《2024届高考数学专项利用隐零点设而不求解决导数问题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届高考数学专项利用隐零点设而不求解决导数问题含答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1利用隐零点设而不求解决导数问题利用隐零点设而不求解决导数问题1(2023秋北京高三统考开学考试)(2023秋北京高三统考开学考试)已知函数 f(x)=ax-x+bex，曲线y=f(x)在(0,f(0)的切线为y=-x+1(1)求a，b的值；(2)求证：函数在区间(1,+)上单调递增；(3)求函数 f(x)的零点个数，并说明理由2(2023秋河北张家口高三统考开学考试)(2023秋河北张家口高三统考开学考试)已知 f x=aex，g x=lnx+1a(1)当a=1时，证明：f xg x+1；(2)若x-1,+，f xg x+1恒成立，求a的取值范围2024届高考数学专项利用隐零点设而不求解决导
2、数问题含答案23(20232023春春 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知函数 f x=xcosx-sinx，x 0,2.(1)求证：f x0；(2)若asinxxb对x 0,2恒成立，求a的最大值与b的最小值.4(20232023秋秋 浙江浙江 高三浙江省春晖中学校联考阶段练习高三浙江省春晖中学校联考阶段练习)已知函数 f x=aex-e(x-1)2有两个极值点x1,x2x1ae-x+lnx恒成立，求证：实数a-1.47(20232023秋秋 辽宁沈阳辽宁沈阳 高三沈阳市第一二中学校考阶段练习高三沈阳市第一二中学校考阶段练习)已知函数 f(x)=2x3+3(1+
3、m)x2+6mx(xR).(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若 f-1=1，函数g(x)=a lnx+1-f(x)x20在 1,+上恒成立，求整数a的最大值.8(20232023秋秋 陕西西安陕西西安 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知函数 f x=lnx-x+x-2ex-m，mZ Z.(1)当m=1时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)若关于x的不等式 f x0，f x0恒成立，求整数m的最小值.10(20232023 云南昭通云南昭通 校联考模拟预测校联考模拟预测)设函数 f x=ex-ln x+a，aR R.(1)当a=1时，求 f x的单调区间；(2)若
4、f xa，求实数a的取值范围.1利用隐零点设而不求解决导数问题利用隐零点设而不求解决导数问题1(20232023秋秋 北京北京 高三统考开学考试高三统考开学考试)已知函数 f(x)=ax-x+bex，曲线y=f(x)在(0,f(0)的切线为y=-x+1(1)求a，b的值；(2)求证：函数在区间(1,+)上单调递增；(3)求函数 f(x)的零点个数，并说明理由【答案】(1)a=1,b=-1.(2)证明见解析(3)零点个数为0，证明见解析.【详解】(1)f(x)=a-1-x+bex，则有 f 0=-b=1，解得b=-1，f0=a-1-b=a-2=-1，则a=1,b=-1.(2)由(1)知 f(x)
5、=x-x-1ex，f(x)=1-2-xex=ex+x-2ex，设h x=ex+x-2，因为h x在 1,+上单调递增，则h xh 1=e-10，所以 f(x)0在 1,+上恒成立，所以函数 f x在区间(1,+)上单调递增.(3)因为 f(x)=1-2-xex=ex+x-2ex，令 f(x)=0，令 f(x)=0，得ex+x-2=0，设h x=ex+x-2，由(2)知h x在R上单调递增，且h 0=-1，h 1=e-10，故存在唯一零点x0 0,1使得h x=0，即存在唯一零点x0 0,1满足 f(x0)=0，即得ex0+x0-2=0，则ex0=2-x0，且当x-,x0时，f(x)0，此时 f
6、 x单调递增，所以 f xmin=f x0=x0-x0-1ex0=x0ex0-x0+1ex0=x02-x0-x0+12-x0=-x20+x0+12-x0=-x0-122+542-x0，当x0 0,1时，2-x00，-x0-122+54-0-122+54=1，则 f xmin0，则函数 f(x)的零点个数为0.2(20232023秋秋 河北张家口河北张家口 高三统考开学考试高三统考开学考试)已知 f x=aex，g x=lnx+1a(1)当a=1时，证明：f xg x+1；(2)若x-1,+，f xg x+1恒成立，求a的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)a1【详解】(1)当a=1时，设h
7、x=f x-g x-1=ex-ln x+1-1 x-1，hx=ex-1x+1，当x0时，hx0，-1x0时，hx-1，x=-xexx-1，则 x在-1,0递增，0,+递减，xmax=0=1，a1法二：x-1,+，f xg x+1恒成立，即aex+lna-ln x+1-10令F x=aex-ln x+1+lna-1，Fx=aex-1x+1a0，aex=1x+1有唯一实数根，设为x0 x0-1，即aex0=1x0+1，lna+x0=-ln x0+1，则F x在-1,x0递减，在 x0,+递增，F xmin=F x0=aex0-ln x0+1+lna-10，即1x0+1-x0-2ln x0+1-10
