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1、专题24 空间几何体的表面积和体积 一、考向解读考向：通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养考点：空间几何体的表面积和体积导师建议：难点是组合体的表面积，需要对基本的立体图形非常熟悉！二、知识点汇总1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面
2、体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台4.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱5.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥6.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和
3、截面之间的部分叫做圆台7.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球.表面积公式表面积柱体为直截面周长锥体台体球体积公式体积柱体锥体台体球三、题型专项训练目录一览柱、锥、台的表面积柱、锥、台的体积球的表面积和体积组合体的表面积和体积多选题与填空题高考题精选题型精练，巩固基础柱、锥、台的表面积一、单选题1在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，则该“堑堵”的表面积为（）ABCD【答案】D【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果.【详解】由题意可知，该“堑堵”的表面积为.故选：D.2若六棱柱的
4、底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（）A12B48C64D72【答案】D【分析】由六棱柱的底面是边长为3的正六边形，求出底面周长，再由侧棱长，即棱柱的高为4，代入棱柱侧面积公式，可得答案【详解】解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高，棱柱的侧面积，故选：D3某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为，则该种胶囊的体积为（）ABCD【答案】A【分析】设圆柱高为，左、右两端半球形半径为，其表面积为S，胶囊的体积为，由圆柱侧面积和球的表面积公式列出等式，用表示出，然后由
5、圆柱与球体积公式求得并代入已知可得【详解】设圆柱高为，左、右两端半球形半径为，其表面积为S，胶囊的体积为，依题意，故，将代入可得，故选：A4唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.已知半球的半径为，酒杯内壁表面积为，则圆柱的高和球的半径之比为（）甲乙ABCD【答案】B【分析】根据给定的几何体，利用圆柱和球的表面积公式求出圆柱的高与球的半径关系，即可求解.【详解】设圆柱的高为，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱的侧面积之和，即，解
6、得，所以圆柱的高和球的半径的比为.故选：B5棱长都是1的三棱锥的表面积为（）ABCD【答案】A【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果【详解】因为四个面是全等的正三角形，则表面积故选：A.6已知正四棱锥的底面正方形的中心为，若高，则该四棱锥的表面积是（）ABCD【答案】D【分析】先在正四棱锥中由高，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.【详解】依题意，正四棱锥的高底面，且，知为等腰直角三角形，则侧棱，且，则底面正方形的对角线，得正方形的边长，从而知正四棱锥的个侧面均是边长为的正三角形；所以底面积为： ；侧面积为： 故正四棱锥的表面积为：故选：D7已知某圆锥
7、的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A27BCD16【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，所以，所以圆锥的高为，所以，解得，故其表面积；故选：A8如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）克（精确到个位数）A176B207C239D270【答案】B【分析】求出圆锥的母线长，再由台灯是由一个圆锥和一个半球组成可求得台灯表面积的值，进而求得
8、涂胶的克数.【详解】由已知得圆锥的母线长，所以台灯表面积为，需要涂胶的重量为（克），故选：B.9若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的表面积为（）ABCD【答案】A【分析】利用正棱台的侧面是等腰梯形，根据已知条件计算斜高，然后根据梯形的面积公式计算侧面积，进而求得表面积【详解】由题意可得，上底面的面积为9，下底面的面积为81，侧面的高为，所以该正四棱台的表面积为.故选：A【点睛】本题主要考查了正棱台的表面积，关键在于利用正棱台侧面是等腰梯形，根据已知条件，利用等腰梯形的性质计算斜高，属于基础题10正四棱台的上、下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（）ABCD【答案
9、】D【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，侧棱长为，所以棱台的斜高为: .所以棱台的侧面积是: .故选：D.11已知圆台的上、下底面的半径分别为，若，高，则该圆台的侧面积为（）ABCD【答案】C【分析】构造三角形求出母线长，再代入 可得结果.【详解】如图所示，过A作AC垂直于于点C，则 ， 在直角ACB中， 故选：C.12已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面，圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的（）ABCD【答案】B【详解】设圆台上底面半径为r，则圆台下底面半径为
10、2r，圆锥的底面半径为r，设圆台的高为h，则圆锥的的高为h则圆台母线长为，圆锥的母线长为则圆锥的侧面积为圆台侧面积为，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的故选：B柱、锥、台的体积13九章算术商功中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（）A8B6C4D3【答案】B【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.【详解】如图所示，原长方体，设矩形的面积为，鳖臑的体积为
11、，即，所以，即原长方体的体积是.故选：B14陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）ABCD【答案】D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.15已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（）ABC1D【答案】C【分析】根据三棱锥的体积与三棱柱体积的关系求解.【详解】正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，棱柱的底面面积为：棱柱的体积为：由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥
12、的体积为：故选：C16已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（）A6BC2D【答案】C【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为故选：C.17一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（）ABCD【答案】A【分析】根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，求得底面圆半径，根据勾股定理求出圆锥的高，结合圆锥体积公式计算即可求解.【详解】母线长为1，设底面圆半径为，则，故圆锥的体积为，故选：A.18埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的倍的正四棱锥，现将一个棱长为的正方体铜块，熔化铸造一些高为的胡
13、夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（）个该金字塔模型（不计损耗）？ABCD【答案】B【详解】在正四棱锥中，令，连接，则正四棱锥的高为 设正四棱锥的底面边长为a，则，即正四棱锥的体积为则可得，则该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型故选：B.19圆台上下底面半径分别是，高为，这个圆台的体积是（）ABCD【答案】A【分析】运用圆台体积公式直接计算.【详解】由圆台体积公式知： ；故选：A.20圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）ABCD【答案】A【分析】先求得圆台的高，然后根据圆台的体积公式求得正确答案.【详解】求得直径为，半径为，圆台的下
14、底面半径为，所以圆台的高为，所以圆台的体积为.故选：A21某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（）ABCD【答案】C【分析】利用台体的体积公式直接计算即可【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，故该香料收纳罐的容积为故选：C22如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半径为R，圆柱体的高为h，若要保持圆柱体的容积为定值立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最省（温馨提示：即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小），此时（）ABCD【答
