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1、学科网（北京）股份有限公司120232024 学年度第一学期期中检测试题学年度第一学期期中检测试题高 三 数 学2023.11.15(全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟)一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1已知集合 Mx|0log3x1，Bx|x3|1，则 AB()A1，2B1，4C2，3D2，42“0”是“sin0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前 417公元前 369 年)详细地讨论了无理
2、数的理论，他通过右图来构造无理数 2，2，2，则 sinBAD()A2 63 36B2 63 36C2 3 66D2 3 664 若关于x的不等式x2pxq0的解集为(1，2)，则不等式x2px12xq9的解集为()A(4，2)(3，)B(3，2)(4，)C(，3)(2，4)D(，4)(2，3)5已知 tan2，则cos()cos2sin()cos()()A13B1C1D36已知 alog34，b(13)13，c314，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBbcaCcabDcba7已知函数 f(x)sin2x4x，g(x)exex，则下图所对应的函数可能是()Af(x)g(x)Bf(x)g
3、(x)Cf(x)g(x)Df(x)g(x)江苏省扬州市2023-2024学年高三上学期11月期中检测 数学学科网（北京）股份有限公司28 有两个点在 y 轴上移动，t 时刻的位置分别由函数 y1(t3)sint 和 y212cost 确定，在(0，2)时段内两点重合的时刻 t 有()A1 个B2 个C3 个D 4 个二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分)9下列函数中，最小值是 4 的有()Ay2x42xBylnx4lnxCy|sinx|4|sinx|Dyx24x21
4、0下列选项中，能说明“x(，2)，都有 x24”为假命题的 x 取值有()A4B2C0D311在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C，则能推出 A3的有()AasinC 3ccosA0B 3bsinAacosC(cb)cosACtan(AB)(1tanAtanB)3cacosBD 3bsinAacosC(cb)cosA12已知函数 f(x)及其导函数 f(x)的定义域均为 R，且满足 f(x)f(6x)，f(x)2f(4x)，f(3)1，记 g(x)2f(3x)1，则下列说法中正确的有()A函数 f(x)的图象关于(5，1)对称B函数 yf(2x4)1 为奇函数C函数 g(x
5、)的图象关于 x1 对称D数列g(n)的前 2023 项之和为4050三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知函数 f(x)x的图象过点(2，8)，则 f(1)14将函数 ysinx 图象上每一个点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，然后再向右平移6个单位长度，得到函数 yf(x)的图象，则函数 f(x)的解析式为15已知正数 a，b 满足 a3b4，则1a13b1的最小值为16若函数 f(x)x3bx2cxd(b，c，dR)恰有两个零点 x1，x2，且|x2x1|1，则函数f(x)所有可能的极大值为四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要
6、的文字说明、证明过程或演算步骤)学科网（北京）股份有限公司317(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)4sin(x)(0，|2)的图象过点(0，2 3)、(x1，0)、(x2，0)，且|x1x2|的最小值为2(1)求函数 f(x)的解析式，并求出该函数的单调递增区间；(2)若 f()125，(12，2)，求 sin2的值18(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，BABCBB11，BABC(1)记平面 AB1C1平面 A1BCl，证明：l平面 A1B1C1；(2)点 Q 是直线 BB1上的点，若直线 QC1与 CA1所成角的余弦值为33，求线段 BQ 长19(本小题满
7、分 12 分)学科网（北京）股份有限公司4定义域为 R 的函数 f(x)2xa2x12是奇函数(1)求实数 a 的值；(2)若存在4，0，使得 f(3sincos)f(kcos2)0 成立，求实数 k 的取值范围20(本小题满分 12 分)某品牌方便面每袋中都随机装入一张卡片(卡片有 A、B、C 二种)，规定：如果集齐 A、B、C 卡片各一张，便可获得一份奖品(1)已知该品牌方便面有两种口味，为了了解这两种口味方便面中 C 卡片所占比例情况，小明收集了以下调查数据：口味 1口味 2合计C 卡片201030非 C 卡片7545120合计9555150根据以上数据，判断是否有 99%的把握认为“该