8、，设h x=1x+1-x-2ln x+1-1，显然h x在-1,+单调递减，而h 0=0，h x00，则-1x00，lna=-ln x0+1-x0，x0-1,0，lna0，a13(20232023春春 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知函数 f x=xcosx-sinx，x 0,2.(1)求证：f x0；(2)若asinxxb对x 0,2恒成立，求a的最大值与b的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)a的最大值为2，b的最小值为1.【详解】(1)由 f x=xcosx-sinx，求导得 fx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，因为在区间 0,2上 f
9、x=-xsinx0时，“sinxxa”等价于“sinx-ax0”，“sinxxb”等价于“sinx-bx0对任意x 0,2恒成立，当c1时，因为对任意x 0,2，gx=cosx-c0，于是g x在区间 0,2上单调递减，则g xg 0=0对任意x 0,2恒成立，当0c0，函数g(x)单调递增，当x x0,2时，g(x)g(0)=0，g2=1-2c，则当g20，即00对x 0,2恒成立，因此当且仅当c2时，g(x)0对任意x 0,2恒成立，当且仅当c1时，g(x)0对任意x0,2恒成立，所以asinxxb对任意x 0,2恒成立时，a的最大值为2，b的最小值为1.4(20232023秋秋 浙江浙江
10、 高三浙江省春晖中学校联考阶段练习高三浙江省春晖中学校联考阶段练习)已知函数 f x=aex-e(x-1)2有两个极值点x1,x2x1x2其中aR R，e为自然对数的底数(1)求实数a的取值范围；(2)若ex1+e-2x2+2 1-e x1-1x2-1恒成立，求的取值范围【答案】(1)0,2e(2)-,(e-1)2【详解】(1)由于 fx=aex-2e x-1，由题知 fx=0有两个不同实数根，即a=2e x-1ex有两个不同实数根令g x=2e x-1ex，则gx=2e 2-xex0，解得x2，故g x在-,2上单调递增，在 2,+上单调递减，且x-时，g(x)-，x+时，g(x)0，g 2
11、=2e，故g x的图象如图所示，当a 0,2e时，fx有两个零点x1,x2且x1x2则 fx00 xx1或xx2，故 f x在 0,x1上单调递增，在 x1,x2上单调递减，在 x2,+上单调递增，f x的极大值点为x1，极小值点为x2故 f x=aex-e(x-1)2有两个极值点时，实数a的取值范围为 0,2e(2)由于ex1+e-2x2+2 1-e x1-1x2-1e x1-1+e-2x2-1 x1-1x2-1若设t1=x1-1,t2=x2-1 0t10aet2=2t20，两式相除得et2-t1=t2t1，即t2-t1=lnt2t10，由et1+e-2t2t1t2得 t2-t1et1+e-
12、2t2t1t2lnt2t1所以2+e-2t2t1-et1t2lnt2t1，令t=t2t11,h t=2+e-2t-etlnt(t1)，则h t在 1,+恒成立，由于ht=e-2t2+elnt-2t-e-2t2+et2ln2t，4令 t=e-2t2+elnt-2t-e-2t2+e，则t=2 e-2tlnt-2-e-2t+et，t=2 e-2lnt+2 e-2-et2-e+2，显然t在 1,+递增，又有1=-20，所以存在t0 1,e使得t0=0，且易得t在 1,t0递减，t0,+递增，又有1=0,e=e2-2e-10，所以存在t1 1,e使得 t1=0，且易得 t在 1,t1递减，t1,+递增，
13、又 1=e=0，则1xe时，t0,hte时，t0,ht0，所以易得h t在 1,e上递减，在 e,+上递增，则h(t)min=h e=(e-1)2，所以的取值范围为-,(e-1)25(20232023秋秋 湖南永州湖南永州 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知函数 f x=x2-mxlnx+1，mR R且m0.(1)当m=1时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)若关于x的不等式 f x2ex恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围.【答案】(1)x-y+1=0(2)1e-e,0 0,e-1e【详解】(1)由题，当m=1时，f x=x2-xlnx+1，fx=2x
14、-lnx-1，f1=1，f 1=2，所以切线方程为y-2=x-1，化简得x-y+1=0，即曲线 f x在点 1,f 1处的切线方程为x-y+1=0.(2)f x2ex，即x2-mxlnx+12ex，即x+1x-mlnx-2e0在 0,+上恒成立，令g x=x+1x-mlnx-2e，则gx=1-1x2-mx=x2-mx-1x2.对于y=x2-mx-1，=m2+40，故其必有两个零点，且两个零点的积为-1，则两个零点一正一负，设其正零点为x0 0,+，则x20-mx0-1=0，即m=x0-1x0，且在 0,x0上时y=x2-mx-10,则gx0,gx0，此时g x单调递增，因此当x=x0时，g x
