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1、第二章 直线和圆的方程 2.3.1 2.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标几何几何元素及元素及关系关系代数代数表示表示点点A直线直线l点点A在直线在直线l上上（形）（形）（数）（数）A(x0，y0)l：AxByC0Ax0By0C0【问题【问题1】点与直线的关系是什么？】点与直线的关系是什么？A(x0，y0)AxByC0【问题【问题2】在同一直角坐标系内画出直线】在同一直角坐标系内画出直线l1与与l2的图象：的图象：l1：3x4y20；【追问【追问1】两条直线】两条直线l1与与l2的位置关系是怎样的的位置关系是怎样的？【追问【追问2】它们的交点坐标与两条直线的】它们的交点坐标与两条直线
2、的方程方程有有什么什么关系关系？【追问【追问3】你能】你能求求出出交点交点的的坐标坐标吗？吗？l2l1A(2，2)联立方程组：联立方程组：l2：2xy20.l1：3x4y20；l2：2xy20.【问题问题3】上述结论有一般性吗？若两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？由此能得出求其交点坐标的方法吗？直线l1和l2相交直线l1和l2存在唯一交点，记为记为A(x0，y0)点A(x0，y0)既在l1上，又在l2上【问题问题3】上述结论有一般性吗？若两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20相交，它们的交点坐标与直线的方程
3、有什么关系？由此能得出求其交点坐标的方法吗？几何元素及关系（形）几何元素及关系（形）代数表示（数）代数表示（数）直线直线l1与与l2的交点是的交点是A(x0，y0)方程组方程组的唯一解是的唯一解是l2l1【问题【问题4】已知两条直线：已知两条直线：l1：4x2y30；l2：2xy20，则这两条直线，则这两条直线的位置关系是什么的位置关系是什么？【追问】【追问】能否判断对应方程组解的情况？能否判断对应方程组解的情况？没有公共点方程组无解不存在点同时满足两条直线方程l1 l2方程组无解l1 l2【问题问题5】已知两条直线：已知两条直线：l1：4x2y40；l2：2xy20，则这两条直线，则这两条直
4、线的位置关系是什么？的位置关系是什么？l2l1有无数个公共点存在无数个点同时满足两条直线方程方程组有无数组解直线l1和l2重合方程组有无数组解l1 和和 l2重合【问题问题6】一般地，对于两条一般地，对于两条直线直线l1：A1xB1yC10与与l2：A2xB2yC20，你能你能说出说出这两条直线的位置这两条直线的位置关系与对应方程组关系与对应方程组 的解之间的解之间的联系吗？的联系吗？直线的位置关系直线的位置关系 公共点的个数公共点的个数 方程组解的个数方程组解的个数图图 例例相相 交交平平 行行重重 合合有且仅有1个唯一解0 个无 解无数个无数组解【问题【问题7】(1)l1:3x+4y2=0
5、，l2：2x+y+2=0(2)l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0(3)l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0对于对于以上三组直线，你以上三组直线，你还还有有其他其他方法判断每组直线间的位置关系么？方法判断每组直线间的位置关系么？【追问【追问1】能否用斜率判断能否用斜率判断两两条条直线直线的位置关系？的位置关系？两直线两直线斜率斜率均不均不存在存在垂直于 x 轴截距相等重合截距不等平行一一条条斜率斜率不存在不存在一条一条斜率斜率存在存在两直线两直线斜率斜率均存在均存在斜率不等相交斜率相等看截距截距相等重合截距不等平行两条直线相交【问题【问题7】(1)l1:3x+4y2=0
6、，l2：2x+y+2=0(2)l1:4x+2y+3=0，l2：2x+y+2=0(3)l1:4x+2y+4=0，l2：2x+y+2=0对于对于以上三组直线，你以上三组直线，你还还有有其他其他方法判断每组直线间的位置关系么？方法判断每组直线间的位置关系么？【追问追问2】如何如何从直线方程的一般式中确定斜率？从直线方程的一般式中确定斜率？k1k2相交平行重合斜截式【问题问题8】比较比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？代数方法代数方法关注关注直线方程系数关系直线方程系数关系，快速判断两条，快速判断两条直线直线平行、重合平行、重
7、合或相交（垂直）或相交（垂直）.解解方程组判断方程组判断斜率判断斜率判断关注关注解的个数与交点个数的对应解的个数与交点个数的对应，判断两条直线平行、重合或相交；判断两条直线平行、重合或相交；求相交求相交直线的交点直线的交点坐标坐标.【问题问题9】判断两条直线的位置关系，直线方程的系数需要满足怎样的特征判断两条直线的位置关系，直线方程的系数需要满足怎样的特征？两直线位置关系两直线位置关系方程系数特征方程系数特征相交相交平行平行重合重合【例例1】判断下列各对直线的位置判断下列各对直线的位置关系关系.如果如果相交，求出交点的坐标相交，求出交点的坐标.(1)l1：xy0；l2：3x3y100.(2)l
8、1：3xy40；l2：6x2y10.(3)l1：3x4y50；l2：6x8y100.【例例2】求经过直线求经过直线3x2y10和直线和直线x3y40的交点的交点，并且，并且平行平行于于直线直线xy40的直线方程的直线方程【追问【追问1】求解直线方程需要具备哪些条件？求解直线方程需要具备哪些条件？【追问追问2】分析本题中的条件，可以获得哪些确定直线的信息？分析本题中的条件，可以获得哪些确定直线的信息？交点坐标(-1(-1，-1-1)解：【问题【问题10】方程】方程3x4y2(2xy2)0，当，当变化时变化时表示表示什么图形？该图形有何特点？什么图形？该图形有何特点？令令=0，方程方程化为化为3x
