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1、2023年河南省郑州市等2地高考数学冲刺试卷（理科）（3月份）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，则AB（）A0，2B1，2C0，1，2D1，2，42（5分）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知，则的值为（）ABCD4（5分）已知变量x，y满足，则z2x8y的最大值是（）A4B6C8D125（5分）一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）ABCD6（5分）某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了
2、了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x，则该型电动汽车月平均用电量在200，280）的户主人数为（）A98B103C108D1127（5分）某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：N（85，2），且P（8387）0.3，P（7883）0.12，P（78）（）A0.14B0.18C0.23D0.268（5分）已知函数f（x）a（3x）+的图象过点（0，1）与，则函数f（x）在区间1，4上的最大值为（）ABCD9（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左
3、右焦点分别为F1，F2，P为C右半支上一点，且cosF1PF2，则双曲线C的离心率为（）A2B4C6D910（5分）在等比数列an中，公比q2，且，则a9+a10+a11+a12（）A3B12C18D2411（5分）定义在R上的函数f（x）满足，对于互不相等的任意x1，x2（0，2都有，且当x1时，f（x）0，f（x+2）f（x）对任意xR恒成立，yf（x+2）的图象关于直线x2对称，则f（10）、f（3）的大小关系为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）与g（x）定义域都为R，满足，且有g（x）+xg（x）xg（x）0，g（1）2e，则不等式f（x）4的解集为（）A（1，4）B（0，2）C
4、（，2）D（1，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若“xR，x26ax+3a0”为假命题，则实数a的取值范围为 14（5分）（x+2）4（x1）3的展开式中x2的系数为 15（5分）如图所示，ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 16（5分）直线l：x+y10与椭圆C：1交于A，B两点，长轴的右顶点为点P，则ABP的面积为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）已知ABC的角
5、A，B，C对边分别为a，b，c，满足，b+ca0（1）求A；（2）求ABC外接圆的半径R18（12分）某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x（kg）和玉米相应产量y（kg）的相关数据，制作了数据对照表：x（kg）1620242936y（kg）340350362404454若在合理施肥范围内x与Y具有线性相关关系，（1）求y关于x的线性回归方程；（2）请利用线性回归方程预测x40kg时的玉米产量附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，19（12分）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点（1）证明：CDA1D；（2）求二面角DA1CA的大小；（3）求
6、直线CA与平面A1CD所成角的正弦值20（12分）已知斜率存在的直线l过点P（1，0）且与抛物线C：y22px（p0）交于A，B两点（1）若直线l的斜率为1，M为线段AB的中点，M的纵坐标为2，求抛物线C的方程；（2）若点Q也在x轴上，且不同于点P，直线AQ，BQ的斜率满足kAQ+kBQ0，求点Q的坐标21（12分）已知函数f（x）lnx+x（a0）（1）若a1，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）lnx+x（a0）在其定义域上有唯一零点，求实数a的值选修4-4:坐标系与参数方程(10分)22（10分）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐
7、标方程为4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）过点P（0，3）向直线l作垂线，垂足为Q，说明点Q的轨迹为何种曲线选修4-5:不等式选讲(10分)23已知函数f（x）|x+3|（1）解不等式f（x）+|x3|8；（2）若f（x）m（|x3|+|x+9|）在（，+）上恒成立，求实数m的最小值参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1【分析】由指数函数的性质求解集合B，结合交集的概念运算可得出结果【解答】解：，AB0，1，2故选：C2【分析】化简复数z，可得z在
8、复平面内所对应的点，以及该点所在的象限【解答】解：由题意，ziii（1i）1+2i，z在复平面内所对应的点为（1，2），位于第二象限故选：B3【分析】由余弦的两角和与差公式，以及余弦的二倍角公式化简求值即可【解答】解：cos2（x）+cos2（x+）（cosxcos+sinxsin）2+（cosxcossinxsin）2（cosx+sinx）2+（cosxsinx）2cos2x+sinxcosx+sin2x+cos2xsinxcosx+sin2xcos2x+sin2x+cos2x+1+（）故选：B4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代
