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1、第一章 行列式知识点名称内容式 二阶行列式 与三阶行列1. 二阶行列式：D2 = |c(a) d(b)| = ad bc2. 三阶行列式：D3 = | | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 。引入三个二阶行列式：M11 = |a32(a22) a33(a23)|，M21 = |a32(a12) a33(a13)|，M31 = |a22(a12) a23(a13)|Ai1 = (1)i+1Mi1 (i = 1,2,3) ，即A11 = M11 ， A21 = M21 ，A31
2、 = M31 ，称Mi1为元ai1在D3 中的余子式， 称Ai1为元ai1在D3 中的代数余子式。n 阶行列式3. N 阶行列式由 n行、 n 列元素组成， 记为：行列式展开 定理4. 行列式展开定理： n 阶行列式D = |aij |n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即 :D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ainAin (i = 1,2 ， , n)或D = a1jA1j + a2jA2j + anjAnj (i = 1,2， , n)5. 上三角和下三角行列式计算， 只需对角线数字相乘即可。行列式的性 质6. 行列式和它的转置行列式相等，即 D=DT
3、。7. 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD。这也就是说， 行列式可 以按行和按列提出公因数。8. 互换行列式的任一两行（列），行列式的值改变符号。推论： 如果行列式中有两行（列）相同， 则此行列式的值等于零。9. 如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。10. 行列式可以按行（列）拆开 。11. 把行列式 D 的某一行（列） 的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上 去，所得的行列式仍为 D。行列式的计 算12. 利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换 两行或两列时，必须在新的行列式
4、的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新 的行列式前面乘上 k。1 / 1213. 把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值， 通常是利用性 质 6 在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含 0 最多的行或列展开克拉默法则14. 设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为：如果其系数行列式则方程组必有唯一解：其中， D j 是 D 中第j列换成常数项后得到的行列式15. 设含有n个方程的n元齐次线性方程组：如果其行列式值不等于零，则该方程组只有零解：第二章 矩阵知识点名称内容矩阵的相等16. 设A = (aij )mn ，B = (bij
5、)kl ，若 m=k ，n=l 且aij = bij ，i=1,2, ,m;j=1,2, ,n,则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A=B。矩阵的加、 减法17. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可以相加。设 A,B,C 都是 mn 矩阵，O 是 mn 零矩 阵，则交换律： A+B=B+A;结合律：（A+B）+C=A+（B+C）;A+O=O+A=A;消去率A+C=B+C,则 A=B.数乘运算18. 对于任意一个矩阵A = (aij )mn和任意一个数 k，规定 k 与 A 的乘积为kA = (kaij )mn19. 结合律： （kl）A = k(lA) = klA ，k和l为任意实数。分配
6、率k(A + B) = kA + kB, (k + l)A = kA + lA ，k和l为任意实数。乘法运算20. 矩阵乘法结合律（AB）C=A(BC).2 / 1221. (A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC.22. 两种乘法的结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),k 为任意数。23. EmAmn = Amn, AmnEn = Amn（其中Em ，En 分别为 m 阶和 n 阶单位矩阵）矩阵的转置24. 设 A 为一个 m 根 n矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个 n 根 m矩阵，称其为 A 的转置矩阵，记为 AT ，即：( a11 a 21( a11 a 12a21
7、am1 )| a22 am2 （am1a2n amn )n根ma12 a1n )|AT =A =am2 amn )m根n（a1na22 a2n ，n 维行（列）向量的转置矩阵为 n 维列（行） 向量.方阵的行列 式25. 设 为一个n阶方阵， 则由 A 中元素按原来的顺序构成的一个n阶行列式，成为方阵 A 的行列式， 记为A。26. 矩阵的行数和列数未必相等，但行列式的行数和列数必须相等。27. 方阵的行列式的性质：设 A ，B 为n阶方阵，k为数，则：(1) (2) (3) 。方阵多项式28. 任意给定一个多项式 f (x) = am xm + am-1xm-1 + + a 1x + a0
