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1、理想弹性压杆临界挠度的确定摘要本文使用严格的边界条件，对理想弹性压杆的临界力重新定义。采用挠曲线近似微分方程方法和能量法给出了临界力的极限表达形式，解决了细长压杆临界力作用下的挠度不确定问题。关键词临界力，能量法，理想弹性压杆，边界条件中图分类号:O341文献标识码:Adoi:10.6052/0459-1879-19-491DETERMINATION OF THE CRITICAL DEFLECTIONOF A SLENDER COLUMN1)LIU Ronggang,1)BIAN WenfengLI SuchaoLIU WeiJIN Songbo(Department of Civil En
2、gineering,Harbin Institute of Technology,Weihai 264209,Shandong,China)(Department of Astronautic Science and Mechanics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)AbstractThe connotation of the critical force for the ideally elastic slender column is redefined by usingrigorous boundary condit
3、ions.Based on the approximate differential equation of the deflection curve and theenergy method,the limit expression of the critical force is derived,which can be used for solve the deflectionuncertainty problem of slender columns under the critical force.Key words critical force,energy method,slen
4、der column,boundary condition压杆稳定是材料力学课程中重要的基本内容1-2。尽管人们对压杆稳定的研究与应用已经十分成熟，但是却存在着一个长期争议的问题，就是细长压杆临界力作用下的挠度能否确定的问题3-7。有文献认为挠度的不确定源自在推导临界力公式的时候使用的是挠曲线近似微分方程2-3，而如果使用精确的挠曲线微分方程8就可以确定挠度。但是这一观点受到了诸多质疑5-7。小变形假设是材料力学中的基本假设之一，在处理问题的时候具有足够高的精度，并且理论本身也是完备的，因此挠曲线近似微分方程对于小变形情况是完全适用的，那么对问题的解答也应该是完备的。也就是说，不会出现挠度不确
5、定的问题。事实上，出现问题混乱的原因有两条：(1)处理问题的时候边界条件给的不够合理；(2)临界力的定义缺乏数学与力学的严格对应。下面本文分别使用挠曲线近似微分方程方法和能量法给出较为严格的压杆稳定临界力的定义。1 挠曲线近似微分方程方法考虑两端铰支细长压杆(见图1)，在微弯状态下，挠曲线近似微分方程w+k2w=0(1)其中k2=F/(EI)，EI为压杆的抗弯刚度。微分方第 4 期刘荣刚等：理想弹性压杆临界挠度的确定509程的通解为w=Asinkx+B coskx(2)Fx ywl-(l-)/2O图1两端铰支细长压杆受力示意图利用杆件两端严格的边界条件x=0,w=0 x=l ,w=0(3)我们
6、可以得到压杆的挠曲线方程为w=sinxl (4)其中是压杆中点的挠度，微弯状态下载荷F与水平位移的关系为F()=2EI(l )2(5)式(5)即为小变形条件下，载荷F与水平位移的一般关系式。注意这一状态不是临界状态，对于理想弹性压杆，如果逐渐减小载荷，微弯状态可以完全退回到直线状态，而这一直线状态就是最合理的临界状态，所对应的力就是临界力。所以，临界力的严格定义就是对式(5)取极限，即Fcr=lim02EI(l )2=F(0)=2EIl2(6)此极限过程描写了微弯状态下的压杆回归到直线状态，此状态即为唯一的临界状态，所以临界力作用下压杆中点的挠度是完全确定的，也即等于0。2 能量法在小变形情况
7、下，压杆的挠曲线满足式(4)，利用能量关系F=l0M22EIdx=F222EIl0sin2xl dx(7)可求出=F4EI(l )2(8)另一方面，利用几何关系=12l0w2dx=222(l )2l0cos2xl dx=224(l )(9)我们可以得到F()=2EI(l 224l)2(10)其中=2(l )(11)所以临界力定义为Fcr=lim02EI(l 224l)2=F(0)=2EIl2(12)显然，能量法给出的结果式(10)与采用挠曲线近似微分方程方法得到的式(5)完全一致，因此用式(6)和式(12)定义的压杆临界力是等价的。下面我们对计算结果进行简要的分析。从式(11)可以看出，在小变
8、形情况下，=22/(4l)，即水平位移是压杆中点挠度的二阶小量。再由式(5)或式(10)可知，在小变形情况下，随着杆件中点挠度的微幅增加，载荷F的大小几乎不发生变化。因此，考虑水平位移的边界条件，与传统材料力学教材1中不考虑的边界条件，对临界力的表述几乎没有差别。但是如果不考虑水平位移的边界条件，将导致临界力的定义不够严格和清晰，并且会导致临界力作用下压杆中点挠度不确定问题。应该指出，在小变形条件下，材料力学形成了一整套严整的理论体系，并且在理论的推导和计算中，一些小量完全可以忽略。然而压杆稳定问题，在材料力学中可以说是一个特有的现象，只有在考虑水平位移的边界条件下，通过极限过程才可以得到临界
9、力的严格定义，并且可以解决长期争议的压杆中点挠度的不确定问题3-7。通过以上的计算和讨论，我们可以对理想弹性细长压杆的稳定性做如下定义：当载荷F Fcr时，在510力学与实践2020 年 第42 卷无扰动的情况下，压杆可以处于直线平衡状态，在有扰动的情况下，压杆将处于微弯的曲线平衡状态，并且撤去干扰后杆件无法恢复到原来的直线平衡状态，压杆此时处于的状态称为失稳状态；当载荷F Fcr时，如果理想弹性细长压杆处于微弯状态，此时若将载荷逐渐减小，压杆可以逐渐恢复到临界力Fcr对应的直线状态，因此临界力作用下压杆中点的挠度等于0。在此基础上，本文给出了压杆临界失稳载荷的严格定义，并重新定义了临界状态，
10、得到了自洽和完备的压杆稳定理论。参考文献1 刘鸿文.材料力学,第 5 版.北京:高等教育出版社,20112 张少实.新编材料力学,第 2 版.北京:机械工业出版社,20123 张仲毅.细长压杆临界挠度确定性的简单解释.力学与实践,1992,14(5):60-62Zhang Zhongyi.A simple explanation for the determinationof critical deflection of slender column under compression.Mechanics in Engineering,1992,14(5):60-62(in Chinese)4
11、 张仲毅.临界压力下压杆挠度的分析讨论.力学与实践,1995,17(4):73-74Zhang Zhongyi.An analysis and discussion on the deflec-tion of a slender column under critical compression force.Mechanics in Engineering,1995,17(4):73-74(in Chinese)5 陈家骏.关于细长压杆稳定性问题的讨论.力学与实践,1997,19(5):65-67Chen Jiajun.Discussion on the stability of slende
12、r columnunder compression.Mechanics in Engineering,1997,19(5):65-67(in Chinese)6 薛福林.谈细长压杆稳定性问题.力学与实践,1995,17(5):65-66Xue Fulin.Discussion on the stability of slender columnunder compression.Mechanics in Engineering,1995,17(5):65-66(in Chinese)7 梁枢平,邹时智.也谈细长压杆稳定问题.力学与实践,1997,19(4):67-69Liang Shuping,Zou Shizhi.Retalk about the stability ofslender column under compression.Mechanics in Engineer-ing,1997,19(4):67-69(in Chinese)8 丁然.压杆稳定性问题浅议.力学与实践,2014,36(5):636-638Ding Ran.Discussion on the stability of Eulers pole.Me-chanics in Engineering,2014,36(5):636-638(in Chinese)(责任编辑:胡 漫)