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1、2021-2022学年第一学期期中考试高二年级 数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】利用直线的点斜式方程求解.【详解】解：因为直线的倾斜角，所以直线的斜率为1，又直线经过点，所以直线的方程为，即，故选：B2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】,故选：D3. 已知等差数列中，则（ ）A. 100B. 99C. 98D. 97【3题答
2、案】【答案】C【解析】【分析】根据条件先计算等差数列的通项公式，再代入计算得到答案.【详解】，解得 故，故选【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型.4. 已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程和焦点坐标可求得，进而可得离心率.【详解】由焦点坐标可知：，解得：，又，的离心率.故选：A.5. 圆与圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 内含D. 外切【5题答案】【答案】D【解析】【分析】由圆的方程得到两圆的圆心和半径，通过比较圆心距与半径关系即可判断.【详解】由题，圆的圆心为，半径为2；圆，即，所以圆心为，
3、半径为；所以两圆圆心距离为，所以两圆外切故选：D6. ，分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，结合三角形中位线定理、等边三角形的判定进行求解即可.【详解】如图所示：因为，分别是正方体的棱和的中点，所以，在正方体中，有，所以四边形是平行四边形，因此，因此是和所成的角，设该正方体的棱长为，因为，所以是等边三角形，因此，故选：C7. 点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ）A. B. 1C. D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减
4、去半径，然后求出最短距离即可【详解】解：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径所以点到直线的最短距离为故选：C8. 我国洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，.，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则A. 1020B. 1010C. 510D. 505【8题答案】【答案】D【解析】【详解】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共
5、有行，每行的和为，即，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则B. 直线l的方向向量， 平面的法向量是， 则C. 两个不同的平面的法向量分别是，则D. 直线的方向向量， 平面的法向量是，则【9题答案】【答案】AC【解析】【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，且，所以，选项A正确对于B，直
6、线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项B错误；对于C，两个不同的平面的法向量分别是，且，所以，选项C正确；对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，选项D错误故选 AC10. 已知曲线.（ ）A. 若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n0，则C是圆，其半径为C. 若mn0，则C是两条直线【10题答案】【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若
7、，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 记等差数列的前项和为.若，则（ ）A. B. C. 的最大值为30D. 的最大值为15【11题答案】【答案】ACD【解析】【分析】根据已知求出首项和公差，即可依次判断.【详解】设等差数列的公差为，则由题可得，解得，故A正确；，故B错误；当或4时，取得最大值为30，故C正确；由于，所以的最大值为，故D正确.故选：ACD.12. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直
8、观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ）A. 无解B. 的解为C. 的最小值为2D. 的最大值为2【12题答案】【答案】BC【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可【详解】解：，设，则，若，则，则的轨迹是以，为焦点的椭圆，此时，即，即椭圆方程为，当时，得，得，得，故A错误，B正确，关于对称点为，则，当三点共线时，最小，此时，无最大值，故C正确，D错误，故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 双曲线上一
9、点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于_.【13题答案】【答案】17【解析】【分析】根据双曲线的定义可求点与另一个焦点的距离.【详解】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.因为点与一个焦点的距离等于1，而，故点与该焦点同在轴的上方或下方，故点与另一个焦点的距离为，故答案：.14. 直线与间的距离为3，则_.【14题答案】【答案】或【解析】【分析】利用平行线间距离公式求解即可.【详解】由题，可知，所以两平行线间距离为，解得或，故答案为：或15. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量，表示，则=_【15题答案】【答案】【解析】【分析】利用空间向量
10、的线性运算直接求解【详解】由题意 =故答案为：16. 抛物线上的点到直线的距离最小值是_.【16题答案】【答案】【解析】【分析】设出抛物线上动点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可得结果.【详解】设抛物线一点为，该点到直线的距离为，当，即时，取得最小值为，故答案为：.四、解答题：共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知：的顶点，（1）求AB边上的中线CD所在直线的方程；（2）求的面积【17题答案】【答案】（1）；（2）11.【解析】【分析】（1）直接利用已知条件求出AB边上的中点，即可求直线的方程（2）利用所求出的直线方程利用分割法求出三角形的面积，或者求
11、出及直线AB的方程，可得点C到直线AB的距离，求出三角形的面积.【详解】（1）线段AB的中点D的坐标为，所以，由两点式方程可得，AB边上的中线CD所在直线的方程为，即（2）法1：因为，点A到直线CD的距离是，所以的面积是法2：因为，由两点式得直线AB的方程为：，点C到直线AB的距离是，所以的面积是【点睛】本题考查直线方程求法与点到直线距离公式应用，属于基础题.18. 已知等差数列前项和为，首项，公差为.（1）若，求通项公式和的最小值；（2）求证：，也成等差数列.【18题答案】【答案】（1），有最小值为 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式即可得到通项公式，结合等差数列前项
12、和公式及二次函数性质即可求得的最小值，需注意；（2）根据等差数列前项和公式分别求得，再利用等差中项的性质判断，三者关系即可证明.【小问1详解】因为，所以，所以，因为，所以当或时，的最小值为.【小问2详解】证明：由题，则，因为，所以，也成等差数列20. 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为.（1）求双曲线的标准方程；（2）抛物线的准线过双曲线的左顶点，斜率为1的直线过双曲线的右顶点且交抛物线于两点，求.【20题答案】【答案】（1） （2）24【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，再由求解；（2）易得双曲线的左、右顶点分别为和，从而得到抛物线方程和直线方程，再利用弦长公式求解.【小问1
13、详解】解：椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，即，依题得，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】双曲线的左、右顶点分别为和，所以，抛物线的方程为，直线的方程为，且过抛物线的焦点，联立消去得：，设，则22. 已知直线被圆截得的弦长为（1）求的值；（2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程【22题答案】【答案】（1）a =1；（2） 或.【解析】【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可（2）判断点与圆的位置关系，当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离求解即可；当过斜率不存在，判断直线与圆是否相切，推出结果【详解】（1）依题意可得圆心，半径，则圆心到
14、直线的距离，由勾股定理可知，代入化简得，解得或，又，所以；（2）由（1）知圆，又在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，切线方程为，当过斜率不存在，易知直线与圆相切，综合可知切线方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力23. 已知四边形ABCD是边长为2的正方形，PAB为等边三角形（如图1所示），PAB沿着AB折起到PAB的位置，且使平面PAB平面ABCD，M是棱AD的中点（如图2所示）（1）求证：PCBM；（2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值【23题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）
15、取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，可证OB、OE、OP两两垂直，从而建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的数量积为0可证PCBM；（2）求出直线的方向向量和法向量后可求线面角的正弦值，从而可求余弦值.【小问1详解】取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，因为ABCD是正方形，PAB为等边三角形，所以OEAB，POAB，又因为平面PAB平面ABCD，平面，平面平面，故平面，而平面，所以POOE，所以OB、OE、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，），C（1，2，0），B（1，0，0），M（1，1，0），所以，所以PCBM；【小问2详解】由（1）知，设平面PBM的法
16、向量为，故即，令，.则，设PC与平面PBM成角为，故，因为为锐角，故25. 已知直线与椭圆相交于，两点 （1）若椭圆的离心率为，焦距为，求椭圆的方程；（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为，求线段的长及的面积【25题答案】【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为，焦距为，建立方程求解参数从而求得椭圆的方程；（2）直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理可求得线段长度，求出点到直线的距离，即可求得的面积【详解】（1）椭圆的离心率为，焦距为，所以，得，所以，则椭圆的方程为；（2）联立方程组得设，则，所以由（1）知左焦点为，直线方程为，所以点到直线的距离为则的面积为【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题