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1、专题10 对数与对数函数 【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【考点预测】1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数(2)常见对数：一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；常用对数：以为底，记为；自然对数：以为底，记为；(3) 对数的性质和运算法则：；其中且；(其中且，)；对数换底公式：； ；，； 和； ；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函
2、数对数函数的图象图象 性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，当时，当时，当时，【方法技巧与总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴(见下图)【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.1（2023全国高三专题练习）设函数，则（）A8B9C10D11【答案】B【解析】设函数，则.故选：B.2（2023全
3、国高三专题练习）已知正实数x，y，z满足，则（）ABCD【答案】C【解析】令，则，故，故故选：C3（2023全国高三专题练习）已知，那么用含a、b的代数式表示为（）ABCD【答案】B【解析】由换底公式，.故选：B.4（2023全国高三专题练习）设，且，则（）AB10C20D100【答案】A【解析】由，可得，由换底公式得，所以，又因为，可得故选：A.5（2023春黑龙江牡丹江高三校考阶段练习）的解集是（）ABCD【答案】B【解析】又函数在上单调递增所以，解得：故不等式的解集为：.故选：B.6（2023河南许昌统考三模）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，则不等式的解集为（）ABCD
4、【答案】D【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或故选：D7（2023全国高三专题练习）不等式的解集为（）ABCD【答案】C【解析】原不等式等价于，解得，或故选：C8（2023全国高三专题练习）设，且，则m_.【答案】【解析】因为，所以，所以.所以，所以.故答案为：9（2023全国高三专题练习）求值或化简：(1) ；(2) .(3) .(4)(5) .(6) .【答案】(1)18(2)(3)2(4)1(5)-3(6)13【分析】根据对数的定义，结合指数幂的运算、对数的运算求解.（1）（2） （3）=2（4）（5）原式 .（6）
5、原式 =1310（2023春陕西西安高三校考期中）解下列不等式和方程：（1） （2）【解析】（1）由，得，所以，解得，所以不等式的解集为，（2）设，则，得，解得或，当时，得，当时，得，所以方程的解为或11（2023上海高三专题练习）解下列对数方程：（1）；（2）.【解析】（1）原式可化为：，再化为，即，也即，整理得：，解方程，得，经检验：是原方程增根，所以原方程的根是；（2）两边同取以10为底的对数，得，即，即.解方程，得或，所以或，经检验：，都是原方程的解.12（2023春甘肃兰州高三兰州市第五十五中学校考开学考试）已知函数(1)求函数的定义域；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)求不等式的
6、解集.【解析】（1）由，得，所以函数的定义域为，（2）函数为奇函数，证明如下：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数，（3）由，得，所以，因为在定义域内为减函数，所以，解得，所以不等式的解集为.13（2023全国高三专题练习）已知函数（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；【解析】（1）令，则，则在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以当时，求该函数的值域为.（2）不等式可化为，分解因式得，所以或，所以或.所以不等式的解集为或题型二：对数函数的图像【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.
7、图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.1（2022春云南高三校联考阶段练习）函数，的图象如图所示，则，的图象所对应的编号依次为（）ABCD【答案】C【解析】令，解得；令，解得；令，解得，即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴故，的图象所对应的编号依次为.故选：C2（2022春辽宁高三东北育才学校校考阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（）ABCD【答案】C【解析】因为幂函数在上单调递减，所以且，解得，所以，则，令，解得，可得的图象过定点.故选：C.3（2022春天津和平高三耀华中学校考阶段练习）已知函数是偶函数，在区间内单调递减，则不等式的解集为（）ABC
8、D【答案】B【解析】由是偶函数知的图像关于直线对称，再根据在区间内单调递减和知:在区间内单调递增，则函数和的大致图像如图所示，由图象可知：当时，故的解集为故选：B4（2022春江西九江高三校考阶段练习）函数过定点（）ABCD【答案】C【解析】由于函数恒过点，令，则，故函数恒过定点.故选：C5（2022全国高三专题练习）已知图中曲线分别是函数，的图像，则的大小关系是（）ABCD【答案】B【解析】由对数的性质有：，结合图像有： ，故A，C，D错误.故选：B.6（2022全国高三专题练习）已知函数（且，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A，B，C，D，【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以
9、又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.7（2022北京人大附中校考模拟预测）下列函数中，在区间上单调递减的是（）ABCD【答案】B【解析】A选项：函数的定义域为，且在上单调递增，A选项错误；B选项：函数的定义域为，且在上单调递减，B选项正确；C选项：函数的定义域为，且在上单调递增，C选项错误；D选项：函数的定义域为，且在上单调递增，D选项错误；故选：B.
