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1、大联考雅礼中学大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（三）数 学届高三月考试卷（三）数 学得分：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 8 页时量 120 分钟，满分 150分第卷第卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数1 iz （i为虚数单位），z是 z 的共轭复数，则1z的值为A1B22C12D22设全集UR，22Ax yxx，2,xBy yxR，则UAB A0 x x B01xxC12xxD2x x 3已知
2、向量a，b满足7ab，3a，4b，则abA5B3C2D14我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了 1 和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723，633，在不超过 25 的素数中，随机选取 2 个不同的数，则这 2 个数恰好含有这组数的中位数的概率是A14B13C29D385若函数 32132xaf xxx在区间1,32上有极值点，则实数 a 的取值范围是A52,2B52,2C102,3D102,36已知3log 2a，ln3ln4b，23c 则 a，b，c 的大小关系是AabcBacbCca
3、bDbac7已知tantan3，sin2sinsin，则tanA6B32C6D48已知函数 32sin4xf xxxx的零点分别为1x，2x，nx，*nN），则22212nxxxA12B14C0D2二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知随机变量 X 服从正态分布2100,10N，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布2,N，则0.6
4、827P，220.9545P，330.9973P）A100E X B10D X C900.84135P XD12090P XP X10下列说法正确的是A若不等式220axxc的解集为12x xx 或，则2acB若命题 p：0,x，1lnxx，则 p 的否定为：0,x，1lnxx C在ABC 中，“sincossincosAABB”是“AB”的充要条件D若2320mxxm对0,1m恒成立，则实数 x 的取值范围为2,111已知函数 sin4f xAx（0A，0，08）的部分图象如图所示，若将函数 f x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再将所得图象向右平移6个单位长度，可得函数
5、 g x的图象，则下列说法正确的是A函数 f x的解析式为 12sin26f xxB函数 g x的解析式为 2sin 26g xxC函数 f x图象的一条对称轴是3x D函数 g x在区间4,3上单调递增12已知三棱锥 P-ABC 内接于球 O，PA平面 ABC，8PA，ABAC，4ABAC，点 D 为 AB 的中点，点 Q 在三棱锥 P-ABC 表面上运动，且4PQ，已知在弧度制下锐角，满足：4cos5，2 5cos5，则下列结论正确的是A过点 D 作球的截面，截面的面积最小为4B过点 D 作球的截面，截面的面积最大为24C点 Q 的轨迹长为44D点 Q 的轨迹长为48第卷第卷三、填空题：本
6、题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13数据 2，4，6，8，10，12，13，15，16，18 的第 70 百分位数为14已知 F 是双曲线221412xy的左焦点，1,4A，P 是双曲线右支上的一动点，则PFPA的最小值为15若51nxx的展开式中第 4 项是常数项，则7n除以 9 的余数为16已知函数 f x的定义域为0,，且 221,0,1log3,1,222,2,xxf xxxf xx，函数 122xg xf x在区间0,a内的所有零点为ix（1i，2，3，n）若116niix，则实数 a 的取值范围是四、解答题：本题共四、解答题：本题共
7、 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）半径为 R 的圆内接ABC，3ABR，ACB 为锐角（1）求ACB 的大小；（2 若ACB 的平分线交 AB 于点 D，2CD，2ADDB，求ABC 的面积18（本小题满分 12 分）已知数列 na是首项为正数的等差数列，数列11nnaa的前 n 项和为21nn（1）求数列 na的通项公式；（2）设1 2nannba，求数列 nb的前 n 项和nT19（本小题满分 12 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，
8、ABCD，E，F 分别为 AB，CD 的中点，224CDABEF，M 为 DF的中点现将四边形 BEFC 沿 EF 折起，使平面 BEFC平面 AEFD，得到如图所示的多面体在图中，图图（1）证明：EFMC；（2）求平面 MAB 与平面 DAB 夹角的余弦值20（本小题满分 12 分）已知函数 2ln xxf x（1）讨论函数 yfxx零点的个数；（2）是否存在正实数 k，使得 f xkx恒成立21（本小题满分 12 分）某梯级共 20 级，某人上梯级（从 0 级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第 n 级的概率为nP（1）求他上到第 10
