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1、专题二推导题类型1力学推导1.已知物体的重力势能表达式为Ep=mgh,动能表达式为Ek=12mv2,其中m为物体的质量,h为物体距离水平地面的高度,v为物体的运动速度。如图,一小球从斜面底端以速度v沿光滑斜面向上运动。不计空气阻力,小球在光滑的斜面上滑行时,机械能守恒。请推导:小球能运动到斜面上的最大高度h=v22g。证明:根据题意,小球从斜面底端沿光滑斜面向上运动的过程中机械能守恒,小球到达斜面最高点时动能全部转化为重力势能,则Ek=Ep即12mv2=mgh小球能运动到斜面上的最大高度h=v22g2.如图甲,有一轻质杠杆,左右两端分别挂着质量不等的实心铁块(m1m2),恰好水平平衡。设左右悬
2、挂点到支点O的距离分别为l1、l2,若将两铁块分别浸没于水中(如图乙),则杠杆仍然平衡,试通过推导说明。证明:对浸没于水中的物体受力分析可知,F拉+F浮=m物g得F拉=m物g-F浮=m物g-水gV物=物gV物-水gV物=(物-水)gV物故F拉1l1=(物-水)gV物1l1F拉2l2=(物-水)gV物2l2又F1l1=F2l2即m1gl1=m2gl2,物V物1gl1=物V物2gl2,V物1l1=V物2l2所以F拉1l1=F拉2l2则杠杆仍然平衡3.如图甲所示,物体A的体积V=100 cm3,放入水中静止时,浸入水中的体积V1=12V。现将一体积V2=25 cm3的物体B放在物体A上,物体A刚好完
3、全浸没在水中,如图乙所示。(1)用题目中的物理量推导出物体B密度的数学表达式;(2)已知水=1.0103 kg/m3,求物体B的密度。解:(1)题图甲中,物体A漂浮,则有GA=F浮1=水gV1=水g12V题图乙中,物体B放在物体A上,物体A刚好完全浸没在水中,物体A、B整体处于漂浮状态,所以GA+GB=F浮2=水gV则GB=F浮2-GA=水gV-水g12V=12水gV由G=mg可得,mB=12水V物体B的密度B=mBV2=12水VV2=V2V2水(2)代入数据,可得物体B的密度B=V2V2水=100 cm3225 cm31.0103 kg/m3=2.0103 kg/m34.如图所示,盘山公路可
4、以简化成物理模型斜面,其中山路长可以看成是斜面长s,山高可以看成是斜面高h。一辆重为G的汽车在牵引力F的作用下以速度v沿山路匀速开到山顶,汽车的功率为P,行驶过程中受到地面的摩擦力为f(已知sin =hs,忽略空气的阻力)。请利用做功的原理推导摩擦力的表达式f=Pv-Gsin 。证明:汽车爬坡时,牵引力做的功为总功,即W总=Fs克服重力做的有用功W有=Gh克服摩擦力做的额外功W额=fs=W总-W有=Fs-Gh可得摩擦力f=F-Ghs因为P=Wt=Fst=Fv,sin =hs所以f=Pv-Gsin 类型2电学推导1.如图是并联电路的一部分,由并联电路的电流关系I=I1+I2可知,通过分电阻的电流
5、I1和I2都是并联电路总电流I的一部分。试推导:I1=IR2R1+R2。证明:因为并联电路中总电阻的倒数等于各分电阻倒数之和,所以并联部分的总电阻R=R1R2R1+R2由I=UR可知,并联部分两端的电压U=IR=IR1R2R1+R2因为并联电路中各支路两端的电压相等,所以通过R1的电流I1=UR1=IR1R2R1+R2R1=IR2R1+R22.如图所示,R1与R2串联,电源电压恒定。(1)若用一个电阻R代替两个电阻,使电路中电流保持不变,即电阻R与R1、R2两个电阻在电路中共同作用的效果是相同的,则R就是R1、R2的等效电阻。请通过所学知识推导:R=R1+R2;(2)若电路总功率为P,两电阻的
6、功率分别为P1、P2,请推导:P=P1+P2。证明:(1)由欧姆定律可知,U=IR则R1两端的电压U1=I1R1R2两端的电压U2=I2R2由串联电路电压特点可知,U=U1+U2即IR=I1R1+I2R2串联电路中I=I1=I2,所以R=R1+R2(2)由P=UI可得电阻R1的功率P1=U1I1电阻R2的功率P2=U2I2由串联电路电压特点可知,U=U1+U2所以P=UI=(U1+U2)I=U1I+U2I串联电路中I=I1=I2,所以P=U1I1+U2I2=P1+P23.电动机是现代生活和生产中一种重要的动力装置,它工作时主要把电能转化为机械能,还有一部分电能在线圈中转化为热能散失掉。(1)电
7、动机输出的机械功率和消耗的电功率之比叫做电动机的效率。若电动机的额定电压为U,额定电流为I,线圈电阻为R,请推证:电动机正常工作时的效率=1-IRU;(2)若一台额定电压为3 V的小直流电动机正常工作时,通过线圈的电流为0.3 A,线圈的电阻为2 ,求电动机正常工作10 s时输出的机械能。解:(1)电动机消耗的电功率P电=UI电动机发热功率P热=I2R电动机输出的机械功率P机械=P电-P热=UI-I2R电动机工作时的效率=P机械P电=UI-I2RUI=1-IRU(2)10 s内电动机消耗的电能W=UIt=3 V0.3 A10 s=9 J10 s内线圈产生的热量Q=I2Rt=(0.3 A)22
8、10 s=1.8 J10 s内电动机正常工作获取的机械能W机=W-Q=9 J-1.8 J=7.2 J类型3光学推导1.如图所示,竖直放置的平面镜MN前有一人AB直立,人眼可通过平面镜观察到自己的像,试结合平面镜成像特点和光的反射原理推证:平面镜所需最小长度为人体长度的一半时,人眼即可观看到全身像。(设人眼和头顶皆在A点,不考虑成像宽度)证明:A、B分别表示人的头顶和脚的位置,MN为平面镜位置,由平面镜成像特点可知,AB为AB的像,根据平面镜所成的像与物体到镜面距离相等可知,AC=CA所以AC=12AACD为AAB的中位线,所以CD=12AB=12ABCD为平面镜的最小长度,AB为人的身高,所以
9、平面镜的最小长度为人身高的一半。2.如图所示,EF为一平面镜,A为平面镜前一发光点,A为发光点A在平面镜中所成的像,AO为发光点到平面镜上的一条入射光线,O为入射点,OB为AO的延长线,NO与平面镜垂直。请你根据平面镜所成像与物关于平面镜对称这一特点,证明:NOB=AON(即OB为入射光线AO的反射光线)。证明:根据平面镜成像的特点可知,平面镜所成像与物关于平面镜对称,即A与A是对称的,所以AA与镜面是垂直的,且法线NO与镜面也是垂直的,所以AA与NO平行根据两直线平行,同位角相等,则NOB=CAO因平面镜所成的像与物关于平面镜对称,所以ACO与ACO是全等三角形,则CAO=CAO由于AA与NO平行,CAO与AON是内错角,则CAO=AON所以NOB=AON3.如图,L表示凸透镜,MN是主光轴,O为光心,F为焦点。请运用凸透镜的特殊光线的知识在图中画出物体AB所成像的光路图。假设凸透镜的焦距为f,物体AB的高度为h1,物体到透镜的距离为u,像到透镜的距离为v,请证明像的高度h2=h1vu。证明:光路图如图所示由AOBAOB可得,ABAB=OBOB即h1h2=uv所以h2=h1vu