10、8（2022春北京高三北京四中校考阶段练习）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】D【解析】，即，解得，即的定义域为；又在单调递减，在单调递增，在为单调增函数，故在单调递减，在单调递增.故选：D.9（2022春湖北高三校联考期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以，解得.故选：B.10（2022吉林长春东北师大附中校考模拟预测）函数在单调递增，求a的取值范围（）ABCD【答案】D【解析】在上为增函数，故要想在单调递增，所以在上单调递增，且在恒成立，故且，解得：，故选：D11（2023全国高三
11、专题练习）已知函数 (a0且a1)是R上的单调函数，则a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】二次函数的对称轴为：，因为二次函数开口向上，所以当时，该二次函数不可能单调递增，所以函数是实数集上的减函数，则有，故选：C12（2023全国高三专题练习）若函数有最大值，则a的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】令，要使函数有最大值，则内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0a1要使内层函数要有最小正值，则，解得综合得a的取值范围为故选：B.13（2023全国高三专题练习）已知函数且在区间上的最大值与最小值的差为1，则实数的值为（）A2B4C或4D或2【答案】C【解析】令，由，得，函数
12、可化为，.当时，函数在上单调递增，其最大值与最小值的差为，解得；当时，函数在上单调递减，其最大值与最小值的差为，解得.所以实数的值为4或.故选：C.题型四：对数函数中的恒成立问题【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.14（2022北京高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】当时，由，可得，则，又由，此时不等式不成立，不合题意；当时，函数在上单调递
13、减，此时函数在上单调递增，又由在上单调递增，要使得不等式在内恒成立，可得，解得.故选：A.15（2023全国高三专题练习）已知函数，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】函数在，上单调递增，在，上单调递增，对任意的，有恒成立，即，解得，实数的取值范围是故答案为：.16（2023全国高三专题练习）已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】因为对任意且，不等式恒成立，所以在上单调递减，因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，可得，解得，综上可得；，所以实数的取值范围为.故答案为：.17（2022春江西宜春高三江西省丰城
14、中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求该函数的值域；(2)证明：当时，恒成立.【解析】（1），令，则，令，则，因此，的值域为.（2）由（1）可得，因此，即该不等式恒成立.18（2022春江苏连云港高三连云港高中校考开学考试）已知函数（为常数）是奇函数.（1）求的值与函数的定义域.（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.【解析】（1）因为函数是奇函数，所以，所以，即，所以，令，解得或，所以函数的定义域为或；（2），当时，所以，所以.因为，恒成立，所以，所以的取值范围是.题型五：对数函数的综合问题19（2023春山东潍坊高三统考期中）定义在上的函数和，满足，且，其中.(1)若，求的解析式;(2)
15、若不等式的解集为，求的值.【解析】（1）由题意知，又，所以，即所以函数的解析式（2）由，得，由题意知，所以，所以，即，所以20（2023全国高三专题练习）已知函数，且点在函数的图象上.(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【解析】(1)因为点在函数的图象上，所以，解得，即，其图象如图所示：(2)将化为，因为方程有两个不相等的实数根，所以直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），由图象，得，即，即的取值范围是.21（2023全国高三专题练习）已知函数(1)若，求函数的定义域(2)若函数的
16、值域为R，求实数m的取值范围(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围【解析】（1）由题设，则或，所以函数定义域为.（2）由函数的值域为R，则是值域的子集，所以，即.（3）由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，所以在上递增，在上递减，又在上是增函数，故，可得.22（2023全国高三专题练习）函数，(1)求函数的定义域；(2)求函数的零点；(3)若函数的最小值为，求的值【解析】（1）要使函数有意义，则，解得：所以函数的定义域为：（2）令，得：即解得：因为所以函数的零点为.（3）且函数的最小值为即，得即.【过关测试】一、单选题1（2023全国高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能
17、是（）ABCD【答案】B【解析】由（且，且），可得，则，则则，又，则与互为反函数，则与单调性一致，且两图像关于直线轴对称故选：B2（2023江苏高三专题练习）已知集合，则（）ABCD【答案】B【解析】由，则，解得，即，.故选：B.3（2023春广东广州高三统考阶段练习）科学家康斯坦丁齐奥尔科夫斯基在年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度己知某实验用的单级火箭模型结构质量为 ，若添加推进剂，火箭的最大速度为，若添加推进剂，则火箭的最大速度约为（参考数据：)（）ABCD【答案】C【解析】由题目条件知，则.所以.
