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1、第2课时二次函数性质的综合应用二次函数性质的综合应用多与几何图形、线段的长度、最值问题等知识结合考查,常以代数压轴题的形式出现,有一定的难度.1.(2021安徽第22题)已知抛物线y=ax22x+1(a0)的对称轴为直线x=1.(1)求a的值.(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物线上,且1x10,1x20)与抛物线y=ax22x+1交于点A,B,与抛物线y=3(x1)2交于点C,D,求线段AB与线段CD的长度之比.解:(1)由题意知-22a=1,所以a=1.(2)y1y2.理由:因为1x10,所以1y14,又因为1x22,所以0y2y2.(3)由x22x+1=m,得(x1)2
2、=m,故x1=1m,x2=1+m,所以线段AB的长度为x2x1=(1+m)-(1-m)=2m.由3(x1)2=m,得(x1)2=m3,故x3=13m3,x4=1+3m3,所以线段CD的长度为x4x3=1+3m3-1-3m3=23m3,故线段AB与线段CD的长度之比为2m23m3=3.2.一题多解(2020安徽第22题)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A,抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点.(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由;(2)求a,b的值;(3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x
3、+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.解:(1)点B在直线y=x+m上.理由如下:因为直线y=x+m经过点A(1,2),所以2=1+m,解得m=1,从而直线对应的表达式为y=x+1.又因为点B的坐标(2,3)满足该表达式,所以点B在这条直线上.(2)因为抛物线y=ax2+bx+1与直线AB都经过点(0,1),且B,C两点横坐标相同,所以此抛物线只能经过A,C两点.将A,C两点的坐标代入y=ax2+bx+1,得a+b+1=2,4a+2b+1=1,解得a=1,b=2.(3)解法1:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=x2+px+q,其顶点坐标为p2,p24+q.因为顶点在直线y=x+
4、1上,所以p2+1=p24+q.于是,抛物线与y轴交点的纵坐标为q=p24+p2+1=-14(p-1)2+54.所以当p=1时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值54.解法2:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=(xh)2+k,因为顶点在直线y=x+1上,所以k=h+1.令x=0,得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为h2+h+1.因为h2+h+1=h-122+54,所以当h=12时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值54.改编题在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx3经过A(1,0),B(1,6),C(1,4)三点中的两点.(1)求该抛物线的表达式.(2)平移抛物线y=ax2+bx
5、3,使其顶点在直线y=3x+1上.设平移后抛物线顶点的横坐标为t,点P(1,m)在平移后的抛物线上,设PA2=h,求h的最小值.解:(1)抛物线y=ax2+bx3与y轴的交点的坐标为(0,3).由B(1,6),C(1,4),知BCy轴,抛物线y=ax2+bx3经过B,C两点中的一点.而A(1,0),(0,3),B(1,6)三点在同一条直线上,点B(1,6)不在抛物线y=ax2+bx3上,即抛物线y=ax2+bx3经过点A(1,0),C(1,4).将点A(1,0),C(1,4)代入抛物线y=ax2+bx3,得a-b-3=0,a+b-3=-4,解得a=1,b=-2,该抛物线的表达式为y=x22x3
6、.(2)平移后抛物线顶点的横坐标为t,顶点在直线y=3x+1上,平移后抛物线顶点的坐标为(t,3t+1),平移后的抛物线的表达式为y=(xt)2+3t+1.点P(1,m)在平移后的抛物线上,m=(1t)2+3t+1=t2+t+2,h=PA2=1(1)2+(t2+t+2)2=4+(t2+t+2)2,当t2+t+2取得最小值时,h=PA2有最小值.设n=t2+t+2=t+122+74,当t=12时,n取得最小值74,h=PA2有最小值11316.3.一题多解(2019安徽第22题)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.(1)
