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1、教材知识特训三平行线与角的平分线的几大模型平行线的两线一点模型【例1】请你探究出图1至图4各图中B，D与BED之间的数量关系：图1中，BED_BD_；图2中，BED_360BD_；图3中，BED_DB_；图4中，BED_BD_【解析】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键是作辅助线，即过拐点作平行线过点E作射线EFAB，由平行于同一条直线的两条直线平行，可得ABCDEF，再由平行线的性质即可一一解答平行线的两线多点模型【例2】已知ABCD.(1)如图1，探究B，D，E与F之间的数量关系；(2)如图2，直接写出B，D，E与F之间的数量关系；(3)如图3，你可以得到什么结论？(直接写出结论)【解
2、析】类同【例1】作辅助线，根据平行线的性质即可得到结论【解答】解：(1)过点E作射线EMAB，过点F作射线FNAB.ABCD，ABEMFNCD.1B，23，4D.BDFEBEFD；(2)图2中，180FBED；(3)E1E2EnF1F2Fn1BD.【例3】图中A1MA2N，图中A1MA3N，图中A1MA4N，图中A1MA5N，则图中的A1A2A3An1_180n_(用含n的代数式表示).【解析】分别求出图、图、图中这些角的和，探究规律后，依据规律解决问题即可图中，A1A21801180；图中，A1A2A33602180；图中，A1A2A3A45403180；图中，A1A2A3An1n180.三
3、角形内外角平分线所夹角模型模型点拨：通过角的平分线的性质，常用三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，找到探求的两个角之间的数量关系，理解其推算过程，碰到类似题型快速而准确求解，也可以逆推进行验算【例4】(1)如图1，在ABC中，点O是ABC与ACB的平分线BO和CO的交点，试写出BOC与A之间的数量关系：_BOC90A_；(2)如图2，点O是ABC与外角ACD的平分线BO和CO的交点，试写出BOC与A之间的数量关系：_BOCA_；(3)如图3，点O是外角DBC与外角ECB的平分线BO和CO的交点，试写出BOC与A之间的数量关系：_BOC90A_角平分线性质模型如图，点P是MON的平分线上一点
4、，过点P作PAOM于点A，PBON于点B.结论：PAPB.模型点拨：过角平分线上的点向两边作垂线，利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造此类模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口【例5】如图，在ABC中，C90，12，CD15，BD25，求AC的长【解析】过点D作DEAB，垂足为E，由角平分线的性质可知CDDE，根据勾股定理可得出BE的长，再推出RtACDRtAED，可得出ACAE，根据勾股定理即可解答【解答】解：过点D作DEAB，垂足为点E.12，C90，CDDE15.在RtBDE中，BE20.CDDE，ADAD，RtACDRtAE
5、D(HL).ACAE.AB2AC2BC2，即(AC20)2AC2(1525)2，AC30.角平分线与平行线模型如图，点P是MON的平分线上一点，过点P作PQON，交OM于点Q.结论：POQ是等腰三角形(PQOQ).模型点拨：有角平分线时，常过角平分线上一点作角一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系【例6】(1)已知：在ABC中，ABAC，BD平分ABC，CD平分ACB，过点D作EFBC，分别交AB，AC于E，F两点(如图1).图中共有_个等腰三角形，分别是_；EF与BE，CF之间的数量关系是_；(2)若将(1)中“在ABC中，ABAC”
6、改为“若ABC为不等边三角形”，其余条件不变(如图2)，则图中共有_个等腰三角形，分别是_；EF与BE，CF之间的数量关系是_；(3)已知：如图3，点D在ABC外，ABAC，且BD平分ABC，CD平分ABC的外角ACG，过点D作DEBC，分别交AB，AC于E，F两点，则EF与BE，CF之间有何数量关系？写出你的结论，并加以证明【解析】本题关键是推出DEBE和CFDF.(1)(2)根据角平分线的定义可得EBDCBD，FCDBCD，再根据两直线平行，内错角相等可得EDBCBD，FDCBCD，然后得出EBDEDB，FDCFCD，再根据等角对等边可得BEDE，CFDF，然后解答即可；(3)由(2)知BEED，CFDF，然后利用等量代换即可得出BE，CF，EF之间的数量关系【解答】解：(1)5；ABC，AEF，DEB，DFC，BDC；EFBECF；(2)2；BDE，DFC；EFBECF；(3)BECFEF.证明：同(2)可得BEED.EFBC，EDCDCGACD.CFDF.又EDDFEF，BECFEF.