《湖北省华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高三上学期11月期中物数学试卷含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高三上学期11月期中物数学试卷含答案.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、华中师大一附中华中师大一附中 2023-2024 学年度上学期高三期中检测数学试题学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：试卷满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟一分钟一单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z +zi =2，则z +i 的模为（）A.1B.2C.5D.52 已知集合224,Z log3xAxBxx，则RAB（）A.0,2B.0,2C.1,2D.1,23.在ABC中，“6A”是“
2、1sin2A”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数 sin(0)f xx的图象的一部分如图 1，则图 2 中的函数图像对应的函数是（）A.122yfxB.122xyfC.12xyfD.21yfx5.在边长为 2 的正六边形ABCDEF中，AC BF （）A.6B.-6C.3D.-3.6.在声学中，音量被定义为：020lgppLp，其中pL是音量（单位为 dB），0P是基准声压为52 10 Pa，P 是实际声音压强.人耳能听到最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中 240Hz对应的
3、听觉下限阈值为 20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为 0dB，则下列结论正确的是（）A.音量同为 20dB的声音，30100Hz的低频比 100010000Hz的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为 0.002Pa.D.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为 1000Hz的听觉下限阈值实际声压的 10 倍.7.若实数,a b c满足lnsin1aeabbcc，则,a b c的大小关系为（）A.acbB.abcC.cabD.bac8.已知函数 sin3cos(0)f xxx在区间,6 2上恰有两个极值点，且062ff，则的值可
4、以是（）A.6B.7C.8D.9二二多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数 f x及其导函数 fx的部分图象如图所示，设函数 xf xg x e，则 g x（）的A.在区间,a b上是减函数B.在区间,a b上是增函数C.xa时取极小值D.在xb时取极小值10.已知0,0,abab，且2ab，则（）A.112abB.22112abC.2
5、22abD.22loglog2ab11.若函数 sin costanf xxax在区间0,n有 2024 个零点，则整数n可以是（）A.2022B.2023C.2024D.202512.已知定义在R上函数 yf x图象上任意一点,x y均满足20132013sinsineeeeyxxx yx，且对任意0,x，都有21eln0 xf xaf x x恒成立，则下列说法正确的是（）A.2023sinf xxxB.f x是奇函数C.f x是增函数D.1ea三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分13.若直线yxa与曲线1e1xyb相切，则ab_.
6、14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为_.在的15.一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为 3 和 4，设 0 点为 0 时刻，则OAB的面积S关于时间t（单位：时）的函数解析式为_，一昼夜内（即0,24t时），S取得最大值
7、的次数为_.16.如图，在四边形ABCD中，,4,2120ADCD BDADCABC，则ABC面积的最大值为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知 2sin sin3f xxx（1）求 f x的单调递增区间与对称中心；（2）当0,xa时，f x的取值范围为30,2，求实数a的取值范围.18.记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2 sin6bcaC.（1）求 A 的值；（2）若BAC的平分线与BC交于点,2 3D AD，求ABC面积的最小值.19
8、.已知函数 3log(0af xxx a且1)a，（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数 f x有最大值122log333a，求实数a的值.20.某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中ACD内区域为居民区，ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为 10 万元和 20 万元，已知线段AG长 2 公里，线段AB和线段AD长均为 6 公里，,6ABACCAD，设AEG.（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与
9、的关系式（不用求的范围）；（2）求修建道路的总费用y的最小值.21.已知函数 esinsin,0 xf xxxx x（1）求 f x的零点个数；（2）若 40kf x恒成立，求整数k的最大值.22.已知函数 2e2lnxf xkxxx有三个极值点123,x xx，且123xxx.（1）求实数k的取值范围；（2）若 2 是 f x的一个极大值点，证明：23131ef xf xkkxx.的华中师大一附中华中师大一附中 2023-2024 学年度上学期高三期中检测学年度上学期高三期中检测数学试题数学试题命题人：余文抒命题人：余文抒 徐聪徐聪 王文莹王文莹 审题人：王文莹审题人：王文莹试卷满分：试卷满
10、分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟分钟一一单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足i2zz，则iz 的模为（）A.1B.2C.5D.5【答案】D【解析】【分析】先化简求出z,再根据共轭复数定义求出iz,最后根据模长公式求解即可.【详解】22 1 i2 1 i2i21+i2,1 i1+i1 i 1 i1 izzzz ，,=1 ii=1+i+i=1+2izz，,22i=12i=1+2=5z.故选:D.2.