7、求k,a,c的值.(2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点.O为坐标原点,记W=OA2+BC 2,求W关于m的函数表达式,并求W的最小值.解:(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=2.因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以点(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又因为点(1,2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+4,从而a=2.(2)解法1:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=2x
8、2+4的图象交于点B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m).由对称性得点C的坐标为(x0,m),故BC=2|x0|.又因为点B在二次函数y=2x2+4的图象上,所以2x02+4=m,即x02=2-m2,从而BC2=4x02=82m.又因为OA=m,所以W=OA2+BC2=m22m+8=(m1)2+7(0m4),所以当m=1时,W有最小值7.解法2:由(1)得二次函数的表达式为y=2x2+4.因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=2x2+4的图象交于点B,C,所以令2x2+4=m,解得x1=2-m2,x2=-2-m2,所以BC=22-m2.又因为OA=m,所
9、以W=OA2+BC2=m2+22-m22=m22m+8=(m1)2+7(0m4),所以当m=1时,W有最小值7.改编题在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax22ax+c经过点A(2,0),直线y=kx+2与该抛物线的一个交点B在y轴上,另一个交点C在x轴上.(1)求a,c,k的值;(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P(m,t),过点P分别作x轴,y轴的垂线,分别交直线BC于点D,E,令w=PD+PE,求w关于m的函数表达式,并求出w的最小值.解:(1)由直线y=kx+2知点B的坐标为(0,2),将点A(2,0),B(0,2)代入抛物线y=ax22ax+c,得c=2,4a+4a+c=0,解得c
10、=2,a=-14,y=14x2+12x+2,令14x2+12x+2=0,解得x1=4,x2=2,点C的坐标为(4,0).将点C(4,0)代入y=kx+2,得k=12,a=14,c=2,k=-12.(2)OBPD,OBC=PDE.tan OBC=OCOB=2,tan PDE=PEPD=2,PE=2PD,PD+PE=3PD.抛物线上有一点P(m,t),t=14m2+12m+2,点D的坐标为m,-12m+2,w=PD+PE=3PD=314m2+12m+2-12m+2=34(m2)2+3,当m=2时,w有最小值3.4.(2016安徽第22题)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(
11、6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一个动点,横坐标为x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.解:(1)将点A(2,4)与点B(6,0)代入y=ax2+bx,得4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=-12,b=3.(2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CEAD,CFx轴,垂足分别为E,F.SOAD=12ODAD=1224=4,SACD=12ADCE=124(x2)=2x4,SBCD=12BDCF=124-12x2+3x=x2+6x,S=SOAD+SACD+SBCD=4+(2
12、x4)+(x2+6x)=x2+8x.S关于x的函数表达式为S=x2+8x(2x6).S=x2+8x=(x4)2+16,当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.典例已知二次函数y=x2+mx+m(m为常数).(1)当m=2时,若A(x1,y1),B(x2,y2)(x12,则y1y2B.若x1+x22,则y12则y1y2D.若x1+x2y2(2)当x2时,y随x的增大而减小;当x1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是.(4)当2x4时,y的最大值是15,则m的值是.(5)当1x3时,二次函数y=x2+mx+m与直线y=x+2有且只有一个交点,则m的取值范围是.【答案】(1)B
13、.(2)4.(3)m2.(4)19或6.提示:二次函数y=x2+mx+m=x-m22+m24+m,对称轴为直线x=m2,当m2-2,即m4,即m8时,在-2x4范围内,y随x的增大而增大,当x=4时,y取得最大值,即-42+4m+m=15,解得m=315(舍去).综上所述,m的值为19或6.(5)m72或m=22-1.提示:由-x2+mx+m=x+2,得x2-(m-1)x-m+2=0.当抛物线的顶点在直线y=x+2上时,=(m-1)2-4(-m+2)=0,解得m1=-22-1(舍去),m2=22-1.当抛物线的顶点在直线y=x+2上方时,0,得m22-1或m3+2,解得m72.综上所述,m的取值范围是m72或m=221.