15、取最小值，故g x00，即x0+1x0-x0-1x0lnx0-2e0.令h x=x+1x-x-1xlnx-2e，则hx=1-1x2-1+1x2lnx-1-1x2=-1+1x2lnx，当x 0,1时，hx0，当x 1,+时，hxae-x+lnx恒成立，求证：实数aae-x+lnx f x-lnx+x2-x-1xaex-xex+x-1aexa0，则ux=x+1ex0所以u x在 0,+上单调递增，又u 0=-10，则u x在 0,1上存在零点x0且u x0=x0ex0-1=0，即ex0=1x0.所以h x在 0,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增，所以h xmin=h x0=x0-1ex0-x
16、0=1-x0+1x0，即a0，则h x0=1-x0+1x0在 0,1上单调递增，因此h x0h 1=-1所以a1，此时-m0，此时函数 f x在-,-m，-1,+上单调递增；当x-m,-1时，满足 f(x)0，此时函数 f x在-m,-1单调递减；若m-1，当x-,-1-m,+时，满足 f(x)0，此时函数 f x在-,-1，-m,+上单调递增，当x-1,-m时，满足 f(x)1时，f x在-,-m和-1,+上单调递增，在-m,-1单调递减；m0，若函数g(x)=a lnx+1-f(x)x20在 1,+上恒成立，等价成a2x+3lnx+1在x 1,+上恒成立；令h x=2x+3lnx+1,x1
17、，则hx=2 lnx+1-2x+31xlnx+12=2lnx-3xlnx+12；令 x=2lnx-3xx1，则x=2x+3x20在x 1,+上恒成立，即函数 x在x 1,+上单调递增，易知 2=2ln2-32=ln16-lne32，由于e32.73=19.683，所以 225=3227=33e3，所以520；因此hx在x 1,+有且仅有一个零点x0，满足2lnx0=3x0，且x0 2,52；所以当x 1,x0时，hx0；因此函数h x=2x+3lnx+1,x1在 1,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增；所以h x的最小值为h x0=2x0+3lnx0+1=2x0+332x0+1=2x0，显
18、然2x0 4,5，因此a2x0 4,5，又a是整数，所以a的最大值为4.8(20232023秋秋 陕西西安陕西西安 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知函数 f x=lnx-x+x-2ex-m，mZ Z.(1)当m=1时，求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)若关于x的不等式 f x0在 0,1上恒成立，求m的最小值.【答案】(1)y=-e-2(2)-3【详解】(1)由题当m=1时，f x=lnx-x+x-2ex-1，fx=1x+x-1ex-1，f1=0，f 1=-e-2，所以切线方程为y+e+2=0 x-1，化简得y=-e-2，即曲线 f x在点 1,f 1处的切线方程为
19、y=-e-2.(2)由 f xlnx-x+x-2ex，令g x=lnx-x+x-2ex，x 0,1，则gx=x-1ex-1x，当00，h12=e-20，7则存在x012,1，使得h x0=0，即ex0=1x0，取对数得lnx0=-x0，当x 0,x0时，h x0，g x单调递增，当x x0,1时，h x0，gx0，g x单调递减，g(x)max=x0-2ex0+lnx0-x0=x0-21x0-2x0=1-2x0+2x0，y=1-2x+2x在12,1上单调递增，则g x0-4,-3，又mg x对任意x 0,1恒成立，mZ Z，所以mg x0，即m的最小值为-3.9(20232023春春 江西萍乡
20、江西萍乡 高二萍乡市安源中学校考期末高二萍乡市安源中学校考期末)已知函数 f x=lnx-mx2+1-2mx+1.(1)若m=1，求 f x的极值；(2)若对任意x0，f x0恒成立，求整数m的最小值.【答案】(1)极大值为 f12=14-ln2，无极小值(2)1【详解】(1)当m=1时，f x=lnx-x2-x+1 x0，fx=1x-2x-1=-x+12x-1x.当0 x0，则 f x在 0,12上单调递增；当x12时.fx0，f x0恒成立，所以lnx+x+1m x2+2x在 0,+上恒成立，即mlnx+x+1x2+2x在 0,+上恒成立，设F x=lnx+x+1x2+2x，则Fx=-x+
21、1x+2lnxx2+2x2.设 x=-x+2lnx，显然 x在 0,+上单调递减，因为 1=-10，所以x012,1，使得 x0=0，即x0+2lnx0=0，当x 0,x0时，x0，Fx0；当x x0,+时，x0，Fx0时，f(x)0，当-1x0时，f(x)0恒成立，所以h(x)在(-a,+)上单调递增，即g(x)在(-a,+)上单调递增，当x-a,g(x)-，当x+,g(x)+，所以x0(-a,+)，使得gx0=0，即ex0=1x0+a，所以a=1ex0-x0，当x-a,x0时，g(x)0，所以g(x)单调递增，所以gmin(x)=g x0=ex0-ln x0+a-a=ex0-1ex0+2x00，设p(x)=ex-1ex+2x，则p(0)=0，而p(x)=ex+1ex+20恒成立，所以p(x)=ex-1ex+2x为增函数，由p x00=p(0)，所以x00.因为y=1ex,y=-x均为减函数，所以a=1ex0-x0在 0,+上为减函数，所以，当x00时，a1，所以实数a的取值范围为(-,1