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1、专题四导数及其应用4.1导数的概念及运算基础篇考点导数的概念及运算1.(多选)(2023届辽宁鞍山质量监测,9)设函数f(x)在x=2处的导数存在,则-12f (2)=()A.limx0f(2+x)-f(2)2xB.limx0f(2)-f(2+x)2xC.limx0f(2-x)-f(2)2xD.limx0f(2)-f(2-x)2x答案BC2.(2023届长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3)处的切线方程是y=-2x+7,则f(3)-f (3)=()A.-2B.2C.-3D.3答案D3.(2022海南学业水平诊断一,5)已知函数f(x)=2f (3)x-29x2+l
2、n x(f (x)是f(x)的导函数),则f(1)=()A.-209B.-119C.79D.169答案D4.(2020课标理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1答案B5.(多选)(2022湖北襄阳五中阶段考,9)下列各式正确的是()A.sin 3=cos 3B.ln(-x)=1xC.(e2x)=2e2xD.(x)=-12x答案BC6.(2022重庆巴蜀中学测试,5)若曲线y=x的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为()A.14B.12C.14或18D.12或14答案C7.(2
3、020课标文,15,5分)设函数f(x)=exx+a.若f (1)=e4,则a=.答案18.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为.答案e9.(2022江苏无锡期初,14)若经过点P(1,2)作曲线f(x)=x3-x+2的切线,则切线方程为.答案y=2x或y=-14x+9410.(2023届甘肃张掖诊断,15)设函数f(x)=x3+ax2+(a+2)x.若f(x)的图象关于原点(0,0)对称,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程为.答案5x-y-2=0综合篇考法利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数的方法考向一
4、求切线的方程1.(2018课标理,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D2.(多选)(2023届沈阳四中月考,10)已知y=kx是曲线f(x)=xsin x的一条切线,则实数k的值可以为()A.0B.1C.12D.-1答案ABD3.(2022福建长汀一中月考,6)已知函数f(x)=x+a2x.若曲线y=f(x)存在两条过点(2,0)的切线,则a的取值范围是()A.(-,1)(8,+)B.(-,-1)(8,+)C.(-,0)(8,+)D.(-,-8)(0,+
5、)答案D4.(2019课标,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D5.(2021新高考,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.ebaB.eabC.0aebD.0bea答案D6.(2023届福建泉州质量监测一,14)曲线f(x)=excos x在x=0处的切线方程是.答案y=x+17.(2023届福建漳州质检,14)已知直线x+y+a=0是曲线xy-1=0的切线,则a=.答案28.(2022新高考,14,5分)曲线y=l
6、n|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1exy=-1ex(不分先后)9.(2022新高考,15,5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-,-4)(0,+)10.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+211.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.答案(e,1)12.(2021新高考,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x10,函数f(x)的图象在点A(x
7、1, f(x1)和点B(x2, f(x2)处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM|BN|的取值范围是.答案(0,1)13.(2023届山东潍坊五县联考,23)已知函数f(x)=x3+x2-32x(R)为奇函数.(1)若f(x)m2+4m对x-12,2恒成立,求实数m的取值范围;(2)过点A1,-12且与曲线y=f(x)相切的直线为l,l与x轴、y轴分别交于点B,C,O为坐标原点,求BOC的面积.解析(1)因为f(x)=x3+x2-32x(R)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+x2+32x=-x3-x2+32x,解得=0,所以f(x)=x3-32x,f (x)=3
8、x2-32,令f (x)=0,得x=-22或22,f(x),f (x)随x的变化情况如表.x-12-12,222222,22f (x)-0+f(x)58极小值-225由表知,f(x)max=f(2)=5,由f(x)m2+4m对x-12,2恒成立,得m2+4m5,解得m-5或m1.故m的取值范围是(-,-51,+).(2)因为f(1)=-12,所以点A1,-12在曲线y=f(x)上,当A为切点时,kl=f (1)=32,切线l的方程为y=32x-2,所以B43,0,C(0,-2),则SBOC=12432=43;当A不是切点时,设切点坐标为x0,x03-32x0,kl=f (x0)=3x02-32
9、=x03-32x0+12x0-1,整理得(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-12或x0=1(舍去),所以kl=f -12=-34,切线l的方程为y=-34x+14,所以B13,0,C0,14,则SBOC=121314=124.综上,BOC的面积为43或124.考向二两曲线的公切线问题1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k=()A.ln 2B.-ln 2C.2D.-2答案C2.(2022广州执信中学月考,6)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切,则
10、a的值为()A.0B.0或8C.8D.1答案C3.(2022山东滕州一中期中,8)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+1,则曲线f(x)与g(x)的公切线条数为()A.0B.1C.2D.3答案C4.(2022武汉开学考,5)若函数f(x)=3x+1x-3(x0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=-12x+2互相垂直,则实数t=()A.1e B.e2C.1e或2eD.1e或4e答案D5.(2022南京外国语学校模拟,6)若两曲线y=x2-1与y=aln x-1存在公切线,则正实数a的取值范围为()A.(0,2eB.(0,eC.2e,+
11、)D.(e,2e答案A6.(2022海南琼海嘉积三中月考,15)若曲线f(x)=aln x(aR)与g(x)=x在公共点处有共同的切线,则实数a的值为.答案e27.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f (x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13.因为曲线y=
12、f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x12-1)x-2x13,y=x2+a有且仅有一组解,即方程x2-(3x12-1)x+2x13+a=0有两个相等的实数根,从而=(3x12-1)2-4(2x13+a)=04a=9x14-8x13-6x12+1.(1)若x1=-1,则4a=12,a=3.(2)4a=9x14-8x13-6x12+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h(x)0,得-13x1,令h(x)0,得x-13或0x1,所以h(x)在-13,0和(1,+)上单调递增,在
13、-,-13和(0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h-13=2027,所以h(x)-4,所以a-1.解法二:由题意可知f (x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,x22+a),又g(x2)=2x2,则切线可表示为y-(x22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-x22+a,因为表示同一直线方程,所以3x12-1=2x2,-2x13=-x22+a,则(3x12-1)2-8x13=4a4a=9x14-8x13-6x12+1.下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.