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1、20232024学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题2023.10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2.已知，若，则的最小值为（ ）A.2B. C.4D. 3.在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）A.1B.C.D.-14.“”是“直线：与：平行”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环
2、境部等9部门联合印度关于礼实推进型科技染物理工作的通知明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料费2年后我们能为初始量的79%。该品牌塑料袋大约需要经过（ ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）A.20B.16C.12D.76.在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的磨线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.D.37.设等差数列的前项和为，已知，其中正整数，则该数列的首项为（ ）A
3、.-5B.0C.3D.58.已知函数，若对任意，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若，为空间中两条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）A. B.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.将函数的图像向左平移个单位后与原图象关于轴对称，则的最小值为11.在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与
4、相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，为垂足，则（ ）A.当点的坐标为时，直线的方程为B.设，则的最小值为4C. D. 12.已知，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.已知向量，则_.14.已知，则_.15.已知直线分别与曲线，相切于点，则的值为_.16.在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，若的面积最大值为，则的最大值为_.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在正方体中，设，分别为棱，的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.1
5、8.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线与曲线相交于，两点和，两点，求四边形的面积的最小值.19.（本小题满分12分）在中，所对的边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知数列的前项积为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.（1）记直线，的斜率分别为，求的值；（2）设直线与交于点，求的值.
6、22.（本小题满分12分）已知函数，其中为实数.（1）若，求实数的最小值；（2）设函数，若函数存在极大值，且极大值小于0，求实数的取值范围.2023-2024学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDBABBDC二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BCABACDABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，
7、共20分.把答案填在题中的横线上）13.5 14. 15.1 16.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）【解】（1）连接交于，连接，.在正方体中，四边形是平行四边形，所以，.正方形中，故是的中点，所以，且，在中，分别是，的中点，所以，且，所以，且，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，所以平面.ABCDA1B1C1D1MNO（2）法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.ABCDA1B1C1D1MNOxyz不妨设正方体的棱长为2，故，.在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.设是平面的法向量，故
8、即取，则所以是平面的一个法向量.故，设二面角的大小为，据图可知，所以二面角的余弦值为.法二：取的中点，的中点，连接，.在正方体中，又，分别是，的中点，故，四边形是平行四边形，所以，又，故，因为，平面，所以平面，又平面，故.在正方形中，在中，分别是，的中点，故，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.不妨设正方体的棱长为2，在中，故，所以，所以二面角的余弦值为.ABCDA1B1C1D1MNOEH18.（本小题满分12分）【解】（1）设圆的半径为，圆的圆心，半径为1，因为圆与圆内切，且与直线相切，所以圆心到直线的距离为，且，故圆心到点的距离与到直线的距离相等，据抛物线的定义
9、，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设直线的方程为，.联立方程组整理得，故所以.因为，直线的方程为，同理可得.所以，当且仅当，即时，取等号.所以四边形面积的最小值为32. 19.（本小题满分12分）【解】（1）在中，据余弦定理可得，又，故，即，又，故，得.（2）在ABC中，据余弦定理可得，又，故，即，又，故.据正弦定理，可得，所以，即，所以，因为，所以，或，即或（舍）.所以.因为是锐角三角形，所以得，所以，故，所以的取值范围是. 20.（本小题满分12分）【证明】（1）依题意，所以，当时，整理得，所以，当时，为定值，所以数列是等差数列.（2）因为，令，得，故，结合（1
10、）可知，是首项为2，公差为1的等差数列，所以，得.所以，当时，显然符合上式，所以.所以，故.因为，所以.21.（本小题满分12分）【解】（1）设直线l的方程为，.联立方程组整理得，则即所以.（2）由（1）可知，故直线与关于直线对称，设直线与椭圆的另一个交点为，则与关于轴对称，设，则.所以直线的方程为，直线的方程为，故点满足方程组解得因为点在椭圆C上，所以，即，整理得，所以点在双曲线上运动，且，恰好为该双曲线的焦点，依题意，点在，之间，所以，得，点在双曲线的右支上运动，所以. 22.（本小题满分12分）【解】（1）依题意，即，.令，故，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以当时，.所以，得
11、，所以实数的最小值为2. （2）依题意，故，.若，在上单调递增.因为，且在上的图象不间断，据零点存在性定理，存在，使得，且当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以函数在上不存在极大值，故不符题意.若，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.因为函数存在极大值，故，即，解得，此时，；，（证明：令，.所以，在上单调递增，故，即，又在上的图象不间断，据零点存在性定理，存在，使得，且当时，在和上单调递减；当时，在上单调递增，所以函数在上得极大值为.依题意，即，得，又，即，得，代入上式，得，故，又，即，所以，得，所以.据，得，其中.令，故，所以在上单调递减，即，所以，综上所述，实数a的取值范围是.