9、入目标函数即可求出结果【解答】解：由约束条件作出可行域，如图所示：由图可知A（2，0），由z2x8y，得y，由图可知，当直线y过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z的值最大，所以z的最大值为22804故选：A5【分析】直接利用组合数和子集的个数求出概率的值【解答】解：一个集合中含有4个元素，从该集合的子集数为2416；含3个元素的集合有，故概率的值为故选：D6【分析】根据题意，由频率分布直方图，依次求出第1组、2组、5组、3组、4组、6组和7组的频率，由此可得第5组的频率，分析可得第3组、4组、5组、6组的频率之和，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，由频率分布直方图，第1组的频率为0.0
10、020200.04，第2组的频率为0.0095200.19，第3组的频率为0.0110200.22，第4组的频率为0.0125200.25，第6组的频率为0.0050200.1，第7组的频率为0.0025200.05，故第5组的频率为10.040.180.220.250.10.050.15，第3组、4组、5组、6组的频率之和为0.22+0.25+0.15+0.10.72，故则该型电动汽车月平均用电量在200，280）的户主人数为1500.72108故选：C7【分析】根据题意，由正态分布的性质可得P（8385）0.15，又由P（78）0.5P（8385）P（7883），计算可得答案【解答】解：根
11、据题意，N（85，2），且P（8387）0.3，则P（8385）P（8387）0.15，又由P（7883）0.12，则P（78）0.5P（8385）P（7883）0.50.150.120.23故选：C8【分析】由已知求得a与b的值，可得函数解析式，再由导数求最值【解答】解：由题意可得，解得f（x）1，f（x），当x1，2）时，f（x）0，当x（2，4时，f（x）0，f（x）在1，2）上单调递增，在（2，4上单调递减，故选：B9【分析】利用双曲线的定义，平面向量数量积的定义化简，结合余弦定理列方程，求出离心率【解答】解：由题意，设|PF1|m，|PF2|n，则mn2a，|PF1|PF2|cosF
12、1PF2mn2a2，mn8a2，又cosF1PF2，解得4a2c2，则双曲线C的离心率为e2故选：A10【分析】根据题意，由等比数列的性质可得+，结合等比数列的通项公式分析可得答案【解答】解：根据题意，+，+，则+，则有，则有，变形可得a9+a10+a11+a1212故选：B11【分析】利用函数单调性的定义，由条件可得f（x）在（0，2上单调递增，利用函数的周期性，由条件可得f（x）是周期为4的周期函数，利用函数图象的对称性，由条件可得yf（x）为偶函数，进而比较f（10），f（），f（3）的大小关系即可【解答】解：对于互不相等的任意x1，x2（0，2都有，且当x1时，f（x）0，任取0x2x
13、12，则1，f（）0，即f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），f（x）在（0，2上单调递增，f（x+2）f（x）对任意xR恒成立，f（x+4）f（x+2）f（x），f（x）是周期为4的周期函数，yf（x+2）的图象关于直线x2对称，yf（x）的图象关于y轴对称，即yf（x）为偶函数，f（10）f（10）f（2），f（）f（）f（），f（3）f（1）f（1），f（x）在（0，2上单调递增，且，f（）f（1）f（2），即f（）f（3）f（10）故选：B12【分析】对函数f（x）求导，利用已知不等式判断出f（x）的单调性，即可解出不等式的解集【解答】解：由题意，f（x），定义域为R，则f（x
14、），ex0，g（x）+xg（x）xg（x）0，则f（x）0，即f（x）在R上单调递减，且f（1）4，所以不等式f（x）4f（1）的解集为（1，+）故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13【分析】由“xR，x26ax+3a0”为真命题，利用判别式法求解【解答】解：由条件可知“xR，x26ax+3a0”为真命题，则36a212a0，即故答案为：14【分析】（x+2）4（x1）3的展开式中x2来自于三类：（x+2）4中的二次项与（x1）3的常数项的乘积；（x+2）4中的常数项与（x1）3的二次项的乘积；（x+2）4中的一次项与（x1）3的一次项的乘积，再结合二项式定理求解即可【解
15、答】解：由题意可知，已知展开式中x2来自于三类：（x+2）4中的二次项与（x1）3的常数项的乘积；（x+2）4中的常数项与（x1）3的二次项的乘积；（x+2）4中的一次项与（x1）3的一次项的乘积所以展开式中x2项为，即x2的系数为24故答案为：2415【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的数量积运算求解即可【解答】解：已知，ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则，又ABC是边长为8的等边三角形，则，则，则故答案为：39，5516【分析】由椭圆的方程可得右顶点P的坐标，联立直线与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|的
16、值，再求P到直线l的距离d，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积【解答】解：由椭圆C：1的方程可得右顶点P（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：3y22y30，可得0显然成立，且y1+y2，y1y21，所以弦长|AB|，P到直线l的距离d，所以SPAB|AB|d故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17【分析】（1）直接利用余弦定理求出C的值；（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果【解答】解：（1）由于，根据正弦定理：，由于sinC0，故，整理得