9、 级的概率10P（结果用指数形式表示）；（2）若他上到第 5 级时，求他所用的步数 X 的分布列和数学期望22（本小题满分 12 分）已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的离心率为22，其左、右焦点分别为1F，2F，点 P 是坐标平面内一点，且1273,24OPPF PF （O 为坐标原点）（1）求椭圆 C 的方程；（2 过点10,3S且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标和MAB 面积的最大值；若不存在，说明理由大联考雅礼中学大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（三）届高三月考试
10、卷（三）数学参考答案数学参考答案一、二、选择题一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2D【解析】易知02Axx，0By y，02UAx xx或，故2UABx x故选 D3D【解析】由条件abab知a，b同向共线，所以1abab，故选 D4C【解析】不超过 25 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23 共 9 个，中位数为 11，任取两个数含有 1l 的概率为182982369CpC，故选 C5C【解析】由题意 21fxxax在区间1,32上有零点，1axx，1,32x，1023a，又当2a 时，210fxx，f x单调，不符合，
11、2a，1023a，故选C6B【解析】233333332log 3log9log8log 23ca，ca，又233442log 4log163c 344ln3log27log 3ln4b，cb，acb故选 B7A【解析】由条件知coscos0，sincoscossin2sinsin，两边同除以coscos得：tantan2tantan，3tantan2，从而tantantan61tantan，故选 A8A【解析】由 210sin04f xx xxx，0 x 为其中一个零点，令 21sin4g xxxx，00g，令 2140sinxg xxx，1sin1x 2141xx，214xx，2102x，1
12、2x ，所以 f x）共有三个零点12，0，12，2221212nxxx，故选 A9AC【解析】随机变量 X 服从正态分布2100,10N，正态曲线关于直线100X 对称，且100E X，210100D X，从而 A 正确，B 错误，根据题意可得，901100.6827PX，801200.9545PX，1900.50.68270.841352P X，故 C 正确；120P X 与90P X 不关于直线100X 对称，故 D 错误故选 AC10AD【解析】对于 A，不等式220axxc解集为12x xx 或，则方程220axxc的两根为1，2，故212aca，则2a ，4c，所以2ac，故 A
13、正确；对于 B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故 B 不正确；对于 C，sincossincos2sinAABBAcos2sincossin2sin2ABBAB，又0222AB，所以2AB或AB，显然不是充要条件，故 C 错误；对于 D，令 223f mxmx，则 0f m，对0,1m恒成立，则 20301320fxfxx，解得21x ，故 D 正确，故选 AD11ABD【解析】由图知，2A，4T，24T，得12故 12sin42f xx点0,1在函数图象上，2sin41，即1sin42又08，042，46故函数 f x的解析式为 12sin26f xx
14、，故 A 正确；将 f x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，可得2sin 26yx的图象，再将所得图象向右平移6个单位长度，可得 2sin 22sin 2666g xxx的图象，故 B 正确；当3x 时，2sin003f，不是最值，故直线3x 不是 f x图象的一条对称轴，故 C 不正确；当4,3x时，22,2662x，则 2sin 26g xx在4,3还上单调递增，故 D正确，故选 ABD12ABD【解 析】三 棱 锥 P-ABC 的 外 接 球 即 为 以 AB，AC，AP 为 邻 边 的 长 方 体 的 外 接 球，22228444 6R，2 6R，取 BC 的中点1O
15、，1O为ABC 的外接圆圆心，1OO 平面 ABC，如图当 OD截面时，截面的面积最小，222211422 5ODOOO D，此时截面圆的半径为222rROD，最小截面面积为24r，A 对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为224R，B 对；由条件可得BPC，BPACPA，则点 Q 的轨迹分别是以点 P 为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为，两段弧圆心角为，弧长为2448，D 对故选ABD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分1314【解析】因为70107100为整数，所以第 70 百分位数为第 7 个数 13 和第 8 个数
16、15 的平均值 14149【解析】因为 F 是双曲线221412xy的左焦点，所以4,0F，设其右焦点为4,0H，则由双曲线定义得222244 104459PFPAaPHPAaAH151【解析】由题知，55111rn rn rrrrrrnnTCxC xx，因第 4 项为常数项，所以当3r 时，3305n，所以18n，则1818792，而6186289 1，1 除 9 的余数为 1，所以7n被 9 除余 1167,9【解析】函数 122xg xf x的零点转化为 yf x与122xy的交点的横坐标，作出函数 f x和122xy（0 x）的图象可知，11x，23x，35x，47x，若116niix