8、和任意给定一个 n 阶方阵 A，都可以 定义一个 n 阶方阵 f（A）= amAm + am-1Am-1 + + a1A+ a0 En 。称f (A) 为A 的方阵多项式， 它也是一个 n 阶方阵.注意： 在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵 a0 En 而不是常数 a0 ，方阵多 项式是以多项式形式表示的方阵.可逆矩阵129. 设 A,B 为同阶的可逆矩阵，常数 k0，则：（1）A1为可逆矩阵， 且（ A1 ） = A 。（2） AB1为可逆矩阵，且（ AB ） = B 1A1 。设A1, A2, Am是 m 个同阶的可逆矩阵，则A1A2 Am 也可 逆，且(A1A2 Am )1 = Am 1
9、Am11 A1 1（3）kA 为可逆矩阵，且(kA)(-1)=1/kA(- 1)。（4）AT 为可逆矩阵，且(kA)1 = A1 。（5）可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去。即当 P 为可逆矩阵时，有 PA=PBA=B；AP=BPA=B。（6）设 A 是 n 阶可逆矩阵。我们记A0 = En ，并定义Ak = (A1)k ，其中 k 是任意正整数。则有AkAl = Ak+l ，(Ak)l = Akl 。这里， k 和 l 为任意整数（包括负整数、零和正整数）。伴随矩阵30. 设A = (aij )nn，Aij 为|A|的元aij 的代数余子式（i，j=1,2, ，n，）,则矩阵( )称为 A 的
10、伴随矩阵，记为A 。n 阶方阵 A 为可逆矩阵， 则|A|0，反之亦成立。求逆矩阵公式A1 = A 。推论： 设 A,B 均为 n 阶矩阵，并且满足 AB=En ，则 A ，B 都3 / 12可逆，且A1 = B ，B 1 = A 。方阵可逆条件和求逆运算率31. 可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一的。32. n 阶方阵 A 可逆 常 A 产 0，且 A 1 = A* .33. 设 A ，B 均为 n 阶方阵， 且满足AB = E ，则 A ，B 都可逆， 且A1 = B ， B 1 = A .分块矩阵的 转置34. 分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置
11、， 这一现象不妨称为“内外一起转 ”分块矩阵的 乘法和分块 矩阵求逆35. 设矩阵 A = (aij )m根p ， B = (bij )p根n ，利用分块矩阵计算乘积 AB 时，应使左边矩阵 A 的列分块方 式与右边矩阵 B 的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时， A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块.AB = C = C(C)21(11) C(C)22(12) () C(C)2(1)t(t) （Cr1 Cr2 Crt )| |其中Cij = Ai1B1j + Ai2B2 j + + Ais Bsj （i = 1,2, , r ，j = 1,2, , t ）初等变换3
12、6. 互换矩阵中两行（列）的位置；37. 用一个非零常数 k 乘 A 某一行（列）；38. 用一个数乘 A 某一行（列）以后加到另一行（列） 上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩 阵作初等变换是变换过程用“ ”连接前后矩阵.初等方阵39. Di (k) 左（右）乘 A 就是用非零数 k 乘 A 的第i 行（列） .40. Tij (k) 左乘 A 就是把 A 中第 j 行的 k 倍加到第i 行上.41. Tij (k) 右乘 A 就是把 A 中第 i行的 k 倍加到第 j 行上.矩阵的等价 标准形42. 任意一个 m 根 n矩阵 A ，一定可
13、以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的 m 根 n矩(E O )（O O)阵： | r |这是一个分块矩阵，其中 Er 为r 阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵.称(E O )（O O)| r |为 A 的等价标准形 。注意：等价标准形中的 r 总是不变的，它由 A 完全确定.43. 对于任意一个 m 根 n矩阵 ，一定存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n阶可逆矩阵Q ，使得PAQ = (|（O(E)r O(O)4 / 12用矩阵的初 等变换求解 矩阵方阵44. 设 A 是 n阶可逆矩阵， B 是 n 根 m矩阵，求出矩阵 X 满足 AX = B .原理 若找到 n阶可逆矩阵 P 使 P
14、A = En ，则 P = A1 ，而且有 P(A, B) = (PA, PB ) = (En , A1B)上式右边矩阵的最后 m 列组成的矩阵就是 X ，即 X = A1B .45. 方法：用初等行变换把分块矩阵 (A, B )化成 (E, A1B) ，即 (A, B) (E, A1B).设 A 是 n阶可逆矩阵， B 是 m 根 n矩阵，求出矩阵 X 满足 XA = B .注意：矩阵方程 XA = B 的解为 X = BA1 ，而不可以写成 X = A1B .方法:用初等行变换把 (AT , BT )化成 (En , (BA 1)T )，可求出 XT = (BA 1)T .具体过程为(AT
