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1、专题02 中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）1直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（）A4B4C4或4D4或2【答案】D【解答】解：当4和8均为直角边时，斜边4，则斜边上的中线2；当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线4故选：D2如图，点D是RtABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BEBDCF，连接DE、DF，若DE7，DF10，则线段BE的长为 【答案】13【解答】解：如图，延长FD至点P，使得DPDF，连接BP，EP，过点E作EQFD于点Q，在BDP和CDF中，BDPCDF（SAS），BPCF，PBDC，C+ABC90，PBD+
2、ABC90，即ABP90，BECF，BEBP，BEP为等腰直角三角形，EPBE，ABC+C90，BDBE，CDCF，BDE+CDF135，EDQ45，ED，EQDQ7，EP，BE13故答案为：133如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（）A线段EF的长逐渐增大B线段EF的长逐渐减少C线段EF的长不变DABP和CRP的面积和不变【答案】A【解答】解：连接AR，E，F分别是AP，RP的中点，EFAR，当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长
3、度逐渐增大，线段EF的长逐渐增大SABP+SCRPBC（AB+CR）CR随着点R的运动而减小，ABP和CRP的面积和逐渐减小观察选项，只有选项A符合题意故选：A4求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：如图，在ABC中，ABC90，点O是AC的中点求证：OBAC证明：延长BO到D，使ODOB，连接AD、CD，中间的证明过程排乱了：ABC90，OBOD，OAOC，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形ACBD，OBBDAC则中间证明过程正确的顺序是（）ABCD【答案】D【解答】解：延长BO到D，使ODOB，连接AD、CD，OBOD，OAOC，四边形ABCD是平行四边形，ABC9
4、0，平行四边形ABCD是矩形ACBD，OBBDAC则中间证明过程正确的顺序是，故选：D5如图，AB为O的直径，CA与O相切于点A，BC交O于点D，E是的中点，连接OE并延长交AC于点F，若BDCD，AB5，则AF的长为（）ABCD4【答案】A【解答】解：连接AD交OF于点G，E是的中点，OEAD，AGO90，AB为O的直径，ADB90，ADBAGO90，BCOF，OAOB，AFCF，OF是ABC的中位线，OFBC，BDCD，BDBC，CA与O相切于点A，CAB90，CABADB90，BB，BDABAC，BA2BDBC，25BC2，BC10，OFBC5，OAAB2.5，AF2.5，故选：A6如图
5、，将ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：EFAB且2EFAB；BAFCAF；S四边形ADEFAFDE；BDF+FEC2BAC，正确的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【解答】解：设AF与DE相交于点G，由折叠得：DAEDFE，DE是AF的垂直平分线，AEEF，点F是BC的中点，点E不是AC的中点，EF不是ABC的中位线，EF不平行于AB，2EFAB，故不正确；ABAC，点F是BC的中点，BAFCAF，故不正确；AFDE，S四边形ADEFSADF+SAEFAFDG+AFEGAF（DG+EG）AFDE，故正确；BDF是ADF的一个外角，BDFDAF+AFD，CEF是AEF的
6、一个外角，CEFEAF+EFA，BDF+FECDAF+AFD+EAF+EFADAE+DFE2DAE，故正确；上列结论中，正确的个数是2，故选：B7矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BCEF4，CDCE2，则GH 【答案】【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，ADCADGCGF90，ADBC4、GFCE2，ADGF，GFHPAH，又H是AF的中点，AHFH，在APH和FGH中，APHFGH（ASA），APGF2，PHHGPG，PDADAP2，GDGCCD422GP2GHGP故答案为
7、：8如图，在ABC中，延长CA到点D，使ADAC，点E是AB的中点，连接DE，并延长DE交BC于点F，已知BC4，则BF 【答案】【解答】解：过点B作BGCD，交DF的延长线于点G，DG，DAEEBG，点E是AB的中点，AEBE，ADEBGE（AAS），ADBG，ADAC，ADACBG，DC2BG，CDBG，CFBG，DG，DCFGBF，2，BFBC，故答案为：9如图，ABC中，ABAC，点D在AC上，连接BD，ABD的中线AE的延长线交BC于点F，FAC60，若AD5，AB7，则EF的长为 【答案】【解答】解：延长AE至点G，使得AEEG，E是BD的中点，BEDE，在ADE和GBE中，ADE