15、案】C【分析】根据题意，先求出表面积的表达式，利用为定值求出与的关系，再利用基本不等式求解即可.【详解】依题意，所以，当时取等，所以，故.故选：C.23圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设球的体积为V，则圆柱的体积为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，结合球与圆柱的体积和表面积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设球的半径为R，圆柱底面圆的半径为r，对于球，表面积，对于圆柱，侧面积，因为圆柱的侧面积等于球的表面积，所以，得，则，又，所以.故选：A.球的表面积和体积24在正四棱台中，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意画出图形，由图
16、构造直角三角形，即可求得，由求得表面积公式求得球体的表面积.【详解】如图所示的正四棱台，取上下两个底面的中心，连接，过点作底面的垂线与相交于点，因为四棱台为正四棱台，所以外接球的球心一定在上，在上取一点为球心，连接，则，设，因为，所以，在中，即，在中，即，解得，所以，故选：A.25某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（）ABCD【答案】A【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式
17、即可求得结果.【详解】由题意可得，球心到截面圆所在的平面的距离，设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，所以，所以该球的体积为，故选：A26用与球心距离为的平面去截球，截面面积为，则球的体积为（）ABCD【答案】A【分析】根据截面面积求得截面半径r，进而求得球的半径R，再利用球的体积公式求解即可【详解】设截面半径r，球的半径R，截面与球心距离为，由题意得，截面面积，解得，因为，所以，所以球的体积故选：A27已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（）ABCD【答案】D【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的
18、半径为，为切点，设，即，由条件可知，在中，即，解得：，所以圆锥内切球的体积.故选：D多面体的表面积和体积28如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】D【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，则该几何体的表面积为.故选：D.29金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的如图所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它的表面积为（）A8BCD【答案】C【分析】求出一
19、个等边三角形的面积求解即可.【详解】根据题意，设等边三角形的高为，所以，所以每个边长为2等边三角形的面积为：，所以正八面体的表面积为：.故答案为：C.30如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，则该多面体的表面积为（）ABCD【答案】A【分析】先证明，结合梯形面积公式求得正确答案.【详解】由于，所以.依题意，均为正三角形，所以四边形和四边形是等腰梯形，两个等腰梯形的高为.所以多面体的表面积为：.故选：A31何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上
20、口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，）（）ABCD【答案】C【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.【详解】下端圆柱的体积为：，上端圆台的体积为：，所以该何尊的体积估计为.因为最接近，所以估计该何尊可以装酒.故选：C32如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若正方体的棱长为1，则该几何体的体积为（）ABCD【答案】D【分析】由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案【详解】由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是；正方体的体积为；则所求体积是故选：33西施壶是紫砂壶器众多款式
21、中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体球缺的体积（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，取3.14）（）A494mlB506mlC509mlD516ml【答案】A【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，依题意，为球心，为壶口所在圆的圆心，所以，因为，所以，且，所以球的半径，所以球缺的高，所以球缺的体积
22、，所以该壶壶身的容积约为：.故选：A.34盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）ABCD【答案】C【分析】棱长为8的正四面体放入正方体，使正方体面对角线长等于正四面体棱长，然后求出体积作答.【详解】依题意，要使棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，如图，正四面体的棱长为8cm，该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线，所以该正方体棱长为，盲盒内剩余空间的体积为.故选：C多选题和填
23、空题二、多选题35圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）ABCD【答案】BD【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm，高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm，高为4cm，两种情况分别由体积公式即可求解.【详解】侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，此时圆柱的体积若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，此时圆柱的体积故选：BD36如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A圆柱的侧面积为B圆锥的侧面积为C圆柱的侧面积与球面面积相等D三个
24、几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为，圆柱的侧面积为，所以AC选项正确圆锥的侧面积为，所以B选项正确圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，所以D选项不正确故选：ABC37正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A正三棱锥高为3B正三棱锥的斜高为C正三棱锥的体积为D正三棱锥的侧面积为【答案】ABD【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，故,故AB正确.而正三棱锥的
25、体积为，侧面积为，故C错误，D正确.故选：ABD.38有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）ABCD【答案】BCD【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：若平面，为边长为2的正三角形，都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积；若平面，为边长为2的正三角形，,，都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积；若为边长为2的正三角形，都是等腰直角三角形，满足题目条件，取中点，因为，而，所以，即有平面，故其体积为；故选：BCD39“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓九
26、章算术商功有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵其一为阳马，其一为鳖臑”意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）若长方体的体积为V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项不正确的是（）ABCD【答案】ACD【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积的数量关系，即可得答案.【详解】解：由题意，堑堵的体积，阳马的体积，鳖臑的体积，所以，即，所以，所以，ACD选项正确，B选项错误.故选：ACD40已知圆锥的表面积等于，其侧
