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1、第30讲 递推公式求通项1、法（项与和互化求通项）注意：绝大部分题目当时，用替换了，有时候解题需逆向，把题目中的用替换进题目中。2、累加法累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=整理得：=3、累乘法累乘法（叠乘法）若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：整理得：4、构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
2、（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式5、倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：
3、形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。）题型一：已知和关系求通项1（阜康市第一中学）已知数列的前项和为 ()求数列的通项公式；【答案】（1）【详解】（1）当时，当时， ，满足上式，所以2（全国高二专题练习）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，；当，即，是首项为，公比为2的等比数列，所以.（2），由，得，解得.3（浙江高三专题练习）已知数列的前项和为（1）当取最小值时，求的值；（2）求出的通项公式.【答案】（1）或；（2）【详解】解：
4、（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，当时，当时，满足上式，所以题型二：累加法1（浙江高三专题练习）（1）已知数列满足，求通项公式；（2）设数列中，求通项公式.【答案】（1）an (nN*)；（2）an (nN*)【详解】（1）an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana11.an11，an (n2)又n1时，a11，符合上式，an (nN*)（2）a11，anan1(n2)，ana11.又n1时，a11，符合上式，an (nN*)2（哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知数列中，且时，求.【答案】【详解】当时，又符合上式，.3（安徽高三月考（理）已知数
5、列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）ann2n；（2）【详解】（1）数列an满足a13，anan13n0，n2，即anan13n，可得ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）3+6+9+3nn（3+3n）n2n；（2）bn（），前n项和Sn（1）（1）.题型三：累乘法1（全国高二课时练习）已知数列中，前项和.（1）求，；（2）求的通项公式【答案】（1）a23，a36 ；（2）an=.【详解】(1)由S2a2，得(a1a2)a2，又a11，a23a13.由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，a3 (a1a2)6.(2)当n2时，anSnSn1ana
6、n1，anan1，即.ana11.又a11满足上式，an.2（全国高二专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式.【答案】【详解】由，得， ，又a11满足上式，.题型四：构造法1（全国高二专题练习）数列中，求数列的通项公式【答案】【详解】依题意，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以.2（全国高三专题练习）在数列中，求.【答案】【详解】解：因为，所以，而，是首项为4，公比为2的等比数列，故，.3（铜山启星中学）数列满足，求其通项公式 【答案】【详解】令，所以，因为，所以，可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，可得.题型五：倒数法1（全国）已知数列中，求的通项公式.【答案】.【详解】，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；