11、已知集合224,Z log3xAxBxx，则RAB（）A.0,2B.0,2C.1,2D.1,2【答案】C【解析】【分析】利用指数函数单调性求解集合 A，从而求解RA，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合242xAxx x，所以R2Ax x，又32Z log3Z 021,2,3,4,5,6,7Bxxxx，所以RAB1,2.故选：C3.在ABC中，“6A”是“1sin2A”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin2A，可得566A，再根据充分条件和必要条件的定
12、义判断即可.【详解】在ABC中，0,A，由1sin2A，可得566A，所以“6A”是“1sin2A”的必要不充分条件.故选：B.4.已知函数 sin(0)f xx的图象的一部分如图 1，则图 2 中的函数图像对应的函数是（）A.122yfxB.122xyfC.12xyfD.21yfx【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.【详解】sin(0)f xx过点1,12得1sin=2，,sinf xx,由图 1 和图 2 可知：函数的周期减半，就是 2fxfx,图 1图 2 说明图象向右平移12单位，得到21yfx的图象故选:D.5.在边长为 2 的正六边形ABCDEF中，A
13、C BF （）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,A C B F的坐标，求出AC BF 即可得出答案【详解】正六边形ABCDEF中，每个内角都是120，30FEAFAE，有EAAB，以A 为原点，AB为x轴，AE为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：因为2ABAF，1cos1202，3sin1202，则有1,3F，所以(0,0)A，(2,0)B，3,3C，(3,3)AC，3,3BF ，由平面向量数量积的运算可得3333936AC BF .故选：B6.在声学中，音量被定义为：020lgppLp，其中pL是音量（单位为 dB），
14、0P是基准声压为52 10 Pa，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中 240Hz对应的听觉下限阈值为 20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为 0dB，则下列结论正确的是（）A.音量同为 20dB的声音，30100Hz的低频比 100010000Hz的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为 0.002Pa.D.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为 1000Hz的听觉下限阈值实际声压的 10 倍.【答案】D【解析】【分析】对于选项 A
15、、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于 C、D，通过所给函数关系020lgppLp代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于 A，30100Hz的低频对应图像的听觉下限阈值高于 20dB，100010000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于 20dB，所以对比高频更容易被听到，故 A 错误；对于 B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故 B 错误；对于 C，240Hz对应的听觉下限阈值为 20dB，502 10 PaP，令020lg20ppLp，此时0100.0002ppPa，故 C 错误；对于 D，1000Hz的听觉下限阈值为 0dB，令02
16、0lg0ppLp，此时0pp，所以 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为 1000Hz的听觉下限阈值实际声压的 10 倍，故 D 正确.故选：D.7.若实数,a b c满足lnsin1aeabbcc，则,a b c的大小关系为（）A.acbB.abcC.cabD.bac【答案】A【解析】【分析】由切线放缩可求a，根据对数函数性质和正弦值域可判断b，由不等式的关系可判断bc.【详解】因为0sin11，当0 x 时，设 e1xfxx，则 e1xfx，易知当0 x 时，00e10f，当0 x 时，f x单调递增，所以e1xx；0 x 所以sin1=e10aaaaa；由已知可得0b，因为0sin11，
17、所以01b；ln0b，所以sin1 lnbb；因为00cc，所以sin1ccb；故acb；故选：A8.已知函数 sin3cos(0)f xxx在区间,6 2上恰有两个极值点，且062ff，则的值可以是（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断 A,B,D 选项，再计算说明 C 选项正确即可.【详解】sin3cos=2sin3f xxxx,当=6时,2sin 63f xx=2sin+2sin 33306233ff ,A选项错误;当=7时,2sin 73f xx77=2sin+2sin210626323ff ,B 选项错误;当=9时,
18、2sin 93f xx99=2sin+2sin1 10626323ff ,11 29,9,6 2366xx,2sin 93f xx恰有三个极值点，D 选项错误;当=8时,2sin 83f xx88=2sin+2sin330626323ff,5 13,8,6 2333xx,2sin 83f xx恰有两个极值点，C 选项正确;故选:C.二二多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得
