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1、第2节二项式定理 选题明细表 知识点、方法题号二项展开式的特定项或项的系数1,2,3,4,7,11,13二项式系数的性质、系数和5,6,9,14二项式定理的简单应用8,10,12,151.设(1+3x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,若a5=a6,则n等于(B)A.6 B.7 C.10 D.11解析:因为a5,a6分别为x5,x6项的系数,则a5=Cn535,a6=Cn636,所以Cn535=Cn636,解得n=7.2.(2022湖南怀化一模)二项式(x+2x) 12的展开式中的常数项是(C)A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项解析:二项式(x+2x) 12的展开式的通项为Tr+1
2、=C12rx12-r(2x) r=C12r2rx12-32r,令12-32r=0,解得r=8.因此,二项式(x+2x) 12的展开式中的常数项是第9项.3.已知(x-ax) 5的展开式中含x32的项的系数为30,则a等于(D)A.3 B.-3 C.6 D.-6解析:二项式(x-ax) 5展开式的通项是Tr+1=C5r(x)5-r(-ax) r=C5r(-a)rx5-2r2,由题意得5-2r2=32,所以r=1.所以C51(-a)1=30,所以a=-6.4.(2022广西柳州二模)(1+x)(1-2x)5展开式中x2的系数为(B)A.5 B.30 C.35 D.40解析:二项式(1-2x)5的通
3、项为Tr+1=C5r15-r(-2x)r=C5r(-2)rxr,所以(1+x)(1-2x)5展开式中x2的系数为C52(-2)2+C51(-2)=30.5.(2022山西临汾二模)( x+ax) 5的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值,则a的值为(A)A.2B.3C.4D.-2解析:因为(x+ax) 5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5-r(ax) r=C5rarx5-3r2,令5-3r2=1,即r=1时,x的系数为5a,而二项式系数最大值为C52=10,所以5a=10,即a=2.6.(2022北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4
4、等于(B)A.40 B.41C.-40 D.-41解析:法一(赋值法)依题意,令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0,令x=-1,可得81=a4-a3+a2-a1+a0,以上两式相加可得82=2(a4+a2+a0),所以a0+a2+a4=41.法二(通项公式法)二项式(2x-1)4的通项为Tr+1=C4r(2x)4-r(-1)r,令r=4,2,0,可分别得a0=1,a2=24,a4=16,所以a0+a2+a4=41.7.在(x-1x) n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为(C)A.-126 B.-70 C.-56 D.-28解析:因为只有第5项的二项
5、式系数最大,所以n=8,(x-1x) 8的展开式的通项为Tk+1=(-1)kC8kx8-32k(k=0,1,2,8).所以展开式中奇数项的二项式系数与相应项的系数相等,偶数项的二项式系数与相应的项的系数互为相反数.而展开式中第5项二项式系数最大,因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小,为(-1)3C83=-56.8.(2022湖南长沙模拟)已知(3-x)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式中系数为有理数的项的个数是.解析:依题意,知2n=64=26,n=6,则展开式的第k+1项为Tk+1=C6k(3)6-k(-x)k=(-1)kC6k36-k2xk(k=0,1,6),当k=0,2,4,
6、6时,项的系数为有理数,所以展开式中系数为有理数的项的个数为4.答案:49.已知(x+1)n的展开式二项式系数的和为128,则Cn0-Cn12+Cn24+Cnn(-2)n=.解析:由已知可得2n=128,解得n=7,所以二项式(x+1)7=(1+x)7的展开式的通项为Tr+1=C7rxr.令x=-2,则二项式的展开式为C70(-2)0+C71(-2)1+C72(-2)2+C77(-2)7=C70-C712+C724+C77(-2)7=(1-2)7=-1.答案:-110.(2022湖北十堰高三期末)如图,杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法.它揭示了(a+b)n(n为非负整数)
7、展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中第9行从左到右数第5个数是,第9行排在奇数位置的所有数字之和为.解析:由题意得第0行有1个数,为1,第1行有2个数,依次是C10,C11,第2行有3个数,依次是C20,C21,C22,则第9行有10个数,其中第5个数为C94=98764321=126.第9行排在奇数位置的所有数字之和为C90+C92+C94+C98=29-1=256.答案:12625611.(2023山西模拟)(x2-2x+1x)(1-2x) 5展开式中的常数项为(B)A.-15 B.0 C.15 D.80解析:(1-2x) 5展开式的通项为Tr+1=C5r(-2x-12)r=(-
8、2)rC5rx-12r,当2-12r=0时,r=4;当1-12r=0时,r=2.则(x2-2x+1x)(1-2x) 5展开式中的常数项为x2(-2)4C54x-2-2x(-2)2C52x-1=0.12.(多选题)已知(3x2+1x) 4的展开式中各项系数之和为A,第2项的二项式系数为B,则下列说法正确的是(ABD)A.A=256B.A+B=260C.展开式中存在常数项D.展开式中含x2项的系数为54解析:令x=1,得(3x2+1x) 4的展开式中各项系数之和为A=44=256,A正确;(3x2+1x) 4的展开式中第2项的二项式系数为B=C41=4,A+B=260,B正确;(3x2+1x) 4
9、的展开式的通项为Tr+1=C4r(3x2)4-r(1x) r=34-rC4rx8-3r,令8-3r=0,则r=83,所以展开式中不存在常数项,C错误;令8-3r=2,则r=2,所以展开式中含x2项的系数为34-2C42=54,D正确.13.(2022江苏徐州模拟)已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含x4的项的系数为(B)A.20 B.25 C.30 D.35解析:因为所有项的系数之和为64,所以(3-1)(1+1)n=64,所以n=5.(3x-1)(x+1)n=(3x-1)(x+1)5,(x+1)5展开式的第r+1项Tr+1=C5rx5-r,当r=2时,T
10、3=C52x3=10x3,3x10x3=30x4,当r=1时,T2=C51x4=5x4,(-1)5x4=-5x4,30x4-5x4=25x4.14.已知(x2+2x) n的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12,则展开式中最大的二项式系数值为.解析:由题意(x2+2x) n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x2)n-r(2x) r=Cnr2rx2n-5r2,所以展开式中第4项的系数为Cn323,倒数第4项的系数为Cnn-32n-3,所以Cn323Cnn-32n-3=12,即12n-6=12n-6=1,得n=7,所以展开式中最大的二项式系数值为C73=35或C74=35.答案:351
11、5.(多选题)(2022湖北黄冈模拟)设(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a6(x+1)6,下列结论正确的是(ACD)A.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36B.a2+a3=100C.a1+2a2+3a3+6a6=12D.当x=999时,(2x+1)6除以2 000的余数是1解析:在展开式中令x+1=-1,即x=-2,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-4+1)6=36,A正确;(2x+1)6=-1+2(x+1)6,所以a2=C62(-1)422=60,a3=C63(-1)323=-160,a2+a3=-100,B错误;令t=x+1,则(2t-1)6=a0+a1t+a2t2+a6t6,两边对t求导得12(2t-1)5=a1+2a2t+3a3t2+6a6t5,令t=1得a1+2a2+6a6=12,C正确;当x=999时,(2x+1)6=1 9996=(2 000-1)6=2 0006-C612 0005+-C652 000+1,展开式右边共7项,前6项都是2 000的整数倍,因此它除以2 000的余数是1,D正确.