，在 中，由正弦定理得：，即，即,化简得：，（其中，为锐角，且）21. 记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求.（2）求的取值范围；（可能运用的公式有【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，得到，计算得到答案.（2）根据余弦定理得到，代入计算根据均值不等式得到，得到答案.【小问1详解】，则，即，展开得到，故，故，.小问2详解】，则，当且仅当时等号成立，故.22. 设，函数.（1）当时，求函数最小值；（2）若恒成立，求的最大值及所对应的所有数组.【答案】（1）答案见解析 （2），最大值为【解析】【分析】（1）带入数据确定函数解析式，设，根据对称轴与的关系分三种情况讨论，计算最值即可.（2）带特殊值计算，记，得到解析式，题目转化为对于恒成立，得到，计算得到答案.【小问1详解】，则，设，当，即时，；当，即时，；当，即时，.综上所述：时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为.【小问2详解】，故，取等号时.若，则，记，则，则将代人上式，即，即，对于恒成立，故，解得.综上所述：当且仅当时，有最大值.