18、故选：C.4（2023全国高三专题练习）已知函数f（x）loga(ax22x5)(a0，且a1)在区间上单调递增，则a的取值范围为（）A2，)B(1，2C2，)D(1，2【答案】C【解析】当0a0恒成立，所以;当a1时，由复合函数单调性知函数uax22x5在上单调递增且u0恒成立，所以，综上，a的取值范围为故选：C5（2023全国高三专题练习）若函数是奇函数，当时，则（）A1BC2D【答案】A【解析】因为为奇函数，所以，当时，所以，所以；故选：A.6（2023全国高三专题练习）若函数的定义域为，则（）A3B3C1D1【答案】A【解析】由，得，由题意可知上式的解集为，所以为方程的一个根，所以，得
19、，故选：A7（2023全国高三专题练习）若函数的图象过点，则（）A3B1C-1D-3【答案】A【解析】由已知得，所以，解得：，故选：A8（2023全国高三专题练习）已知，则下列结论一定不正确的是（）ABCD【答案】C【解析】若，则，即成立若，则，即不成立若，则，由题意可得，则若，则，由题意可得，则故选：C二、多选题9（2023全国高三专题练习）若，则（）ABCD【答案】BC【解析】对于A，幂函数y=在单调递增，根据可知，故A错误；对于B，指数函数y=在R上单调递减，根据可知，故B正确；对于C，对数函数y=()在上单调递减，根据可知，故C正确；对于D，由C可知，即，故D错误故选：BC10（202
20、3全国高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（）ABCD【答案】BD【解析】当时，在单调递增且其图象恒过点，在单调递增且其图象恒过点，则选项B符合要求；当时，在单调递减且其图象恒过点，在单调递减且其图象恒过点，则选项D符合要求；综上所述，选项B、D符合要求.故选：BD.11（2023全国高三专题练习）关于函数，有下列结论，其中正确的是（）A函数的图象关于y轴对称B函数的最小值是C函数在上单调递增，在上单调递减D函数的单调递增区间是和【答案】ABD【解析】，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，故选项A正确；令，（当且仅当，即时等号成立），因为函数在上单调递增，所以，所以函数的最小值为
21、，选项B正确；当时，由对勾函数可得，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误；由偶函数图象的对称性，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是和，故选项D正确.故选：ABD12（2023全国高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】AC【解析】根据题意，函数是定义在区间上的奇函数，则，即，则，解可得或（舍），即，则，解可得，故，即的取值范围为，故选：AC.三、填空题13（2023春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则_.【答案】
22、1【解析】函数的图象经过定点所以的图象也过定点， 即则，所以故答案为：114（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_【答案】【解析】由函数的定义域是，得到，故 即 .解得: ；所以原函数的定义域是：.故答案为：.15（2023全国高三专题练习）函数的定义域_【答案】【解析】要使函数有意义，需满足，即，解得故函数定义域为故答案为：16（2023全国高三专题练习）化简_.【答案】【解析】原式.故答案为：.17（2023全国高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是_(填序号)为奇函数；为偶函数；在上单调递减；在上单调递增【答案】【解析】由题意，函数，令，解得或，即函数的定义
23、域为，又由，所以函数为定义域上的奇函数，所以正确，不正确；又由，令，其中且，可得，因为在上单调递减，且，所以在上单调递减，所以正确；又因为函数为定义域上的奇函数，所以在上单调递减，所以不正确故答案为：.18（2023全国高三专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意可得或，解得或的取值范围是故答案为：19（2023上海高三专题练习）方程的解为 _ .【答案】【解析】由，得，所以，又因为且，所以；故答案为：.20（2023全国高三专题练习）方程的实数解为_.【答案】【解析】令（），则，即舍去，即，故答案为：21（2023全国高三专题练习）已知函数，若是奇函数，则实数a=_【
24、答案】1【解析】由题意，即，所以，化简得，解得故答案为：122（2023全国高三专题练习）已知函数，则的解集为_【答案】【解析】因为且，所以或，解得或，综上可得原不等式的解集为；故答案为：四、解答题23（2023全国高三专题练习）计算：(1)(2)【解析】（1）=；（2）=.24（2023全国高三对口高考）已知函数.（1）求的定义域；（2）判断在内的单调性，并证明你的结论；【解析】（1）因为，所以，即，解得或，故函数的定义域为.（2）在内单调递减，证明：任取、且，则，因为，所以，则，在内单调递减.25（2023上海高三专题练习）已知.（1）解不等式：；（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.【解析】（1）或；（2）令，则在区间上的最小值，在上的最大值为4，当时，；当，.综上，或26（2023全国高三专题练习）已知，求的值.【解析】因为，所以，化简得，即，解得，