19、分，有选错的得 0 分分.9.已知函数 f x及其导函数 fx的部分图象如图所示，设函数 xf xg x e，则 g x（）A.在区间,a b上是减函数B.在区间,a b上是增函数C.在xa时取极小值D.在xb时取极小值【答案】BC【解析】【详解】根据图象得到 f xfx的符号，即可得到 gx的符号，进而得到 g x的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当xa时 0f xfx，当axb时，0f xfx，当xb时，0f xfx，exfxf xgx，因e0 x，故当xa时，0 xfxf xgxe，g x在区间,a上单调递减，当axb时，0exfxf xgx，g x在区间,a b上单调递增，当xb时
20、，0 xfxf xgxe，g x在区间,b上单调递减，故 g x在xa处取得极小值，在xb处取得极大值，故选：BC10 已知0,0,abab，且2ab，则（）A.112abB.22112abC.222abD.22loglog2ab【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】111 11112222222bab aababababa b，当且仅当baab，即ab时取等号，由于ab，所以112ab，A 正确，由于212abab，2222111 1222aba bab，当且仅当2211ab且ab时，即ab时取等号，由于ab，所以22112ab，B 正确，由2ab以及0,
21、0,abab可得222 2 22 24ababa b，当且仅当22ab，即ab时取等号，由于ab，所以2242ab，故 C 正确，2222loglogloglog 10abab，当且仅当baab，即ab时取等号，由于ab，22loglog0ab所以 D 错误，故选：ABC11.若函数 sin costanf xxax在区间0,n有 2024 个零点，则整数n可以是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD【解析】.【分析】令 sin costan0f xxax，则sin costan xax，将函数零点转化为两个函数 yg x与tan yax的交点，结合函数性质以及函数
22、图象分析判断.【详解】令 sin costan0f xxax，则sin costan xax，对于函数 sin cosg xx，由cos1,1x，可知 sin cossin1,sin1 g xx，因 2sin cos2sin cosg xxxg x，且 2sin cos 2sin cosgxxxg x，g x的周期为2，且关于直线x 对称，又因为 cos cossin gxxx，当0,x，则cos1,1,sin0,1 xx，且cos cos0 x，可知 cos cossin0 gxxx，则 g x在0,上单调递减，可知 g x在,2上单调递增，若0a 时，因为tanyx的定义域为|,2x xk
23、kZ，则cos0 x，可知 sin cos0f xx，无零点，不合题意，若0a 时，0a，结合图象可知：yg x与tan yax在0,22 内各有一个交点，在33,222 内没有交点，所以 sin costanf xxax在0,内有 2 个零点，在,2内没有零点（区间端点均不是零点），为因为 yg x与tan yax的周期均为2，则 f x周期为2，结合周期可知：若数 sin costanf xxax在区间0,n有 2024 个零点，则整数n可以是 2023 或2024，若0a 时，0a，结合图象可知：yg x与tan yax在0,22 内没有交点，在33,222 内各有一个交点，所以 sin
24、 costanf xxax在0,内没有零点，在,2内有 2 个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数 sin costanf xxax在区间0,n有 2024 个零点，则整数n可以是 2024 或2025；综上所述：整数n可以是 2023 或 2024 或 2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数 f x转为两个函数：yg x与tan yax的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论 a 的符号.12.已知定义在R上的函数 yf x图象上任意一点,x y均满足20132013sinsineeeeyxxx yx，且对任意0,x，都有21eln0 xf xaf x x恒成立，则下列说
25、法正确的是（）A.2023sinf xxxB.f x是奇函数C.f x是增函数D.1ea【答案】BCD【解析】【分析】利用函数=eexxg x的单调性可求 2013sinf xxx判断 A，根据奇函数的定义判断 B，根据导数符号判断函数的单调性判断C，根据奇函数和单调性把不等式化为21lnexxx xa在0,上恒成立，构造函数求解最值即可判断 D.【详解】20132013sinsineeeeyxxx yx，有20132013sinsinee=eeyxyxxx，记=eexxg x，则=ee0 xxgx，所以=eexxg x在R上单调递增，所以2013sinyxx，所以 2013sinf xxx，