17、，由于A（0，），故（2）（2）由于bc，所以，c+b0，所以c2+b2+2bc2a2，整理得：a21，故a1；由（1）得：18【分析】（1）根据题意，求出、，进而由线性回归方程的计算公式计算可得答案；（2）根据题意，将x40代入线性回归方程，计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，由数据表，（16+20+24+29+36）25，（340+350+362+404+454）382，则6，则382625232，故y关于x的线性回归方程为6x+232；（2）根据题意，由（1）的结论：6x+232，当x40kg时，y640+232472kg，故x40kg时的玉米产量大约为472kg19【分析】（1）根
18、据面面垂直的性质即可证明；（2）建系，根据向量法即可求解；（3）建系，根据向量法即可求解【解答】解：（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，D为AB的中点平面A1ABB1底面ABC，CDAB，又CD底面ABC，平面A1ABB1底面ABCAB，CD平面A1ABB1，又A1D平面A1ABB1，CDA1D；（2）根据题意及（2）建系如图，则根据题意可得：D（0，0，0），A1（0，1，），C（，0，0），A（0，1，0），设平面A1CD的法向量为，则，取，设平面A1CA的法向量为，则，取，设二面角DA1CA的平面角为，且由图易知为锐角，cos|cos|，二面角DA1CA的大小为；（3）由（2
19、）知，平面A1CD的法向量为，直线CA与平面A1CD所成角的正弦值为：20【分析】（1）由题知直线l的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l的方程及Q的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出kAQ+kBQ将韦达定理代入kAQ+kBQ0，化简求出参数即可得点Q的坐标【解答】解：（1）因为直线l的斜率为1且过点P（1，0），所以直线l的方程为：yx1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得：x2（2p+2）x+10，所以x1+x22p+2，x1x21，所以y1+y2x1+x222p，因为M为线段AB的中点，M的纵坐标为2，所以，所以抛物线的方程为
20、：y24x；（2）设直线l的方程为：yk（x1），Q（m，0）（m1），得：k2x2（2k2+2p）x+k20，所以，由，由k0，所以，即，所以m1，所以点Q的坐标为（1，0）21【分析】（1）求出f（x），可得f（1）1，f（1），利用点斜式，即可得出答案；（2）由题意得函数f（x）的定义域为（0，+），题意转化为x22alnx2ax0在（0，+）有唯一实数解，构造函数g（x）x22alnx2ax，则g（x）2x2a，求出g（x）的最小值，要使g（x）在（0，+）上有唯一零点，则，即2lnx1+x110，构造函数t（x）2lnx+x1，x（0，+），即可得出答案【解答】解：（1）当a1时，f
21、（x）lnxx2+x，则f（x）x+1，f（1）1，f（1），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为yx1，即2x2y10；（2）由题意得函数f（x）的定义域为（0，+），函数f（x）lnx+x（a0）在其定义域上有唯一零点，转化为x22alnx2ax0在（0，+）有唯一实数解，令g（x）x22alnx2ax，则g（x）2x2a，a0，由g（x）0得x1或x2（不合题意，舍去），由g（x）0得x，由g（x）0得0x，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，当x时，g（x）取得极小值也是最小值，要使g（x）在（0，+）上有唯一零点，则，即，2alnx1+ax1a0，即2lnx1
22、+x110，令t（x）2lnx+x1，x（0，+），t（x）在（0，+）上单调递增，又当x0时，t（x），则由函数零点存在性定理得t（x）至多有一解，t（1）0，方程2lnx1+x110的解为x11，即1，解得a，实数a的值为选修4-4:坐标系与参数方程(10分)22【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用直线间的位置关系建立方程组，进一步求出曲线的方程【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为4cos，根据，转化为直角坐标方程为（x2）2+y24；当时，（t为参数），转换为普通方程为xy+20（2）由于直线l的斜率ktan，经过点（1，1），故
23、直线的方程为y1k（x+1），过点（0，3）作直线l的垂线，则该垂线的斜率为，故该垂线的方程为，故，消去k值，得到x2+y2+2y+14整理得x2+（y1）24，该曲线是以（0，1）为圆心，2为半径的圆选修4-5:不等式选讲(10分)23【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，再求不等式的解集（2）利用分段讨论法去掉绝对值，把问题化为或或恒成立，由此求出实数m的最小值【解答】解：（1）因为函数f（x）|x+3|，所以不等式f（x）+|x3|8可化为|x+3|+|x3|8，等价于或或，解得x4或x4；所以不等式的解集为（，4）（4，+）（2）不等式f（x）m（|x3|+|x+9|）在（，+）上恒成立，即|x+3|m（|x3|+|x+9|）在（，+）上恒成立，等价于或或恒成立；解得或或，所以实数m的最小值是