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1、学科网（北京）股份有限公司保密启用前准考证号_姓名_（在此卷上答题无效）20232024 学年高中毕业班第一学期期中考试数学试题学年高中毕业班第一学期期中考试数学试题2023.11一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1图中的阴影部分表示的集合为（）AABCB UABC C UABCD UABC2若1Z，2Z为复数，则“12ZZ是纯虚数”是“1Z，2Z互为共轭复数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3函
2、数 21 cos1xf xxe的部分图象为（）ABCD4故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为 75，冬至前后正午太阳高度角约为 30，图 1 是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图 2 是其示意图，则其出檐 AB 的长度（单位：米）约为（）福建省百校联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题含答案学科网（北京）股份有限公司A3B4C631D3315已知数列 na满足1112nnnnna aaa，且21a ，若816kaa，则正整数 k 为（）A13B12
3、C11D106如图，AB 是圆 O 的一条直径，且4AB C，D 是圆 O 上的任意两点，2CD 点 P 在线段 CD 上，则PA PB 的取值范围是（）A1,2B3,2C3,4D1,07已知直线56x，43x 是函数 4sin06f xx图像相邻的两条对称轴，将 f x的图像向右平移6个单位长度后，得到函数 g x的图像若 g x在,m m上恰有三个不同的零点，则实数 m的取值范围为（）A7 11,1212B7 13,1212C5 13,1212D5 11,12128已知0.11ae，1.11.1b，1.11c，则（）AabcBacbCbacDbca二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4
4、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9设正实数 a，b 满足2ab，则下列说法正确的是（）A2bab的最小值为 3Bab 的最大值为 1Cab的最小值为 2D22ab的最小值为 210函数 2sin,2f xx的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 f x的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则（）学科网（北京）股份有限公司A函数 f x在3,2上单调递增B圆的半径为2
5、 73C函数 f x的图象关于点2,03成中心对称D函数 f x在2021 2023,1212上单调递减11如图，在长方体1111ABCDABC D，1224ADABAA，E，F 分别是棱 AD，11BC的中点，点 P在侧面11A ADD内，且,BPxBEyBF x yR ，则三棱锥1PBB F外接球表面积的取值可能是（）A10B20C12D4412已知数列 na满足11a，12ln11nnnaaa，则下列说法正确的有（）A31225aaaB2211nnnaaaC若2n，则131141niiaD1ln121 ln2nniia三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
6、，共分，共 20 分分13已知3sin63，且,4 4，则sin3_学科网（北京）股份有限公司14已知非零向量a，b满足3,1b，,3a b，若aba，则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为_15 已知数列 na满足122222nnaaan nNL，214nnbann，若数列 nb为单调递增数列，则的取值范围为_16法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”在 ABC 中，60A，以 AB，BC，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O，2O，3O，则13O AO_；若123O
7、O O的面积为3，则三角形中ABAC的最大值为_四、解答题：共四、解答题：共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数 3sin 2cos 22xxf x，将 f x的图象向左平移3个单位长度，所得函数的图象关于 y 轴对称（1）求函数 f x的解析式；（2）若关于 x 的方程 f xa在5,6 12上恰有两个实数根，求实数 a 的取值范围18已知函数 ln1xaaf xxR（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若2a ，是否存在整数m mN，都有 1f xm x恒成立，若存在求出实数 m 的最小值，若不存在说明理由19设数列 na前
8、n 项和nS满足21nnnSann，nN（1）证明：数列11nSn为等比数列；（2）记111nnSbn，求数列111nnnbbb的前 n 项和nT20如图，在四棱锥PABCD中，PAD 为等边三角形，M 为 PA 的中点，PDAB，平面PAD 平面学科网（北京）股份有限公司ABCD（1）证明：平面CDM 平面 PAB；（2）若/AD BC，24ADBC，2AB，直线 PB 与平面 MCD 所成角的正弦值为3 3434，求三棱锥PMCD的体积21如图，在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC，该曲线段是函数sin0,0,0,yAxA，4,0 x 的图像，图像的最
9、高点为1,2B 边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD，且/CD EF，游乐场的后一部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 DE（1）求曲线段 FGBC 的函数表达式；（2）曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1 千米，现准备从入口 G 修一条笔直的景观路到 O，求景观路 GO 长；（3）如图，在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ，平行四边形的一边在海岸线 EF 上，一边在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上，且POE，求平行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时的值22已知函数 sincosf xxxx（1）求 f x在,x 的单调