26、故选项 A 错误；因为 20132013sinsinfxxxxxf x 且定义域R关于原点对称，所以 f x是奇函数，故选项 B 正确；记 2012cos2013h xfxxx，0,x，则 2011sin2013 2012h xxx，0,x，对0,x，因为sinyxx，则cos10yx ，即函数sinyxx在0,单调递减，又0 x 时，0y，则sin0 xx，即sin xx，根据幂函数性质知20112013 2012xx，所以 2011sin2013 2012sin0h xxxxx，所以函数 2012cos2013h xfxxx在0,上单调递增，所以 010fxf，所以函数 2013sinf
27、xxx在0,上单调递增，又 f x是奇函数，由奇函数性质知 f x是增函数，故选项 C 正确；因为对任意0,x，都有21eln0 xf xaf x x恒成立，所以21elnlnxf xaf x xfx x 在0,上恒成立，所以21elnxxax x 即21lnexxx xa在0,上恒成立，记()1 lnm xxx，0,x，则1()1m xx，当()0m x时，1x，当()0m x时，1x，当()0m x时，01x，所以()1 lnm xxx 在1,上单调递增，在0,1上单调递减，所以()1 ln(1)0m xxxm，所以1 lnxx，所以22121lneexxxx xx，0,x，记 221ex
28、xn x，0,x，则 2121exxxn x，当()0n x时，1x，当()0n x时，01x，当()0n x时，1x，所以 221exxn x在1,上单调递减，在0,1上单调递增，所以 22111eexxn xn，所以21ln1exxx x，当且仅当1x 时等号成立，所以1ea，故选项 D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
29、后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分13.若直线yxa与曲线1e1xyb相切，则ab_.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为1e1xyb，则1exy，设切点坐标为00,xy，则00110e1e1xxbxa，解得011xab.故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面
30、、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为_.的【答案】【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.【详解】设内环圆弧所对的圆心角为，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以，112 13，可得23，因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半
31、径为1 12，因此，该扇面的面积为22122123.故答案为：.15.一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为 3 和 4，设 0 点为 0 时刻，则OAB的面积S关于时间t（单位：时）的函数解析式为_，一昼夜内（即0,24t时），S取得最大值的次数为_.【答案】.116|sin|6St（0t，且6,N11ntn）.44【解析】【分析】根据给定条件，求出AOB，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数周期即可计算得解.【详解】OA旋转的角速度为rad/h6，OB旋转的角速度为2rad/h，112 6AOBtk或1122 6AOBtk，Zk，1113 4|sin|6|sin|26SAOBt，而当
32、6,N11ntn时，不能构成三角形，所以116|sin|6St（0t，且6,N11ntn）；显然函数116|sin|6St的周期为611且每个周期仅出现一次最大值，而6244411，所以S取得最大值的次数为44.的故答案为：116|sin|6St（0t，且6,N11ntn）；4416.如图，在四边形ABCD中，,4,2120ADCD BDADCABC，则ABC面积的最大值为_.【答案】3 3【解析】【分析】通过证明ABC是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】由题意，在四边形ABCD中，4,2120BDADCABC，60,180ABCABCADC,四边形ABCD四点共圆，在
33、ACD中，ADCD，120ADC,ACD是等腰三角形，30ACDCAD，在ABC中，2120ABC60ABC，22133sin248SAB BCABCAB BCABBC,当且仅当ABBC时，等号成立，当ABBC时，BD垂直平分AC,ACBD,ABC是等边三角形，2ACAE，1302ABDCBDABC,1602ADECDEADC 180306090BADBCD ,3,33AEDE BEAEDE,44BDBEDEDE,1,3,22 3DEAEACAEABC面积的最大值为22max332 33 344SAC,故答案为：3 3.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写
34、出必要的文字说明分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知 2sin sin3f xxx（1）求 f x的单调递增区间与对称中心；（2）当0,xa时，f x的取值范围为30,2，求实数a的取值范围.【答案】（1）,+Z63kkk，1,Z212 2kk （2）2,33【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.（2）画出函数图象分析可知当且仅当12xax时，其中 13min0|2xxf x，2min0|0 xxf x，满足题意，从而计算即可得解.【小问 1 详解】由题意 132sin sin2