8、品牌方便面中 C 卡片所占比例与方便面口味有关”?(2)根据中华人民共和国反不正当竞争法，经营者举办有奖销售，应当向购买者明示奖品种类、中奖概率、奖品金额或者奖品种类、兑奖时间和方式经小明查询，该方便面中A 卡片、B 卡片和 C 卡片的比例分别为25，25，15，若小明一次购买 3 袋该方便面求小明中奖的概率；若小明未中奖，求小明未获得 C 卡的概率附：2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，学科网（北京）股份有限公司521(本小题满分 12 分)在ABC 中，AC 3AB，且 BC 边上的中线 AD 长为 1(1)若 BC2AB，求ABC 的面积；(2)若ABC2DAC，求 BC
9、 的长22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x2pxqlnx(p，qR)(1)若 pa，qa2，f(x)的最小值为 0，求非零实数 a 的值；(2)若 pa2，qa，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828第 1 页（共 6 页）高三数学参考答案高三数学参考答案 2023.11 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B A B D C AD AB ACD BD 题号 13 14 15 16 答案 3()sin(2)3f xx 2 40,27 17.【答案】(1)因为1
10、()0f x，2()0f x，且12xx的最小值为2，所以22T，则T，所以22T，2 分 又(0)2 3f，所以4sin2 3，又|2，所以3，所以()4sin(2)3f xx.3 分 令222232kxk，解得25,121kxkkZ 所以函数()f x的单调递增区间为15,.122kkkZ 5 分(2)由题可知12()4sin(2)35f，则3sin(2)35，因为(,)12 2，所以42(,)323，所以234cos(2)1()355 ，7 分 所以sin2sin(2)sin(2)coscos(2)sin333333 314334 3()525210.10 分 18.【答案】(1)证明：
11、连接11,AB AB交于点E，连接11,AC AC交于点F，连接EF，则平面11ABC和平面1ABC交线为EF，因为111ABCABC为直三棱柱，所以11ABB A，11ACC A为平行四边形，所以E为1AB中点，F为1AC中点，所以EF11BC，4 分 又EF 平面111ABC，11BC 平面111ABC，所以EF平面111ABC，即l平面111ABC 6 分(2)直三棱柱111ABCABC中，BABC，所以1,BA BC BB两两垂直 以1,BA BC BB为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则(0,1,0)C，1(0,1,1)C，1(1,0,1)A.7 分#QQABRY
12、YAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=#公众号：高中试卷君第 2 页（共 6 页）ABCA1 B1 C1yxzEF 设(0,0,)Qt，则1(0,1,1)QCt，1(1,1,1)CA，所以11112113cos,31(1)3QCCAtQC CAQCCAt 10 分 解得12t，所以线段BQ长为12 12 分 19【答案】(1)方法一方法一：因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)0，即1022a，解得1a，2 分 此时，121()22xxf x，11121(21)212()()22(22)222xxxxxxxxfxf x ，则()f x是奇函
13、数 故1a 4 分 方法方法二：二：因为 f(x)是奇函数，所以111122212()()022222222xxxxxxxxaaaaf xfx ，即(1)(21)0 xa 对x R恒成立，所以1a.4 分(2)由(1)知 f(x)2x12x+121212x1，则 f(x)在 R 上为减函数，6 分 又 f(x)是奇函数，由2(3sincos)(cos)0ff k得：22(3sincos)(cos)(cos)ff kfk ，所以23sincoscosk ，即23sincoscosk 在,04 上有解，9 分 记2()3sincoscosg，则1sin 2231cos2()sin2622g 因为,
14、04，则22,636，所以,s2in1261 ，所以3(),12g，所以32k，即32k 12 分#QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=#公众号：高中试卷君第 3 页（共 6 页）20【答案】(1)提出假设0H：该品牌方便面中C卡片所占比例与方便面口味无关.222()150(2045 1075)750.186.635()()()()95 55 30 120418n adbcab cd ac bd，3 分 又20.010)6.635(P，所以没有 99%的把握认为“该品牌方便面中C卡片所占比例与方便面口味有关”4 分(2)记“小
15、明一次购买 3 袋该方便面，中奖”为事件A，3322124()555125P AA.8 分 记“小明一次购买 3 袋该方便面，未获得C卡”为事件B.3464()()5125P BA，10 分 64()64125(|)24()1011125P BAP B AP A.答：小明中奖的概率为64125；小明为中奖，未获得C卡的概率为64101 12 分 21【答案】(1)由题可知ABc，3ACc，2BCc，在ABC中，由余弦定理得222222(2)(3)1cos2222BABCACcccABCBA BCcc，又(0,)ABC，所以3ABC，2 分 又D为BC的中点，所以12BDBCc，则BDBA，所以
