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1、专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法【考点预测】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上.（2）若，解集为.若，解集为.若，解集为.(2) 当时，二次函数图象开口向下.若，解集为若，解集为2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、绝对值不等式（1）（2）；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为2、已知关
2、于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法题型二：含参数一元二次不等式的解法题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式题型四：其他不等式解法题型五：二次函数根的分布问题题型六：一元二次不等式恒成立问题【典例
3、例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法例1（2023全国高三专题练习）已知函数（m是常数）的图象过点(1)求的解析式；(2)求不等式的解集【解析】(1)由题意，所以所以的解析式为(2)不等式等价于解得所以不等式的解集为例2（2023全国高三专题练习）不等式组的解集为_.【答案】【解析】原不等式组化简为故答案为：.例3（2023上海高三专题练习）已知集合，则_【答案】【解析】；故答案为：变式1（2023全国高三专题练习）不等式的解集为_（用区间表示）【答案】【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：考点：一元二次不等式【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程
4、根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集题型二：含参数一元二次不等式的解法例4（2023全国高三专题练习）已知，则关于x的不等式的解集是（）A或B或CD【答案】D【解析】因为方程的解为或，且，所以不等式的解集是.故选：D.例5（2023全国高三专题练习）不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.故选：A.例6（2023全国高三专题练习）若，则关于的不等式的解集为（）ABC或D或【答案】B【解析】方程的两个根为和，因为，所以，故不等式的解集为故选：B变式2（2023全国高三专题练习）若关
5、于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】原不等式可化为，若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有个正整数；若，则不等式的解集为空集，不合乎题意；若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的个正整数分别是、，所以，.因此，实数的取值范围是.故选：A.变式3（2023全国高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（）A或Bx|xaC或D【答案】A【解析】因为，所以等价于，又因为当时，所以不等式的解集为：或故选：A变式4（2023全国高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为，所以，解得，所以原不等式
6、的解集为，又解集中的整数有且仅有1，2，3，所以解得：，即，故答案为：【方法技巧与总结】1、数形结合处理2、含参时注意分类讨论题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例7（2023全国高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则b的值为_【答案】【解析】根据不等式的解集为，可得方程的两个根为2和3，且，则，解得.故答案为：例8（2023全国高三专题练习）若不等式的解集是，求不等式的解集【解析】由题意，不等式的解集是，可得和是一元二次方程的两个实数根，所以，解得，所以不等式化为，即，解得，不等式的解集为例9（2023全国高三专题练习）不等式的解集为，则_【答案】【解析】由已知，关于的二次方程的两根分
7、别为、，且，所以，解得.故答案为：.变式5（2023全国高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为_.【答案】【解析】由不等式的解集为，可知方程有两根，故，则不等式即等价于，不等式的解集为，则不等式的解集为，故答案为：.变式6（2023全国高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则_.【答案】1【解析】因为关于的不等式的解集是，所以是方程的两个根，所以由根与系数的关系可得，得，故答案为：1变式7（2023全国高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】的解集是，得，则不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故选：D【方法技巧与总结】1、一定要牢记二次函
8、数的基本性质2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换题型四：其他不等式解法例18（2023上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为_【答案】【解析】【分析】由可得，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由可得，整理可得：，则，解可得：.所以不等式是的解集为: .故答案为：.例10（2023全国高三专题练习）不等式的解集为_.【答案】【解析】,故答案为：.例11（2023全国高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式_.【答案】【解析】一个解集为的分式不等式可以是，故答案为：.（答案不唯一）【方法技巧与总结】1、分式不等式化为二次或高次不等式处理2、根式不等式绝对值不等式平方处理题型
9、五：二次函数根的分布问题例12（2023全国高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，方程的两根都大于，令，可得，即，解得故答案为：.例13（2023全国高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为_【答案】.【解析】方程方程两根为，若要满足题意，则，解得，故答案为：.例14（2023全国高三专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_【答案】【解析】的两个根都大于，解得可求得实数的取值范围为故答案为：变式8（2023全国高三专题练习）为何值时，关于的方程 的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（
10、4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.【解析】设函数由题意可得，方程有两根设为，对称轴 ，解得或（1）由题意可得或（2）由题意可得（3）由题意可得（4）由题意可得（5）由题意可得或【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.题型六：一元二次不等式恒成立问题例15（2023全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围【解析】由题意不等式对恒成立，可设，则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是例16（2023全国高三专题练习）关于实数
11、x的不等式(1)若，求该不等式解集；(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)当时，原不等式即为：，解得，所以不等式解集；(2)若不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，故满足题意；当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则 即，解得；综上：.例17（2023全国高三专题练习）若不等式的解集是(1)解不等式；(2)b为何值时，的解集为R【解析】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，所以不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或（2）由（1）可知的解集为R，所以，解得，所以的取值范围为变式9（2023全国高三专题练习）已知.（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不