9、4y20，此时的图形是一条，此时的图形是一条直线直线；令令=1，得到得到5x5y0，也是一条，也是一条直线直线，(-2,2)；令令=1，则则x3y40，还是一条，还是一条直线直线,(-2,2).猜想：猜想：当当变化变化时，方程时，方程表示表示的是相交于点的是相交于点(-2,2)的的直线直线(-2,2)(-2,2)(-2,2)【问题【问题10】方程】方程3x4y2(2xy2)0，当，当变化时变化时表示表示什么图形？该图形有何特点？什么图形？该图形有何特点？(32)x(4)y220AxByC0直线直线3x4y2(2xy2)0联立方程组：联立方程组：解得交点坐标为解得交点坐标为(2，2).(32)x
10、(4)y220 =无解经过两条经过两条直线直线l1：A1xB1yC10与与l2：A2xB2yC20交点的直线系方程可以表示为：交点的直线系方程可以表示为：A1xB1y+C1+(A2xB2y+C2)=0求相交直线求相交直线交点坐标交点坐标判断两条直线的判断两条直线的位置关系位置关系 （相交、平行、重合）相交、平行、重合）解方程组解方程组思想方法思想方法数形结合特殊到一般问题导入问题问题1 1：如下图已知平面内两点：如下图已知平面内两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)，如何，如何求P1,P2间间的距离？距离？yxoP2P1特别地特别地,原点原
11、点O O(0,0)(0,0)与任一点与任一点P P(x x,y y)间的距离为：间的距离为：问题导入k是直线P1P2的斜率则两点间距离公式有如下变形：(1)当P1P2与x轴平行或重合时，(2)当P1P2与y轴平行或重合时，问题问题2 2：还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？：还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？问题导入|P1P2|x2x1|；|P1P2|y2y1|；问题导入问题问题2 2：还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？|1|=|2 1|，|2|=|2 1|.一般选择与坐标轴平行（或垂直）的直线构造直角三角形（相应的长度易用坐标表示。）思考：在推
12、导两点间距离公式时，勾股定理法与向量法比较，你有什么体会？问题导入用勾股定理推导平面上两点间的距离公式，不仅需要分情况讨论，还需要添加辅助线构造直角三角形，而向量法比用勾股定理推导方法简洁.课堂练习P74典型例题一题多解这个题目还有其他解法吗？看到“|PA|=|PB|”，你想到了什么？课堂练习P79典型例题例例4 4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍平方和的两倍分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把
13、代数运算的结果进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系补充练习 如图所示，已知BD是ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2|BC|2|AC|22|BD|2.证明如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(a，0).思考 在在“平面向量及其应用平面向量及其应用”的学习中，我们用的学习中，我们用“向量法向量法”证明过这个证明过这个命题你能回忆一下证明过程吗命题你能回忆一下证明过程吗?比较比较“坐标法坐标法”和和“向量法向量法”，你有什，你有什么体会么体会?上述利用“坐标法”解决
14、平面几何问题的基本步骤可以概括为课堂小结举一反三举一反三yxPBAAO5复习回顾平面内两点平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，问题问题1.如图，已知点如图，已知点P(x0,y0)，直线，直线l：Ax+By+C=0，如何求点如何求点P到直线到直线l 的距离？的距离？xyOPQlP到直线到直线l 的距离，即垂线段的距离，即垂线段|PQ|的长度的长度可以验证，当可以验证，当A=0A=0，或，或B=0B=0时，上述公式仍然成立时，上述公式仍然成立.问题问题1.如图，已知点如图，已知点P(x0,y0)，直线，直线l：Ax+By+C=0，如何求点如何求点P到直线到直线l 的距离？的距离？xy
15、OPQl追问：求点点P到直线到直线l 的距离你还有什么方法的距离你还有什么方法？我们知道，向量是解决距离、角度问题的有我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？问题问题1.如图，已知点如图，已知点P(x0,y0)，直线，直线l：Ax+By+C=0，如何求点如何求点P到直线到直线l 的距离？的距离？xyOPQl追问：求点点P到直线到直线l 的距离你还有什么方法的距离你还有什么方法？合作探究运运用用此此公公式式时时要要注注意意直直线线方方程程必必须须是是一一般般式式，若若给给出出其其他他形形式式，应先化成一般式再用公式；，应
16、先化成一般式再用公式；分母是直线未知数分母是直线未知数x x,y y系数平方和的算术跟；系数平方和的算术跟；分子是分子是P P点代入直线方程；点代入直线方程；直直线线方方程程 A Ax x +B+By y +C=0C=0中中，A=0A=0或或B=0B=0公公式式也也成成立立。但但由由于于直直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.例例1 1求点求点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线l l：3 3x x=2=2的距离的距离.方法方法1.1.例2.已知已知ABC的三个顶点的三个顶点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求求ABC的面积的面积.xyOACB(2)法一：把方程y6写成0 xy60,由点到直线的距离公式得d8.法二：因为直线y6平行于x轴，所以d|6(2)|8.(3)因为直线x4平行于y轴，所以d|43|1.练习练习2.已知点已知点A(a,6)到直线到直线3x-4y=2的距离的距离d=4，求，求a的值的值.课堂小结课堂小结