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1、考点十七 三角函数的图象和性质知识梳理1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1，11，1R单调性2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(k，k)(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0)(kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期222用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin
2、 x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)3. 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为2k，kZ，最小正周期均为2；正切函数也是周期函数，周期为k，kZ，最小正周期为典例剖析题型一 三角函数的定义域和值域例1函数y 的定义域为_.答案 (kZ) 解析 cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.变式训练 函数y的定义域为_.答案 解析 要使函数有意义，必须有sin xcos x0，即sin xcos x，同一坐标系中作出y
3、sin x，ycos x，x0，2的图象如图所示结合图象及正、余弦函数的周期是2知，函数的定义域为.例2(1) 函数y2sinx的值域是_(2) 函数f(x)sin在区间上的最小值为_.答案 (1) 1，2 (2) 解析 (1) 根据正弦函数图象，可知x时，函数取到最小值1；x时，函数取到最大值2.(2) x，2x，令y2x，则sinsin y在y上的最小值为sin.变式训练 求函数ycos2xsin x的最大值与最小值解析 令tsin x，|x|，t.yt2t12，当t时，ymax，当t时，ymin.函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.解题要点 1三角函数定义域的求法求三角函数定
4、义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，通过换元，令tsin x(或tcos x)，转换成二次函数求值域；(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系通过换元，令t=sin x+cos x,转换成二次函数求值域题型二 三角函数的单调性例3(1)函数ycos的单调减区间为_(2) 函数f(x)tan的单调递增区间是_答案 (1) (kZ) (2) (kZ)解析(1)由ycos
5、cos，得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)(2) 由k2xk(kZ)，得x0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)的两个相邻零点之间的距离为，则的值为_答案 12解析 T，123. 函数y的定义域为_答案 ，kZ解析 cosx0，得cosx，2kx2k，kZ.4ysin(x)的图象的一个对称中心是_答案 (，0)解析 令xk，kZ得xk，kZ，于是(，0)是ysin(x)的图象的一个对称中心.5函数f(x)cos(2x)(xR)，下面结论不正确的是_(填序号) 函数f(x)的最小正周期为 函数f(x)的对称中心是(，0) 函数f(x
6、)的图象关于直线x对称 函数f(x)是偶函数答案 解析 f(x)cos(2x)sin2x(xR)，最小正周期T，选项正确；由2xk得x，kZ，函数f(x)的对称中心为(，0)，取k1得选项正确；由2xk得x，kZ，取k0得函数f(x)的对称轴为x，选项正确；f(x)sin2x(xR)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，选项不正确课后作业一、 填空题1若函数f(x)sin(0,2) 是偶函数，则_答案 解析 f(x)为偶函数，关于y轴对称，x0为其对称轴k，令x0，3k，当k0时，2如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为_答案 解析 由题意得3cos3cos3cos0
7、，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.3函数ycos 2x，周期为_，且在上是_（填“增函数”或“减函数”）答案 ，减函数解析 因为ycos 2x的周期T，而2x0，所以ycos 2x在上为减函数.4函数f(x)tan的单调递增区间是_答案 (kZ)解析 由k2xk(kZ)得，x(kZ)，所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kZ).5已知0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则_答案 解析 由题意得周期T22，2，即1，f(x)sin(x)，fsin1，fsin1.0，.6函数f(x)sin在区间上的最小值为_答案 解析 由已知x，得2x，所以sin，
8、故函数f(x)sin在区间上的最小值为.7(2015四川文)下列函数中，最小正周期为的奇函数是_(填序号)ysin ycos ysin 2xcos 2x ysin xcos x答案解析项，ysincos 2x，最小正周期为，且为偶函数，不符合题意；项，ycossin 2x，最小正周期为，且为奇函数，符合题意；项，ysin 2xcos 2xsin，最小正周期为，为非奇非偶函数，不符合题意；项，ysin xcos xsin，最小正周期为2，为非奇非偶函数，不符合题意8函数f(x)3sin在区间上的值域为_答案 解析 当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.9函数y3sin(2
9、x)的最小正周期为_答案 解析 T.10函数f(x)cos(2x)3在，上的单调递减区间为_答案 ，解析 由2k2x2k得kxk，kZ.x，取k0得f(x)在，上的单调递减区间为，；取k1得f(x)在，上的单调递减区间为，f(x)在，上的单调递减区间为，和，11函数ysin(x)的对称中心为_答案 (k，0)，kZ二、解答题12已知函数f(x)4cosxsin(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解析 (1)f(x)4cosxsin2sinxcosx2cos2x(sin2xcos2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减13(2015北京文)已知函数f(x)sin x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值解(1)因为f(x)sin xcos x.2sin.所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x时，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间上的最小值为f.