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1、一、选择题1极坐标系中，若等边ABC的两个顶点、，那么顶点C的极坐标可能是（）ABCD【答案】A【解析】由于等边ABC的两个顶点、，则线段AB的中点为极点O，由等腰三角形三线合一的性质可得OCAB，且，因此，顶点C的极坐标可能是，故选A【点评】本题考查顶点的极坐标的求法，考查对称、中点坐标公式等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题二、解答题2在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线OP的极坐标方程为，若射线OP与曲线C的交点为A (异于点
2、O)，与直线l的交点为B，求线段AB的长【答案】（1）C：x2+y12=1，l：x+3y23=0；（2）1【解析】（1）由，可得，所以曲线C的普通方程为x2+y12=1，由，所以，所以直线l的直角坐标方程为x+3y23=0（2）曲线C的方程可化为x2+y22y=0，所以曲线C的极坐标方程为=2sin，由题意设，将代入=2sin，1=1；将代入，可得2=2，所以AB=12=1【点评】本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：1直角坐标系下的弦长公式AB=1+k2x1+x224x1x2或；2利用直线参数方程t的几何意义可知AB=t1t2；3极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长AB=123
3、在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0，2)，倾斜角为以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos22sin=0（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为AB中点，且满足|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l的斜率【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为x2=2y；（2）斜率为2【解析】（1）因为直线l过点P(0，2)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为 (t为参数)；因为，所以，所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y（2）将直线l的参数方程为 (t为参数)代入x2=2y，可得，设A，B所
4、对应的参数为t1，t2，所以，因为|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，所以，即，解得，故直线l的斜率为2【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题4在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (为参数)以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标【答案】（1）；C2：x+y2=0；（2）22
5、，【解析】（1）对于曲线C1有，所以C1的普通方程为对于曲线C2有，即C2的直角坐标方程为x+y2=0（2）联立，整理可得4x212x+9=0，=122449=0，所以椭圆C1与直线C2无公共点，设，点P到直线x+y2=0的距离为，当时，d取最大值为22，此时点P的坐标为【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的运算，以及点到直线距离公式的使用，属于中档题5在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (m为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于点P，求圆心在极轴上，且经过极点和
6、点P的圆的直角坐标方程【答案】（1）l:xy2=0，x2y2=8；（2）【解析】（1）曲线C的参数方程为 (m为参数)，两式平方相减得曲线C的普通方程为x2y2=8直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为xy2=0（2）由，得，所以点P的直角坐标为(3，1)，设圆心为，则a2=(a3)2+1，解得，所以，圆的直角坐标方程为【点评】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于cos=x，sin=y（2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；求圆的方程可根据圆心x0，y0和半径r，得出圆的方程6在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极
7、点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，设P1，3，求PAPB【答案】（1），；（2）【解析】（1）由，得，由，得，将x=cos，y=sin代入可得x+3y2=0（2）经检验P1，3在曲线C2上，则曲线C2的参数方程可写为（t为参数），代入曲线C1，得13t2+203t+12=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得，故【点评】本题解题的关键是理解直线参数方程中t的几何意义7在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系
8、，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C的交点为A，B（1）若，求AB；（2）设点P1，1，求的最小值【答案】（1）3；（2）【解析】（1）由曲线C的极坐标方程得32+2sin2=12，化为直角坐标方程为3x2+y2+y2=12，即3x2+4y2=12将直线l的参数方程代入其中，得当时，上述方程即4t2+8t5=0，解得，所以AB=t1t2=3（2）由根与系数的关系可知：，所以，其中，当时取等号，所以的最小值为【点评】直线参数方程的几何意义：（1）直线参数方程中参数t的几何意义是这样的：如果点A在定点P的上方，则点A对应的参数tA就表示点A到点P的距离|PA|，即tA=|PA|如果点B在定点P的
9、下方，则点B对应的参数tB就表示点B到点P的距离的相反数，即tB=|PB|（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上A，B两点间的距离|AB|，不管A，B两点在哪里，总有|AB|=|tAtB|8以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线，M是C1上的动点，点N在射线OM上且满足2ON=OM，设点N的轨迹为C2（1）写出曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为 (t为参数，)，曲线C2截直线l所得线段的中点坐标为，求的值【答案】（1）2=(sin+3cos)，；（2）【解析】（1）设N(，)，因为2ON=OM，可得M(2，)，代入满足C
10、1的方程，可得，即，两边同乘以并展开整理得2=(sin+3cos)，又由，所以C2的直角坐标方程为（2）将l的参数方程代入C2的直角坐标方程，整理得，可得，又由直线l的参数方程经过点，可得t1+t2=0，即，即tan=3，因为，所以【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题9以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知在极坐标系中曲线C是以点为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点O，极轴为x轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（1）写出l的普通方程及曲线C的极坐标方程；（2）判断l与C是否相交，若相交，设交点为P，Q两点，求线段PQ的长，若不相交，说明理由【答案】（1）l的普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为；（2）相交，长度为2【解析】（1）l的普通方程为y=x+1，由，曲线C圆心的直角坐标为，曲线C的直角坐标方程为，由x=cos，y=sin，得，所以曲线C的极坐标方程（2）曲线C圆心的直角坐标为，半径r=1，所以圆心到直线y=x+1的距离为，所以l与C是相交，PQ=2r2d2=2【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题