8、GBE（SAS），ADGB5，GFAC60，过点B作BHGE于点H，在RtBGH中，GBH180906030，GH，BH，在RtABH中，AH，AGAH+GH8，AEGE4，过点D作DMEF，交BC于点M，设EFx，则DM2x，DMEF，AF7x，AE7xx6x4，x，EF，故答案为：10如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写
9、一种思路）【解答】证明：方法一：如图1中，作BFDE于点F，CGDE于点GFCGE90，在BFE和CGE中，BFECGEBFCG在ABF和DCG中，ABFDCGABCD或方法二：如图2中，作CFAB，交DE的延长线于点FFBAE又ABED，FDCFCD在ABE和FCE中，ABEFCEABCFABCD11如图所示，D是ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AEBDDC，FAFE求ADC的度数【解答】解：延长AD至G，使ADDG，连接BG，在DG上截取DHDC，在ADC和GDB中，ADCGDB（SAS），ACBG，GCAD，FAFE，CADAEF，GCADAEFBED，BGBEAC，AEDCBD
10、，AE+EDDH+ED，ADEH，在DAC和HEB中，DACHEB（SAS），CDBH，BDBHDH，BDH为等边三角形，CBDH60ADC故答案为：6012（1）如图1，在ABC中，B60，C80，AD平分BAC求证：ADAC；（2）如图2，在ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，APBC求证：PEBE【解答】证明：（1）在ABC中，B60，C80，BAC180608040，AD平分BAC，BADBAC20，ADCB+BAD60+2080，C80，CADC，ADAC；（2）过点A作AFBC交BD的延长线于点F，FDBC，FADC，ADCD，ADFCDB（AAS），AFBC，AP
11、BC，APAF，APFF，APFBPE，FDBC，BPEPBE，PEBE13数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，AB8，AC6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DEAD，再证明“ADCEDB”（1）探究得出AD的取值范围是 ；（2）【问题解决】如图2，ABC中，B90，AB2，AD是ABC的中线，CEBC，CE4，且ADE90，求AE的长【解答】解：（1）AD的取值范围是1AD7；故答案为：1AD7（2）延长AD交EC的延长线于F，ABBC，EFBC，ABDFCD，在ABD和FCD中，AB
12、DFCD（ASA）CFAB2，ADDF，ADE90，AEEF，EFCE+CFCE+AB4+26，AE614如图，BC为O直径，AB切O于B点，AC交O于D点，E为AB中点（1）求证：DE是O的切线；（2）若A30，BC4，求阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接OD，OE，AB切O于B点，OBE90，E为AB中点，O为BC的中点，OE是ABC的中位线，OEAC，BOEC，DOECDO，OCOD，CCDO，BOEDOE，OBOD，OEOE，BOEDOE（SAS），ODEOBE90，OD是O的半径，DE是O的切线；（2）解：过点O作OFCD，垂足为F，过点E作EGAD，垂足为G，ABC90，A30
13、，BC4，ABBC4，AC2BC8，C90A60，OCOD，COD是等边三角形，CODCDO60，OCODCDBC2，BOD180COD120，ADACDC826，OFOCsin602，ODE90，ADE180ODECDO30，AADE30，AEDE，AGDGAD3，GEAGtan303，阴影部分的面积ABC的面积COD的面积扇形BOD的面积DEA的面积ABBCCDOFADEG44264，阴影部分的面积为415（1）方法回顾证明：三角形中位线定理已知：如图1，DE是ABC的中位线求证： 证明：（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG3，
14、DF4，GEF90，求GF的长【解答】（1）已知：如图1，DE是ABC的中位线求证：DEBC，DEBC，证明：过点C作CFBA交DE的延长线于点F，AACF，FADF，点E是AC的中点，AEEC，ADECFE（AAS），DEEFDF，ADCF，点D是AB的中点，ADDB，DBCF，四边形DBCF是平行四边形，DFBC，DFBC，DEBC，DEBC，故答案为：DEBC，DEBC；（2）延长GE，CD交于点H，四边形ABCD是正方形，ABCD，AADH，AGEH，点E是AD的中点，AEDE，AGEDHE（AAS），AGDH3，GEEH，DF4，FHDH+DF7，GEF90，FE是GH的垂直平分线，
15、GFFH7，GF的长为716如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AOCO，BCACAD（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD2AB，BC15，AC16，求EFG的周长【解答】（1）证明：BCACAD，ADBC，在AOD与COB中，AODCOB（ASA），ADBC，四边形ABCD是平行四边形；（2）解：连接DF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC15，ABCD，ADBC，BD2OD，OAOCAC8，BD2AB，ABOD，DODC，点F是OC的中点，OFOC4，DFOC，AFOA+OF12，在RtA