10、区间与最值；（2）当13a 时，若 212g xf xax，证明：g x有且仅有两个零点2023 年年2024 学年高中毕业班第一学期期中考试学年高中毕业班第一学期期中考试数学评分参考标准数学评分参考标准一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是学科网（北京）股份有限公司符合题目要求的符合题目要求的12345678BDCCBDAA二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全
11、部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9101112ABDCDBCDBCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分1363143 1,44153,81623，4四、解答题：共四、解答题：共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（1）3sin 2cos 22sin 26f xxxx，将函数 f x的图象向左平移3个单位长度后，所得函数为52sin 22sin 2366yx
12、x，562k，kZ，3k，kZ又2，3，2sin 26f xx（2）5,6 12x，22,663x，当2662x，即63x时，f x单调递增；当22263x，即5312x时，f x单调递减且23f，16f，5312f方程 f xa在 5,6 12上恰有两个实数根，32a，实数 a 的取值范围为3,218解：（1）0 x，1fxax，学科网（北京）股份有限公司当0a，0fx，f x在0,单调递增，当0a 时，1 axfxx，令 0fx，得1xa，0fx得1xa，f x在10,a单调递增，在1,a单调递减综上，0a 时，f x在0,单调递增；当0a 时，f x在10,a单调递增，在1,a单调递减（
13、2）2a ，ln21f xxx，ln211xxm x，ln211xxmx，令 ln211xxg xx，212ln1xxgxx，令 12lnu xxx，2110uxxx，u x在0,单调递减 2222112ln220u eeee 3333112ln230u eeee，230,xe e，使得00ux，即0012ln0 xx，0012ln xx，当00,xx，0u x，0gx，g x单调递增，当0,xx，0u x，0gx，g x单调递减，02000000max00000123ln2123112111xxxxxxg xg xxxxxx，230,xe e，010,1x，3m，m 的最小值为 319（1）
14、证明：21nnnSann，且12nnnaSSn，学科网（北京）股份有限公司121221nnSSnnn，111221nnSSnnn，1111212nnSnnSn，令1n，可得10S，11122S ，所以数列11nSn是首项为12，公比为12的等比数列（2）由（1）可得111111222nnnSn ，11112nnnSbn，2nnb，1112111121212121nnnnnnnnbbb，1111111111111337715212121nnnnT L20【解析】（1）取 AD 中点为 N，连接 PN，因为 PAD 为等边三角形，所以PNAD，且平面PAD 平面 ABCD，平面PAD平面ABCDA
15、D，PN 面 PAD，所以PN 平面 ABCD，又AB 平面 ABCD，所以PNAB，又因为PDAB，PNPDP，PN，PD 平面 PAD，所以AB 平面 PAD，又因为DM 平面 PAD，所以ABDM，因为 M 为 AP 中点，所以DMPA，且PAABA，PA，PB 平面 PAD，所以DM 平面 PAB，且DM 平面 CDM，所以平面CDM 平面 PAB（2）由（1）可知，PNAB且PDAB，PNPDP，所以AB 平面 PAD，且AD 平面 PAD，所以ABAD，学科网（北京）股份有限公司以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD 所在直线为 x，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设22ADa
16、 a，则可得0,0,0A，2,0,0B，0,3Paa，30,22aaM，2,0Ca，0,2,0Da，即2,3PBaa，2,0DCa，330,22DMaa，设平面 MCD 的法向量为,nx y z，则2033022DC nxayDM nayaz 则可得23axyzy，取2y，则xa，2 3z，所以平面 MCD 的一个法向量为,2,2 3na，设直线 PB 与平面 MCD 所成角为，所以2263sincos,344416PB naPB nPB naa ，解得216a，或21a，即4a（舍去）或 1，所以2AD，11131323323P MCDPMDVSAB 21解：（1）由已知条件，得2A，又34
17、T，212T，6又当1x 时，有2sin26y，23，学科网（北京）股份有限公司曲线段 FBC 的解析式为22sin63yx，4,0 x（2）由22sin163yx得614kxkk Z，又4,0 x，0k，3x ，3,1G，10OG，景观路 GO 长为10千米（3）如图，3OC，1CD，2OD，6COD，作1PPx轴于1P点，在1RtOPP中，1sin2sinPPOP，在OMP中，sin120sin 60OPOM，sin 6042 3sin 602cossinsin12033OPOM，12 32cossin2sin3OMPQSOM PP平行四边形24 32 32 34sincossin2sin
18、2cos23334 32 3sin 2363，0,3当262时，即6时，平行四边形面积最大值为2 3322解：（1）sincossincos0fxxxxxxx，解得2x 或 0 或2，f x与 fx的分布列如下：x,22,0200,22,21极大值极小值1极大值1学科网（北京）股份有限公司22所以，f x的增区间为：,2，0,2，减区间为：,02，,2，f x的最大值为2，最小值为1（2）g x的定义域为 R，21sincos2gxxxxxag x，所以 g x为偶函数 010g，当13a 时，g x有且仅有两个零点当13a 时，g x在0,上有且仅有一个零点 cosxxxag，当1a 时，若
19、0 x，则 0gx，所以 g x在0,上单调递减，21102ga ，g x在0,上有且仅有一个零点；当113a时，存在0,2，使得cosa，当0 x时，0gx，当2 2 2kxkkN时，0gx，当2 22 2kxkkN时，0gx，所以，g x在0,递增，在2,2 2kkkN上递减，在2 2,2 2kkkN上单调递增，21tan1a，113a，可得0tan2 2，当kN时，2 2tan2 2k，所以，2112 22 2tan122gkka 2132 2tan162k 学科网（北京）股份有限公司22 2tan1006k 所以，g x在0,上有且仅有一个零点，综上，当13a 时，g x有且仅有两个零点