16、ABD为等边三角形，又1AD，所以1AB，2BC，所以1133sin1 22222ABCSBA BCABC .4 分(2)方法一：方法一：由题可知ABc，3ACc，1AD，2aBDDC，设2ABC，DAC，ADB，则ADC，在ABD中，由正弦定理得sinsinABADADBABD，即1sinsin2c，在ADC中，由正弦定理得sinsinDCACDACADC，即32sinsin()ac，所以1sin22 3sina，则3cosa，6 分 在ABD和ADC中，由余弦定理得 2222221()1()(3)22coscos0212122aaccADBADCaa，所以2248ac，8 分 在ADC中，
17、由余弦定理得2222cosDCADACAD ACDAC，#QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=#公众号：高中试卷君第 4 页（共 6 页）即222()1(3)2 13cos2acc，即221134cos2 3cac，10 分 将2284ac代入得22cos2 3cc，由得22232()()2 3cac，即22223(2)8412ccc，即22429(21)(44)cccc，即64227540ccc，即222(1)(21)(4)0ccc，因为0c，所以21c，则22844ac，所以2a.故BC的长为 2.12 分 ABCD2-方
18、法方法二二：作ABC的角平分线，交AC与M.设2ABC，DAC，则ABMCBM，在ABM和CBM中，由正弦定理可得,sinsin,sinsinABAMAMBBCCMBMC 又AMBBMC，所以sinsin()sinAMBBMCBMC，所以ABAMBCCM.ABCD2M 由题可知ABc，3ACc，BCa，所以AMcCMa，3acCMca.7 分 在ACD和BCM中，CADCBM，ACDBCM，所以ACDBCM，所以ACBCCDCM，则332caaacca，即2260aacc，即(3)(2)0ac ac，所以3ac(舍)或2ac.9 分 在ABD和ADC中，由余弦定理得 2222221()1()(
19、3)22coscos0212122aaccADBADCaa，所以2248ac，11 分#QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=#公众号：高中试卷君第 5 页（共 6 页）则2242aa，解得2a.故BC的长为 2.12 分 方法方法三三：延长CB到E，使EBBA，连接EA.由题可知ABc，3ACc，BCa，2aBDDC，设2ABC，DAC，则BEABAE，在ACD和ECA中，AECDAC，ACDECA，所以ACDECA，所以ACECCDAC，则2ACCD EC，7 分 所以2(3)()2acac，即2260aacc，即(3)(2
20、)0ac ac，所以3ac(舍)或2ac.9 分 在ABD和ADC中，由余弦定理得 2222221()1()(3)22coscos0212122aaccADBADCaa，所以2248ac，11 分 则2242aa，解得2a.故BC的长为 2.12 分 ABCD2E 22【答案】(1)因为22()ln(0)f xxaxax x，则 222222xaxaaxaxafxxaxxx，1 分 令()0fx，则2ax 或xa.1若0a，当0,xa，0fx，f x单调递减；当,xa，0fx，f x单调递增.所以 2min()ln0f xf aaa，解得1a；3 分 2若0a，当0,2ax，0fx，f x单调
21、递减；当,2ax，0fx，f x单调递增.所以222min0()ln2422aaaaf xfa，即3ln42a，解得432ae.综上，a的值为 1 或432e.5 分#QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=#公众号：高中试卷君第 6 页（共 6 页）(2)若0a 时，2lnf xx xaa x，当20min,1xa时，20 xa，ln0a x，则 0f x 不满足条件.6 分 若0a 时，由 2110fa 可得01a.8 分 下面证明其充分性，即证当01a时，22ln0f xxa xa x恒成立.思路一：思路一：关于a的函数 2
22、2ln,01h axaa xxa 是一段开口向下的抛物线.只要证 2200,1ln0.hxhxxx 其中式显然成立.令2()lnxxxx，则2121(21)(1)()21xxxxxxxxx，所以当(0,1)x时，()0 x，()x单调递减；当(1,)x时，()0 x，()x单调递增.所以()(1)0 x，式得证.所以，当01a时，22ln0f xxa xa x恒成立.综上，a的取值范围是0,1.12 分 思路二：思路二：令 1lnh xxx，则 1110 xh xxx.当(0,1)x时，()0h x，()h x单调递减；当(1,)x时，()0h x，()h x单调递增.所以()(1)0h xh，则1lnxx.由ln1xx，得0,1a时，222222ln1xa xa xxa xa xxaa xa，又当0,1a时，方程22()0 xaa xa的222()4(1)40aaaa a a，所以22ln0 xa xa x对(0,)x 恒成立.所以，0,1a均满足.综上，a的取值范围是0,1.12 分#QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=#公众号：高中试卷君