35、sinsincos322f xxxxxx23111sin3sin cossin2cos2sin 222262xxxxxx，令2 22+Z262kxkk,解得+Z63kxkk，令Z62kkx，解得Z212kxk，所以 f x的单调递增区间与对称中心分别为,+Z63kkk，1,Z212 2kk.【小问 2 详解】1sin 262f xx的函数图象如图所示，由题意当0,xa时，f x的取值范围为30,2，故当且仅当12xax，其中 13min0|2xxf x，2min0|0 xxf x，令 13sin 2622f xx，得sin 216x，即22 Z62xkk，解得Z3xkk，所以 13min0|m
36、in3|Z2,30 xxf xxkxk，令 1sin 2062f xx，得1sin 262x，即22 Z66xkk 或722 Z66xkk，解得Zxkk或2Z3xkk，所以 1322min0|min0|,Z233xxf xxxkxkk或，综上所述：满足题意的实数a的取值范围为 2,33.18.记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2 sin6bcaC.（1）求 A 的值；（2）若BAC的平分线与BC交于点,2 3D AD，求ABC面积的最小值.【答案】（1）3A （2）4 3【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得1sin62A，再结合正弦函数的性质分
37、析求解；（2）根据题意得BADCAD，结合ABCABDACDSSS，得到2bcbc，结合基本不等式，即可求解.【小问 1 详解】因为2 sin6bcaC，由正弦定理可得sinsin2sinsin6BCAC，则sinsinsinsinsincoscossinsinBCACCACACC，312sinsin2sinsincos3sinsinsincos622ACACCACAC，即sincoscossinsin3sinsinsincosACACCACAC，可得3sinsincossinsinACACC，因为0,C，则sin0C，则3sincos1AA，整理得1sin62A，又因为0,A，则 5,666
38、A，可得66A，所以3A.【小问 2 详解】因为AD平分BAC且2 2AD，所以6BADCAD，由ABCABDACDSSS，可得1311112 32 3222222bccb，整理得24bcbcbc，则16bc，当且仅当bc时，等号成立，故ABC面积的最小值为13164 32219.已知函数 3log(0af xxx a且1)a，（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数 f x有最大值122log333a，求实数a的值.【答案】（1）答案见解析 （2）e【解析】【分析】（1）首先对 f x求导，然后分01a和1a 讨论导函数的符号，从而即可得解.（2）结合（1）中分析可知，当且仅当1111,
39、log33ln122log3333lnaaaaa，通过构造函数 1log3ag xxx，说明 max23g xg即可得解.【小问 1 详解】由题意 2l,013nfxxxax，分以下两种情形来讨论函数 f x的单调区间，情形一：当01a时，201ln0,3l0,nafxxxax，所以 f x的单调递减区间为0,，没有单调递增区间.情形二：当1a 时，令 3201l1n0,n3lnln3lafxxxaxaxa，解得3103lnxa，当310,3lnxa时，31 3ln0lnfxxaxa，当31,3lnxa时，31 3ln0lnfxxaxa，所以 f x的单调递增区间为310,3lna，单调递减区
40、间为31,3lna.综上所述：当01a时，f x的单调递减区间为0,，没有单调递增区间；当1a 时，f x的单调递增区间为310,3lna，单调递减区间为31,3lna.【小问 2 详解】由题意若函数 f x有最大值122log333a，则由（1）可知当且仅当1a 时，f x有最大值 3max13lnf xfa，因此3333111111log3ln3l122logln3ln33ln33log33naaafaaaaa，不妨令 1log3ag xxx，求导得 11 3 ln1,0,13 ln3 lnxagxxaxaxa，令 1 3 ln03 lnxagxxa，解得103lnxa，当10,3lnxa
41、时，1 3 ln03 lnxagxxa，当1,3lnxa时，1 3 ln03 lnxagxxa，所以 1log3ag xxx在10,3lna上单调递增，在1,3lna上单调递减，所以 max111log333l122llon3g33naag xaa，故只能13ln23a，解得1ln,e12aa符合题意；综上所述，满足题意的实数a的值为e.20.某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中ACD内的区域为居民区，ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段
42、和GF段修建道路每公里的费用分别为 10 万元和 20 万元，已知线段AG长 2 公里，线段AB和线段AD长均为 6 公里，,6ABACCAD，设AEG.（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；（2）求修建道路的总费用y的最小值.【答案】（1）2020sinsin3y （2）80 万元【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2sinEG，1sin3GF，进而可得解析式；（2）利用三角恒等变换整理可得280sin34sin33y，换元令3sin,132t，结合函数单调性求最值.【小问 1 详解】在RtAEG中，因为sinAGAEGEG，可得2sinsinAGEG
