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1、第27讲 平面向量的数量积1、向量的数量积(内积)对于两个非零向量与，我们把数量叫做和的数量积(或内积)，记作，即。2、两个向量内积有如下重要性质(1)如果是单位向量，则()(2)(3)或(4)(5)题型一：平面向量数量积的定义1（江西景德镇一中高一期中（理）在中，若，则此三角形为（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰三角形【答案】A【详解】，是钝角，则ABC是钝角三角形.故选：A.2（北京东城）若都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ）ABCD【答案】D【详解】方向相同大小相等的向量是相等向量，但是不一定方向相同，故A错误；，为的夹角，因为，所以，所以不一定等于1，故B错误；方向
2、相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C错误；因为都是单位向量，所以，所以，故D正确，故选：D.3（上海）下列等式正确的是（ ）ABCD【答案】D【详解】对A，故A错误；对B，由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；对C，故C错误，对D，向量的数量积为数，故正确.故选：D.4（全国）下列命题正确的是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：由可以得到，但是由得不到，当时，故B错误；对于C：若则或，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D5（全国高一课时练习）下列命题正确的个数是； ； A1B2C3D4【答案】A【详解】由两相反向量的和
3、为零向量知正确；由于两向量的数量积结果为一实数知错误，正确结果应为0；由向量的减法运算法则，错；由向量数乘的意义知，错，即正确的个数是，故选A.6（浙江高一单元测试）设、是非零向量，则下列说法中正确是ABC若，则D若，则【答案】D【详解】由题意得，对于A中，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以不正确；对于B中，时，此时，而，所以不正确；对于C中，若，而此时与不一定是相等向量，所以不正确；对于D中，因为、是非零向量，若，则是正确.故选：D.题型二：平面向量数量积的意义1（江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（ ）ABCD【答案】D【详解】向量在向量上的射影为，故选：D2（四川成都外国语
4、学校高一期中（理）已知，向量在方向上投影是4，则为（ ）A12B8C-8D2【答案】A【详解】解：设两个向量的夹角为，由题意已知，向量在方向上投影是4，则，所以；故选：A.3（河北巨鹿中学高一月考）已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为（ ）ABCD【答案】D【详解】解：因为，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，所以在上的投影向量为，故选：D4（浙江绍兴）已知向量，则在方向上的投影是（ ）A-1B0C1D3【答案】D【详解】在方向上的投影为.故选：D5（江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量=(2，1)，=(1，1)，向量在方向上的投影向量为（ ）A(2，2)B(，
5、)C(，)D(，)【答案】B【点睛】向量在方向上的投影，因为投影向量与方向相同，所以向量在方向上的投影向量为.故选：B6（全国高二课时练习）若，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）A2BCD4【答案】C【详解】，在的方向上的投影向量为：，所以在的方向上的投影向量的模长为，故选：C.7（湖北）已知向量，与同向的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为（ ）ABCD【答案】D【详解】在方向上的投影为，又是与方向相同的单位向量，在方向上的投影向量为故选：D题型三：模1（嘉峪关市第一中学高二期末（文）已知向量，的夹角为60，则（ ）A1BCD2【答案】D【详解】向量，的夹角为60，且，.故选
6、：D2（全国）已知为单位向量，且，则（ ）A3B5C10D14【答案】D【详解】因为为单位向量，所以，.故选：D3（梁河县第一中学高二月考）已知4， 8，与的夹角为120，则（ ）ABCD【答案】A【详解】.故选：A4（河西天津实验中学）平面向量与的夹角为60，则等于（ ）AB2C4D12【答案】B【详解】因为，所以，因为向量与的夹角为60，所以，所以，故选：B5（海口中学高三月考）已知，则（ ）AB2CD3【答案】A【详解】，所以.故选：A6（遵义市第三中学高一期中）已知向量，满足，则（ ）A4BC6D8【答案】B【详解】因为，所以，故选：B7（泾县中学高一月考）设向量，均为单位向量，且满足
7、，则（ ）AB13C4D5【答案】A【详解】因为，所以所以.故选：A8（湖南）已知向量，的夹角为，则（ ）ABCD【答案】A【详解】解：由，得，因为向量，的夹角为，所以，所以，解得，故选：A9（陕西汉中高三月考（理）若单位向量满足，则等于（ ）ABCD【答案】C【详解】解：因为为单位向量，所以，所以,所以，故选：C.10（酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测）已知向量满足，则（ ）A3BC7D【答案】B【详解】向量满足，故选：B11（全国高三模拟预测（理）平面向量与的夹角为，则（ ）ABCD【答案】B【详解】由已知，.故选: B .12（西藏拉萨中学高三月考（文）已知平面向量与的夹角为，
8、且为单位向量，则（ ）A1BCD【答案】B【详解】由已知可得，则，所以，则.故选：B.13（全国高三月考）已知平面向量与的夹角为60，则的值为（ ）AB2C4D【答案】B【详解】因为，所以，又平面向量与的夹角为60，=故选：B14（威远中学校高一月考（文）已知，满足：，则（ ）ABCD【答案】D【详解】，所以，故选：D题型四：平行与垂直关系1（广东惠州高一期中）已知向量，且，则（ ）AB2CD1【答案】C【详解】由题知，向量，若，则，.故选：C.2（厦门市湖滨中学）已知向量，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】A【详解】由题意得，所以，因为，所以，所以，得.故选:A3（沙坪坝重庆八中高三月考
9、）已知向量，若，则（ ）ABCD【答案】D【详解】由条件，所以，从而.故选：D4（贵州凯里一中高二期末（文）若，则（ ）AB1CD2【答案】C【详解】故选：C5（全国高一课时练习）已知向量，且，那么t等于（ ）A-4B-1C1D4【答案】A【详解】因为，且，所以即，解得故选：A6（四川射洪中学高三月考（文）已知，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】C【详解】因为，所以，解得故选：C7（湖南高二月考）向量，若，则（ ）A3BC12D【答案】A【详解】由于，所以，解得.故选：A题型五：夹角1（全国）为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ）ABCD【答案】A【详解】设向量的夹角为，则.故选：A.
10、2（云南省南涧县第一中学高一月考）设向量，则（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.3（山西临汾）设，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】C【详解】解：因为， 所以，设向量与的夹角，所以，又，所以与的夹角为故选：4（浙江鄞州宁波咸祥中学高一期中）已知，则夹角的余弦值等于（ ）ABCD【答案】D【详解】依题意.故选：D5（江苏江都高一期中）已知向量，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】B【详解】,所以，故选：B.6（山东菏泽高一期末）设向量，若，则与的夹角为（ ）A30B60C120D150【答案】B【详解】解：因为向量，所以，解得，所以，则，设与的夹角为，则，因为，所以，即，故选：B
11、7（全国高三专题练习（文）已知非零向量，若，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】A【详解】，t=4，又，.设与的夹角为，则，因为，所以.故选：A8（全国高三专题练习（理）设向量，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【详解】由向量，因为向量与的夹角为锐角，则且，解得且，即的取值范围为.故选：.C.9（嫩江市第一中学校高一期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以，所以.设与的夹角为，则.因为，所以.故选：B10（河南南阳高二期末（理）已知向量，则“”是“为钝角”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若为钝角，则且与不共线，即，即且，所以“”是“为钝角”的必要不充分条件.故选：B.