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1、第七章立体几何第32讲空间几何体的表面积和体积一、 单项选择题1. 某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示如果一张石凳的体积是0.18m3，那么原正方体石料的体积是()A. 0.196m3 B. 0.216m3C. 0.225m3 D. 0.234m32. 已知正四棱锥PABCD的高为，且AB2，则正四棱锥PABCD的侧面积为()A. 2 B. 4 C. 6 D. 83. (2022潮州二模)已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为36，则该圆柱的体积为()A. 16 B. 27 C. 36 D. 544. (2022新高考卷)南水北调工
2、程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(2.65)()A. 1.0109m3 B. 1.2109m3C. 1.4109m3 D. 1.6109m3二、 多项选择题5. (2022武昌区模拟)已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A. 圆柱的侧面积为4R2 B. 圆锥的侧面积为2R2C. 圆柱
3、的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍6. (2022青岛一模)已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为r上1，r下2，母线AB的长为2，E为母线AB的中点，则下列结论正确的是()A. 圆台母线AB与底面所成的角为60B. 圆台的侧面积为12C. 圆台外接球的半径为2D. 在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径的长度为5三、 填空题(精准计算，整洁表达)7. (2022辽南二模)市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面的半径为4cm，上底面的半径为2cm，高为6cm，上方的圆锥高为8cm，则圆台的
4、侧面积为_cm2，此冰激凌的体积为_cm3.8. 已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，A.又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为，则球O的体积为_9. (2022福州期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA12，F是线段A1B1上的动点，则AFFC1的最小值为_四、 解答题10. 如图，在直三棱柱ABCABC中，底面是边长为3的等边三角形，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC到点M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N.(1) 求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2) 求该三棱柱ABCABC的体积和
5、表面积；(3) 求PC与NC的长1. B【解析】 如图，设原正方体的棱长为am，则正方体的体积为a3m3，每一个四面体的体积为，由题意可知a380.18，所以a30.216，故原正方体石料的体积为0.216m3.2. D【解析】 因为正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面的高为h2，所以侧面积为S4228.3. D【解析】 设圆柱底面的半径为R，高为h，则解得所以圆柱的体积为VR2h54.4. C【解析】 依题意可知棱台的高MN157.5148.59(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.如图，棱台上底面面积S180.0km2180106m2，下底面面积S140.0km2140106m2，所以V
6、h(SS)9(140106180106)3(32060)106(96182.65)1071.4371091.4109(m3)5. ACD【解析】 对于A，因为圆柱的底面直径和高都等于2R，所以圆柱的侧面积S12R2R4R2，故A正确；对于B，因为圆锥的底面直径和高等于2R，所以圆锥的侧面积为S2RR2，故B错误；对于C，圆柱的侧面积为S14R2，球的表面积S34R2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为V1R3，圆锥的体积为V2R22RR3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确6. ACD【解析】 对于A，如图(1)，过点A作AFO1O2交底面于点F，则O1O2底面，所
7、以ABF即为母线AB与底面所成的角在等腰梯形ABCD中，因为AB2，BF211，所以cosABF.因为ABF为锐角，所以ABF60，故A正确；对于B，如图(2)，圆台的侧面展开图为半圆环，其面积为S2242126，故B错误；对于C，设圆台外接球的球心为O，半径R，如图(3)，由题意可得O1B2，O2A1，O1O2.设OO1a，则OO2a，由ROAOB，得，解得a0，即点O与O1重合，所以ROB2，故C正确；对于D，如图(4)，在圆台的侧面展开图上，从点C到点E的最短路径的长度为CE.由题意可得FBFC4，AB2.由E为AB的中点，可知FE3，所以CE5，故D正确图(1)图(2)图(3)图(4)
8、(第6题)7. 12【解析】 圆台的母线为2，圆台的侧面积为S(42)212，圆台的体积T16(422422)56，圆锥的体积T2228，故冰激凌的体积为TT1T2.8. 36【解析】 设ABC的外接圆的圆心为M，根据球的截面性质可知OM平面ABC.因为a2，A，所以AM2，所以OA3，所以球O的体积为VR336.9. 【解析】 如图，把正三棱柱ABCA1B1C1的上底面三角形A1B1C1与侧面矩形ABB1A1放在同一平面内，连接AC1，交A1B1于点F，此时点F可使AFFC1取最小值，即为AC1.因为AA1C1150，所以AC1，所以AFFC1的最小值为.10. 【解】 (1) 该三棱柱的侧面展开图为宽和长分别为4和9的矩形，故对角线的长为.(2) 在直三棱柱ABCABC中，因为底面是边长为3的等边三角形，AA4，所以三棱柱的体积VSABCAA949，表面积S2SABCS侧9233436.(3) 将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.因为MP，MA2，AC3，所以x2，即PC2.又NCAM，所以，即，所以NC.