17、，则4n，所以实数a 的取值范围为7,9四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解析】（1）由正弦定理32sinsin2ABRCC，又角 C 为锐角，所以3C（2）CD 为ACB 的平分线，2ADDB，2ba，又ACDBCDABCSSS，1112sin2sinsin262623baa b ，则有23322aa，3a，13 3sin232ABCSab18【解析】（1）设数列 na的公差为 d，令1n，得12113a a，所以123a
18、a 令2n，得12231125a aa a，所以2315a a 解得11a，2d，所以21nan（2）由（1）知21224nnnbnn，所以121 42 44nnTn ，所以23141 42 44nnTn ，两式相减，得12134444nnnTn 114 1 41 34441 433nnnnn 所以11431 43144999nnnnnT19【解析】（1）证明：由题意，可知在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，E，F 分别为 AB，CD 的中点，EFCD折叠后，EFDF，EFCFDFCFF，DF，CF 平面 DCF，EF平面 DCF又MC 平面 DCF，EFMC（2）平面 BEFC平面 AEFD
19、，平面BEFC 平面AEFDEF，且平面 DFEF，DF 平面 AEFD，DF平面 BEFC，又CF 平面 BEFC，DFCF，DF，CF，EF 两两垂直以 F 为坐标原点，分别以 FD，FC，EF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 F-xyz由题意知1DMFM1,0,0M，2,0,0D，1,0,2A，0,1,2B0,0,2MA，1,1,0AB ，1,0,2DA 设平面 MAB，平面 ABD 的法向量分别为111,mx y z，222,nxyz，由00MA mAB m 得111200zxy，取11x，则1,1,0m 为平面 MAB 的一个法向量由00DA nAB n
20、 得2222200 xzxy，取22x，则2,2,1n 为平面 ABD 的一个法向量222 2cos,323m nm nm n ，平面 MAB 与平面 DAB 夹角的余弦值2 2320【解析】（1）设 g xf xx，则 22217122410 xgxxxx ，可知 g x在0,上单调递减，又 110g，2ln2 10g，所以方程 0g x 有且仅有一个根，即函数 yf xx有且只有 1 个零点（2）令 f xkx得2ln xkxx（0 x），即22ln xkxx（0 x）设 22ln xh xxx，0,x，则 32341 ln1ln4xhxxxxxxx，设 ln4H xxxx，0,x，则 3
21、H xhxx，因为 1 ln1lnHxxx ，当01x时，ln0Hxx，当1x 时，ln0Hxx，所以函数 H x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max 11 0430H xH ，则 30H xhxx恒成立，所以函数 h x在0,上单调递减，又x ，0h x，所以不可能存在正实数 k，使得 22ln xh xkxx恒成立21【解析】（1）由条件知113P，22217339P，且121233nnnPPP（2n）所以112212221333nnnnPPPPPP，所以1323535nnPP，又134515P ，13425153nnP ，223535nnP 1010223535P（2）由（
22、1）知此人上到第 5 级的概率为55223133535243P，X 的可能取值为 3，4，52131 21083 33133133243CP X，3142 1243 34133133243CP X，15133P X 所以 X 的分布列为X345P108133241331133所以108241425345133133133133E X 22【解析】（1）设00,P xy，1,0Fc，2,0Fc，则由72OP；得220074xy，由1234PF PF 得 00003,4cxycxy，即2220034xyc所以1c 又因为22ca，所以22a，21b 因此所求椭圆 C 的方程为2212xy（2）设动
23、直线 l 的方程为：13ykx，由221312ykxxy得2241621039kxkx设11,A x y，22,B xy则12243 21kxxk，122169 21x xk 假设在 y 上存在定点0,Mm，满足题设，则11,MAx ym，22,MBxym21212121212MA MBx xymymx xy ym yym 支联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）山字数得分：本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共8页时量120 分钟，满分 150 分第I卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选坤、ji牛项中，只有一项是符合题目要求的1已
24、知复数z=l-i(i为虚数单位，王是z的共扼复数，则性的值为c d2RUD.J22.设全集U=R,A=xly=/2x=x勺，B=y I y=2.r,x酌，则C uA)D.xlx2门B=A.xlxOB.xlOx1C.xi lx23.已知向量a,b满足bl=7,lal=3,lbl=4则la-bl=D.14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了 1 和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如 30=7十23,6=3+3，在不超过 25 的素数中，随机选取 2 个不同的数，则这 2个数恰好含有A.1c.2B.3A.5国将wmw厅宝都布悔mq棋时部崽D专c.f这组数的中位数的概率是B.fA士5 若函数f(x）号一？五十汁1 在区间（-!-,3）上有极值点，贝lj实数 的D.2号）c.(2号）取值范围是A.（咛）以非In 3 2 6.已知lo2,b一c一则a,b,c的大小关系是5J In 43J？Ja B.acbD.bcAabc C.cb