12、等式有解，求实数a的取值范围.【解析】令，当时，在上单调递减，在上单调递增，（1）因在恒成立，于是得，所以实数a的取值范围是；（2）因不等式在有解，于是得，所以实数a的取值范围是.【方法技巧与总结】分离参数或数形结合【过关测试】一、单选题1（2023春福建宁德高三校考阶段练习）已知集合，则=（）ABCD【答案】D【解析】，所以，.故选：D.2（2023全国高三专题练习）集合，则（）ABCD【答案】A【解析】或，所以.故选：A.3（2023全国高三专题练习），则（）ABC或D或【答案】C【解析】或，或，因为，或，故选：C.4（2023全国高三专题练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（）AB
13、C或D或【答案】A【解析】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.故选：A5（2023上海高三专题练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A4B7C8D16【答案】C【解析】因为若，则，所以满足条件的集合的个数为故选：6（2023全国高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（）ABC 或D或【答案】C【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为，所以1和3为方程的两个根，由韦达定理有：，所以，且，则，等价于，即，故不等式的解集为.故选：C.7（2023全国高三专题练习）不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】原不等式即为，解得，故原不等式的解集为.故选：
14、B.8（2023全国高三专题练习）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】原不等式可整理为当时，不等式为，该不等式恒成立；当时，必须满足，解得综上知实数的取值范围是故选：C9（2023江苏南京南京市第一中学校考模拟预测）已知的解集为，则的值为（）A1B2C-1D-2【答案】B【解析】因为的解集为，所以为方程的一个根，所以故选:B10（2023全国高三专题练习）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】设，开口向上，对称轴为直线，所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，即，得，所以实数a的取值范围为，故选：D二、多选题1
15、1（2023全国高三专题练习）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（）AB0C1D2【答案】CD【解析】由题设知，对应的，即，故，所以数值中，可取到的数为1，2.故选：.12（2023全国高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（）AB不等式的解集是CD不等式的解集为【答案】ABD【解析】关于的不等式的解集为选项正确；且2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，则，则，C选项错误；不等式即为，解得选项正确；不等式即为，即，解得或选项正确.故选：.13（2023全国高三专题练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（）ABCD【答案】BD【解析】由题意，关于的不等式
16、对恒成立，则，解得，对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.故选：BD.14（2023全国高三专题练习）恒成立，a的值可以为（）ABCD4【答案】BCD【解析】恒成立，即恒成立，所以，解得，所以BCD符合，A不符合；故选：BCD15（2023全国高三专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】BCD【解析】对A，不等式的解集为，故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A错误
17、；对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，则有，又，故，故B，C正确；对D，又，故D正确.故选：BCD.16（2023全国高三专题练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（）ABCD【答案】AB【解析】由，分类讨论如下：当时，；当时，；当时，或；当时，；当时，或.故选：AB.三、填空题17（2023上海高三专题练习）不等式的解集是_【答案】【解析】不等式等价于，解得.故不等式的解集为.故答案为：.18（2023全国高三专题练习）若对恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】对恒成立，,故答案为：19（2023全国高三专题练习）若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_【
18、答案】【解析】当时，不等式无解，满足题意；当时，解得；综上，实数的取值范围是故答案为：20（2023全国高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当时，不等式为，满足题意；当，需满足，解得，综上可得，的取值范围为，故答案为：.21（2023全国高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】当时，不等式为有解，故，满足题意；当时，若不等式有解，则满足，解得或；当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，所以，综上可得，实数a的取值范围是.22（2023全国高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为_【
19、答案】，【解析】可化为，该不等式的解集中恰有3个正整数，不等式的解集为，且；故答案为：，四、解答题23（2023全国高三专题练习）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】根据与的包含关系，对参数分类讨论即可（1），当时，符合题意；当时，则或，；当时，符合题意；综上，实数的取值范围为（2），由（1）得，即.实数的取值范围为.24（2023全国高三专题练习）已知不等式的解集为求(1)常数的值(2)不等式的解【解析】（1）因为不等式的解集为，所以，的实数根为或，所以，解得，所以，（2）结合（1）知，故，所以，即，所以，不等式的解集为25（20
20、23全国高三专题练习）请回答下列问题：若关于的不等式的解集为或，求，的值.【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得26（2023全国高三专题练习）（1）已知，求的最小值（2）求关于x的不等式的解集：【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8（2），当时，不等式为，解集为，时，不等式分解因式可得，当时，故，此时解集为当时，故此时解集为，当时，可化为，又，解集为当时，可化为，又，解集为，综上所述：时，解集为，时，解集为，时，解集为，时，解集为，时，解集为27（2023全国高三专题练习）已知关于的函数(1)当时，求不等式的解集.(2)当时，求不
21、等式的解集.【解析】（1）当时，由得：或，的解集为或.（2）由得：，当时，令，解得：，则由得：或，的解集为.28（2023全国高三专题练习）设，：实数满足.(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，可得，可化为， 解得，又由命题为真命题，则.所以，都为真命题时，则的取值范围是（2）由，解得，因为，且是的充分不必要条件，即集合 是的真子集，则满足，解得，所以实数的取值范围是.29（2023全国高三专题练习）解关于的不等式：.【解析】由得，当，即时，不等式的解为或.当，即时，不等式的解为或，当，即时，不等式的解，所以当时原不等式的解集为，当时原不等式的解集为，当时不等式的解集为.