16、FD中，DF9，点G是AD的中点，AFD90，DGFGAD7.5，点E，点F分别是OB，OC的中点，EF是OBC的中位线，EFBC7.5，EFBC，EFDG，EFAD，四边形GEFD是平行四边形，GEDF9，EFG的周长GE+GF+EF9+7.5+7.524，EFG的周长为2417（1）方法呈现：如图：在ABC中，若AB6，AC4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE，可证ACDEBD，从而把AB、AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）这种解决问题的方法我们称为
17、倍长中线法；（2）探究应用：如图，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF的角平分线试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明【解答】解：（1）1AD5AD是BC边上的中线，BDCD，BDECDA（SAS），BEAC4，在ABE中，ABBEAEAB+BE，64AE6+4，2AE10，1AD5证明：（2）延长FD至点M，使DMDF，连接BM、EM，如图所示同（1）得：BMDCFD（SAS
18、），BMCF，DEDF，DMDF，EMEF，在BME中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM，BE+CFEF（3）如图，延长AE，DF交于点G，ABCD，BAGG，在ABE和GCE中，CEBE，BAGG，AEBGEC，ABEGEC（AAS），CGAB，AE是BAF的平分线，BAGGAF，FAGG，AFGF，FG+CFCG，AF+CFAB18我们定义：如图1，在ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90得到CA，把BC绕点C逆时针旋转90得到CB，连接AB我们称ABC是ABC的“旋补交差三角形”，连接AB、AB，我们将AB、AB所在直线的相交而成的角称之为ABC“旋补交差角”，C点到AB中点E间的距
19、离成为“旋转中距”如图1，BOB即为ABC“旋补交差角”，CE即为ABC“旋补中距”（1）若已知图1中AB的长度等于4，当ACB90，则ABC“旋补交差角”BOB90，“旋补中距”CE长度2；（2）若图1中ACB的度数发生改变，则ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断ABC“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中ABC是ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，AB长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1，把AC点绕点C顺时针旋转90得到CA，把BC绕点C逆时针旋转90得到CB，ACA90BCB，
20、ACAC，BCBC，ACB90，ACBACB90，ACB+ACA180，ACB+BCB180，点A，点C，点B共线，点B，点C，点A共线，AB、AB的交点O与点C重合，ABC“旋补交差角”BOB90，ACAC，ACBACB90，BCBC，ACBACB（SAS），ABAB4，点E是AB的中点，ACB90，CE2，故答案为：90，2；（2）ABC“旋补交差角”度数不变，ABC“旋补中距”长度不变，理由如下：把AC点绕点C顺时针旋转90得到CA，把BC绕点C逆时针旋转90得到CB，ACA90BCB，ACAC，BCBC，ACBBCA，在ACB和ACB中，ACBACB（SAS），CABCAB，点A，点A
21、，点C，点O四点共圆，ACAAOA90BOB，如图2，延长CE至F，使CEEF，连接AF，BF，CEEF，AEBE，四边形ACBF是平行四边形，ACB+FAC180，AFBC，ACB+ACB360ACABCB180，ACBCAF，又ACAC，AFBCBC，ACBCAF（SAS），ABCF4，CE2；（3）OC存在最小值，最小值为1，理由如下：如图3，取AB中点E，连接CE，CO，EO，ABC是ABC“旋补交差三角形”，BOB90，CEAB2，点E是AB中点，AOB90，OEAB3，在OCE中，OCOECE，当点C在线段OE上时，OC有最小值为OECE119在四边形ABCD中，ABC90，ABB
22、C，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，且CFDF（1）求证：ACDBCF；（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN求证：PMN135；若AD2，求PMN的面积【解答】（1）证明：ABC、CDF都是等腰直角三角形，BCF45+ECF，ACD45+ECF，ACDBCF，BC：ACCF：CD1：，BC：CFAC：CD，ACDBCF；（2）证明：ACDBCF，ADCBFC90，CDF45，ADB45，如图，作PM延长线，交AD于点H，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，MHDN、MNDH，四边形MNDH为平行四边形，HMNADB45，PMN135；如图，作PGNM，交NM延长线于点G，ACDBCF，BF2，PM为ABF中位线，PMBF1，同理MNAD，又PMN135，PMG18013545，PG，SPMNMNPG