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1、考点八 对数与对数函数知识梳理1对数的概念如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫作对数的底数，N叫作真数(1) 对数式与指数式的互化：abN logaNb；(2) 负数和零没有对数；(3) loga10，logaa12. 两个重要对数(1)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：lg N，常用的两个恒等式：lg101，lg2lg51(2)自然对数：以无理数e2.71828为底的对数叫自然对数，记作：ln N，常用的两个恒等式：ln e1 ，ln13对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga
2、(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR).(2) 对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.N；logaaNN (a0且a1)logamMnlogaM.4对数函数的图象与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数典例剖析题型一 对数的概念例1(1)方程log2(3x1)=3的解是 (2) 已知log3(log2x)=0，那么等于答案 (1)3 (2) 解析 (1)log2(3x1)=33x1=23=8，解得x=
3、3故答案为：x=3(2) log3(log2x)=0，log2x=1，x=2，故答案为：变式训练 已知，则_.答案 解析由得，所以，解得，故答案为.题型二 对数化简与求值例2(1)= _.(2) 2log32log3log38答案(1)3； (2) 1解析(1)原式= (2) 原式log34log3log383log3(48)3log393231变式训练 (1)lg2lg 21_.(2) (log32log92)(log43log83) _.答案(1)1； (2) .解析(1)lg 2lg 21lg lg 222lg 2121(2) 原式.解题要点 对数运算中熟练地运用对数的三个运算性质并结合
4、对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧另外要熟记常见的恒等式：lg 5lg 21，logambnlogab，logab.题型三 对数值的大小比较例3比较下列各组数的大小(1)log3与log5；(2)log1.10.7与log1.20.7.解析 (1)log3log310，而log5log510，log3log5.(2)00.71，1.11.2，0log0.71.1log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.变式训练 已知a，blog2，clog，则a、b、c 的大小关系是_答案cab解析 0a201，blog2log1，即0a1，b1，所以cab.
5、解题要点 对数值比较大小，先看底数是否相同，若底数相同，则根据底数大于1还是小于1，借助对数函数的单调性比较大小；若底数不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.题型四 对数函数的图象和性质例4函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是_ 答案解析由函数f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为R.又当x1时，函数单调递增，所以只有选项正确变式训练 函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_答案 (，1)(1，)解析 作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示
6、)由图知，函数ylog2|x1|的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)解题要点 对数函数的图象一定要分底数大于1还是小于1，若底数大于1，则对数函数ylogax图象是上升的，若底数小于1，则图象是下降的.在求解对数函数单调区间时，特别要注意的是，不可忽视定义域当堂练习1函数f(x)的定义域是_.答案 (0,2解析 由题意得得01时，f(x)ln(x1)，又f(x)的图象关于x1对称，故选.5log3log3_.答案 解析 原式log33.课后作业一、 填空题1 2lg2lg的值为_答案2解析2lg2lglg(22)lg1002.2(2014年天津卷)设alog2，blog，c2，则a
7、、b、c的大小关系是_答案 acb解析 alog21，blog0,0c1bc0的限制t43xx2的单调递减区间为，)，当x4时，t0，所以区间，4)符合题意7 (2015湖南理)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是_ 奇函数，且在(0,1)上是增函数 奇函数，且在(0,1)上是减函数 偶函数，且在(0,1)上是增函数 偶函数，且在(0,1)上是减函数答案解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)lnln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选.8已知0ab1n解析 0ab1c，logca
8、logcb，即logaclogbc，mn.9 （2015四川文）lg 0.01log216的值是_答案2解析lg 0.01log216lg log224242.10函数f(x)ln(x1)的定义域是_答案 解析 由，得1x2，故填.11 （2015安徽文）lg2lg 21_.答案1解析lg 2lg 21lg lg 222lg 2121.二、解答题12求下列各式的值.(1)；(2).解析 (1)原式. (2)原式 .13已知函数(1)若m1，求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)在区间上是增函数，求实数m的取值范围解析 (1)若m1，则要使函数有意义，需x2x10，解得x若m1，函数f(x)的定义域为(2)若函数f(x)在区间上是增函数，则yx2mxm在区间上是减函数且x2mxm0在区间上恒成立，且，即m22且m2.m.