43、AEG，在AFG中，可知3AFG，由正弦定理sinsinGFAGGAFAFG，可得sin1sinsin3AGGAFGFAFG，所以20201020sinsin3yEGGF.【小问 2 详解】由（1）可知：22020204020sin20 3cossinsin3cossin3sincossinsin3y280sin80sin3322cos 214sin333，因为03，则 2,333，令3sin,132t，则280803434tyttt，且34,yt yt在3,12上单调递增，可知34ytt在3,12上单调递增，所以280803434tyttt在3,12上单调递减，当1t，即6时，修建道路的总费
44、用y取到最小值80万元.21.已知函数 esinsin,0 xf xxxx x（1）求 f x的零点个数；（2）若 40kf x恒成立，求整数k的最大值.【答案】（1）2 个 （2）1【解析】【分析】（1）令 esinsin0 xf xxxx可得esin1xxx，利用导数判断出函数 e1xg xx在,0 x 上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数 e1xg xx与sinyx在,0内的图象，根据交点个数即可求得 f x的零点个数；（2）易知e1xx，sin xx在,0 x 上恒成立，则可得 e1sin11xf xxxxx x，求出221yxx 在,0 x 上的最小值即可得2214k，便可知整数
45、k的最大值为1.【小问 1 详解】根据由题意可知，令 esinsin0 xf xxxx，又,0 x，整理可得esin1xxx；令 e,01xgxxx，则 22ee112e1xxxxxxgxx，显然当,0 x 时，2e012xxgxx恒成立，所以可得 e1xg xx在,0上单调递减，且 e01xxg x，sin1,sin00120g 画出函数 e,01xgxxx和函数sin,0yx x 在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可知函数 e1xg xx与sinyx在区间,0上有两个交点，即可得函数 esinsin,0 xf xxxx x 有两个零点；【小问 2 详解】若 40kf x恒成立，可得 4f
46、 xk，令,0sin,h xxxx，则 1 cos0h xx 在,0上恒成立，即可得 sinh xxx在,0上单调递增，所以 sin00h xxxh，所以sin0 xx在,0上恒成立，即sin xx；令 0e1,xxxx，则 e10 xx 在,0上恒成立，即 e1xxx在,0上单调递减，即 e100 xxx，所以e1xx在,0上恒成立，可得 2esinsine1sin1121xxf xxxxxxxx xxx ；易知函数221yxx 在,0 x 上单调递增，因此2min21y，即只需2min214yk 即可得2214k，易知2212.57961,044，所以1k ；注意到，由（1）可知，由 f
47、x有两个零点可知，必存在0,0 x ，使得00fx，所以当0k 时，0040kf xf x，故 40kf x不恒成立；综上，整数k的最大值为1.22.已知函数 2e2lnxf xkxxx有三个极值点123,x xx，且123xxx.（1）求实数k的取值范围；（2）若 2 是 f x的一个极大值点，证明：23131ef xf xkkxx.【答案】（1）22eee,22 （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用函数极值点个数可得 32exxfxkxx在0,上至少有三个实数根，即可知exkx在0,有两个不等于 2 的不相等的实数根；利用导数求出 e,0,xg xxx的单调性并在同一坐标系下画出函
48、数 g x与函数yk的图象即可求得实数k的取值范围；（2）根据（1）中的结论可得22x，将要证明的不等式化为131ekx x，利用分析法可得需证明311exx，由 g x的单调性可知3113exgxggx，化简可得313e01 lnxx，构造函数 1e,11 lnxhxxx 即可得出证明.【小问 1 详解】根据题意可知，函数 f x的定义域为0,，则 224332eee222221exxxxxfxkkxxxxxxkxxxxx，由函数 f x有三个极值点123,x xx可知 3e02xxfxxkx在0,上至少有三个实数根；显然 20f，则需方程3e0 xkxx，也即e0 xkx有两个不等于 2不
49、相等的实数根；由e0 xkx可得exkx，0,x，令 e,0,xg xxx，则 2e1,0,xxgxxx，显然当0,1x时，0gx，即 g x在0,1上单调递减；当1,x时，0gx，即 g x在1,上单调递增；所以 1eg xg，画出函数 e,0,xg xxx与函数yk在同一坐标系下的图象如下图所示：的由图可得ek 且2e2k 时，exkx在0,上有两个不等于 2 的相异的实数根，经检验可知当22eee,22k时，导函数 32exxfxkxx在123,x xx左右符号不同，即123,x xx均是 0fx的变号零点，满足题意；因此实数k的取值范围时22eee,22【小问 2 详解】根据题意结合（
50、1）中的图象，由123xxx可知12x，若 2 是 f x的一个极大值点，易知函数 f x在10,x上单调递减，可知22x；因此13,x x是方程exkx的两个不相等的实数根，即3113,eexxkxkx所以33333233333e22lnlnl1nxkkf xkxk xkxxxxxx，同理可得111ln1f xkxx，所以 333313333131313113111111lnl11nlnln1l1nxxxkxkxkxxkf xf xxxxxx xxxxxxxxxx由3113,eexxkxkx可知3331111331eelnlnlnlneeexxxxxxxkxxxk,所以13131111331