27、面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（）A圆锥底面圆的半径为2cmB该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为C该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为D该圆锥的内切球的表面积为【答案】ABC【分析】利用圆锥的轴截面结合图形可求解.【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，依题意得，所以，根据圆锥的表面积为，解得cm,所以A正确;如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知，设 由相似关系得,即，解得，则内接圆柱的侧面积等于，当时侧面积最大，等于，所以B正确;内接圆柱的体积等于，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减,所
28、以当时圆柱体积最大，此时圆柱的高为，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为，所以C正确;设内切圆的圆心为 半径为，因为,即所以因为圆锥的内切球的半径等于 ，所以内切球的体积等于，所以D错误.故选:ABC.三、填空题41已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为_.【答案】【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：，则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为，则，解得：，由勾股定理得：，故圆锥的体积为.故答案为：.42已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩
29、大为原来的_倍.【答案】2【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的2倍.故答案为：243市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为，上底面半径为，高为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为_【答案】【分析】先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.【详解】圆台的体积 ，圆锥的体积 ，总体积为 ，故答案
30、为：.44一个正四棱锥的高为7，底面边长为10，若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为_【答案】#.【分析】根据正四棱锥的性质，结合球的性质进行求解即可.【详解】设该正四棱锥为，由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为，底面中心为，因为底面是正方形，所以，在直角三角形中，设球的半径为，所以有，故答案为：45设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为，若它们的侧面积相等，则的值是_.【答案】#【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.【详解】设甲的高为，乙的高为，由题意可得，所以，所以，故答案为：46如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表
31、面积约为_（精确到0.1，）【答案】【分析】根据所给数据算出答案即可.【详解】边长为10的正六边形的面积为所以表面积为故答案为：47如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体的体积为_【答案】【分析】由题意可知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，从而可求出体积【详解】由题知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，故体积为故
32、答案为：48无穷符号在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距，则该标志的体积为_.附：一个半径为的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为），球缺的体积公式为.【答案】【分析】作出大圆截图，利用弦心距、直角三角形得到两个球缺的高，再利用球的体积公式、球缺的体积公式进行求解.【详解】记两球面的交线为圆，其大圆截面如图所示，则，且，解得，且圆的半径为12，两球体的公共部分可看作两个球缺
33、，小球中的球缺高为，大球中的球缺高为，故.故答案为：.四、高考真题精选一、单选题1（2020天津统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径
34、；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.2（2021全国统考高考真题）正四棱台的上下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）ABCD【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.3（2
35、022全国统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】A【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为故选：A4（2022全国统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）ABCD【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即
36、可利用棱台的体积公式求出【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积棱台上底面积，下底面积，故选：C5（2021天津统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）ABCD【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，所以，则，所以，又因为，所以，所以，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.6（2022全
37、国统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则（）ABCD【答案】C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.7（2022天津统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（
38、）A23B24C26D27【答案】D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，因为，所以，因为重叠后的底面为正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，则,由可得平面，设重叠后的EG与交点为则则该几何体的体积为.故选：D.8（2022全国统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ABCD【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱
39、锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】方法一：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C方法二：统一变量基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C方法三：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥
40、为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，令，设，则，单调递增， ，单调递减，所以当时，最大，此时故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法二、多选题9（2022全国统考高考真题）如图，四边形为正方形，平面，记三棱锥，的体积分别为，则（）ABCD【答案】CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，则，连接交于点，连接，
41、易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，则，则，则，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.三、填空题10（2020山东统考高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是_.【答案】【分析】根据公式即可求解.【详解】解：球的体积为：,故答案为：11（2020江苏统考高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 _ cm3.【答案】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为： 【
42、点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.12（2020海南高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为_【答案】【分析】利用计算即可.【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以故答案为：【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.五、题型精练，巩固基础一、单选题1（2022内蒙古巴彦淖尔校考一模）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（）ABCD【答案】D【分析】先求得球的半径，再利用球的表面积公式即可求得该球的