15、 , BT ) (En , XT )矩阵的秩46. 设 A = (aij )m根n ，则 r(A) n 时， m 个n 维列向量a1 ,a2 , ,am 一定线性相关.这是由于当m n 时，齐次线性方程 组 Ax = 0 中的变量个数m 大于方程个数n ,它必有可以任意取值的自由变量， 因此，它必有非零 解。求相关系数 的方法60. 求线性相关系数的方法如下：设a1 ,a2 , , am 为m 个n 维列向量，则a1 ,a2 , , am 线性相关常 存在m 个不全为零的数k1a1 + k2a2 + + kmam = 0 .常 m 元齐次线性方程组 x1a1 + x2a2 + + x mam
16、= 0 有非零解， 即 Ax = 0有非零解.非零6 / 12解就是一个相关系数.常 矩阵 A = (a1 ,a2 , , am ) 的秩小于m 。组 向量组的极 大线性无关61. 向量组 T 与它的任意一个极大无关组等价， 因而 T 的任意两个极大无关组等价。62. 设有两个n 维向量组R = a1 ,a2 , ,ar 和 S = 1 , 2 , , s ，且已知向量组 R 可由向量组 S 线性表出。若r s ，则 R必为线性相关组.若 R为线性无关组，则必有 r s63. 任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。64. 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同 。向量组
17、的秩 及极大无关 组的求法65. 对矩阵施行初等变换，不改变它的行秩和列秩。66. 设 A为m 根 n 阵，则 r(A) = A 的行秩 = A的列秩。第四章线性方程组知识点名称内容齐次线性方程组的解67. 齐次线性方程组关于解的结论：Ax = 0的解的全体所组成的向量集合V = | A = 0， V 有以下性质：性质 1 若1 ,2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则1 + 2 也是 Ax = 0 的解.性质 2 若 是齐次线性方程组 Ax = 0的解， k 是任意实数，则k 也是 Ax = 0的解68. 齐次线性方程组的基础解系与通解。设 1 ,2 , ,s 为齐次线性方程组 Ax
18、= 0的一个解向量集， 如果它满足以下两个条件：1 ,2 , ,s 是线性无关的向量组；Ax = 0的任意一个解 都可表示为1 ,2 , ,s 的线性组合， 即 = k11 + k22 + + kss ， k1 , k2 , , ks 是常数.则称 1 ,2 , ,s 是 Ax = 0的一个基础解系.定理 1 设 A是m 根 n 矩阵， r(A) = r ，则Ax = 0的基础解系中的解向量个数为n r ；Ax = 0 的任意n r 个线性无关的解向量都是它的基础解系.推论（1）：设 A是m 根 n 矩阵，则a. Ax = 0 只有零解 常 r(A) = n ；此时， Ax = 0 没有基础解
19、系；b. Ax = 0有非零解 常 r(A) n ；此时， Ax = 0有无穷多个基础解系（基础解系的解向量有7 / 12n r 个） .当m n 时， Ax = 0 必有非零解， 因此必有无穷多个基础解系.（2）当 A是n 阶方阵时， Ax = 0只有零解常 A 子 0 ； Ax = 0有非零解常 A = 0 .注意：基础解系必须满足三个条件： 基础解系中每一个向量都是Ax = 0 的解； 基础解系的向量个数必须为n r ； 基础解系的向量组线性无关.设向量组1 ,2 , ,nr 是 Ax = 0的任意一个基础解系，则其通解为: = k11 + k22 + + knrnr ，这里k1 , k
20、2 , , knr 为任意实数.齐次线性方程组的通解的求法69. 对方程组Ax = 0 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解， 从中 也能求出一个基础解系。非齐次线性方程组有解条件70. 设Ax = b为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是 r(A, b) = r(A) 。71. 当n 元非齐次线性方程组Ax = b有解时，即 r(A, b) = r(A) = r 时，那么， Ax = b有唯一解 常 r = n ；（2） Ax = b有无穷多解 常 r n 。72. n 元齐次线性方程组Ax = b有非零解的充要条件是r(A) = r n 。设 A为n 阶
21、方阵，则n 元齐次线性方程组Ax = b有非零解常 A = 0 。设 A为m 根 n 矩阵，且m 0 , i = 1,2, , n 。107.设 A与 B是两个合同的实对称矩阵，则 A为正定矩阵当且仅当 B为正定矩阵108. 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。109. n 阶对称矩阵 A = (aij )是正定矩阵 A的n 个特征值全大于零 。具有以下推论：（1） n 阶对称矩阵 A = (aij )是正定矩阵 A的正惯性指数为n ；（2） n 阶对称矩阵 A = (aij )是正定矩阵 A合同于单位矩阵；（3）任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.（4） n 阶对称矩阵A = (aij )是正定矩阵 A的n 个顺序主子式 Dk 0 , k = 1,2, , n .12 / 12