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1、第五节二次函数的图象及性质【课标要求】会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ya(xh)2 k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴会利用二次函数的图象求一元二次方程的解【教材对接】人教：九上第二十二章P2748；冀教：九下第三十章P2640，P5053；北师：九下第二章P2945，P5155.二次函数的概念及表达式1形如yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数，特别地，当a0，bc0时，yax2是二次函数的特殊形式其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项2三种表
2、示方法(1)一般式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中抛物线的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标【温馨提示】三种表达式之间的关系3二次函数表达式的确定求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式(1)若顶点在原点，可设为yax2；(2)若对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为yax2c；(3)若顶点在x轴上，可设为ya(xh)2；(4)若抛物线过原点，可设为yax2bx；(5)若已知任意三个点的坐标，可设为一般式yax2bxc；(6)若已知顶点(h
3、，k)，可设为顶点式ya(xh)2k；(7)若已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，或已知对称轴xh及与x轴的一个交点(x1，0)(其中与x轴的另一个交点(x2，0)可利用对称轴求出，x22hx1，可设为交点式ya(xx1)(xx2).【基础练1】(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(2，8)，则这个二次函数的表达式为y2x2.(2)已知抛物线的顶点坐标为点M(1，2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y5(x1)22(3)已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和2，则这个二次函数的表达式为yx2x.二次函数的图象及性质
4、4二次函数的图象及性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)图象开口向上向下对称轴直线x直线x顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而增大简记为“左减右增”在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而减小简记为“左增右减”最值抛物线有最低点，当x时，y有最小值，y最小抛物线有最高点，当x时，y有最大值，y最大【基础练2】(1)(2021唐山模拟)如图，二次函数ya(x1)2k的图象与x轴交于A(3，0)，B两点，下列说法错误的是(D)Aa0B图象的对称轴为直线x1C点B的坐标为(
5、1，0)D当x0时，y随x的增大而增大(2)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y(x1)22上，则下列结论正确的是(A)A2y1y2 B2y2y1Cy1y22 Dy2y125二次函数yax2bxc图象与系数a，b，c的关系字母的符号图象的特征aa0开口向上|a|越大，开口越小a0开口向下bb0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b24acb24ac0与x轴有唯一交点(顶点)b24ac0与x轴有两个不同交点b24ac0与x轴没有交点【温馨提示】(1)看到2ab与0，就比较和1的大小；(
6、2)看到2ab与0，就比较与1的大小；(3)看到abc与0，就令x1，要看纵坐标y的值；(4)看到abc与0，就令x1，要看纵坐标y的值；(5)看到4a2bc与0，就令x2，要看纵坐标y的值；(6)看到4a2bc与0，就令x2，要看纵坐标y的值【基础练3】(1)根据二次函数的大致图象得出结论：大致图象结论a0，b0，c0，b2a，b24ac0，abc0a0，c0，b4a，b24ac0，abc0，b0，c0，b24ac0，abc0a0，c0，b2a，b24ac0，abc0(2)(2021唐山一模)关于抛物线yx2bx1，有以下结论：当b1时，抛物线过原点；抛物线必过点(0，1)；顶点的纵坐标最大
7、值为1；若当x1时，y0，当x2时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是2b4.错误结论的序号是(A)A B C D二次函数图象的平移6二次函数图象平移的步骤(1)将抛物线表达式转化为顶点式ya(xh)2k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可7二次函数图象平移的规律移动方式平移前的表达式平移后的表达式规律向左平移m个单位长度ya(xh)2kya(xhm)2k左加向右平移m个单位长度ya(xh)2kya(xhm)2k右减向上平移m个单位长度ya(xh)2kya(xh)2km上加向下平移m个单位长度ya(xh)2kya(xh)2km下减口诀：左加右减自变量，上加
8、下减常数项【方法点拨】二次函数图象的平移，其实质是图象上点的整体平移(一般研究顶点坐标)，平移过程a保持不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点的平移求得函数解析式【基础练4】(1)将y2x21向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得的抛物线是y2(x1)23(2)如图，将函数y(x2)21的图象沿y轴向上平移得到一条新函数y(x2)24的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A，B.则曲线段AB扫过的面积为(C)A4 B6C9 D12(3)下列二次函数的图象，不能通过函数y3x2的图象平移得到的是(D)Ay3x22 By3(x1)2Cy3(x1)22 Dy2x
9、2(4)将抛物线yx24x3平移，使它平移后图象的顶点为(2，4)，则需将该抛物线(C)A.先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度B先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度C先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度D先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度(5)将抛物线yx21绕顶点旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为(C)Ay2x21 By2x21Cyx21 Dyx21二次函数与一元二次方程、不等式的关系8二次函数与一元二次方程二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2bxc0的根(1)当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，两
10、个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程ax2bxc0的两个不相等的实数根；(2)当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点，交点是顶点，对应一元二次方程ax2bxc0的两个相等的实数根；(3)当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点，对应一元二次方程ax2bxc0没有实数根9二次函数与不等式抛物线yax2bxc(a0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有取值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有取值就是不等式ax2bxc0的解集【基础练5】(1)若二次函数yx2bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2b
11、x5的解为x11，x25(2)如图是二次函数yax2bxc的部分图象，由图象可知不等式ax2bxc0的解集为(A)A.x1或x5Bx5C1x5D无法确定二次函数的综合10(1)二次函数与一次函数结合：二次函数yax2bxc(a0)的图象G与一次函数 ykxb(k0)的图象l的交点个数，由方程组的解的数目确定，方程组有两组不同的解，则l与G有两个交点；方程组只有一组解，则l与G只有一个交点；方程组无解，则l与G没有交点(2)二次函数与反比例函数结合：主要涉及二次函数与反比例函数的交点问题(3)二次函数与几何图形结合从题干出发，寻找抛物线上的特殊点，如与x轴、y轴、几何图形各边的交点及抛物线的对称
12、轴和顶点坐标，二次函数中有几个待定系数，就至少找几个点；根据二次函数与方程(不等式)的关系、几何图形的性质，求出上述的特殊点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；根据抛物线的解析式与相关几何图形的性质，如三角形面积、三角形全等、三角形相似、四边形判定等知识，有针对性地求解具体问题二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2021保定一模)王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴(向上为正方向)，并在此直角坐标系内画出了抛物线yax26ax3，则她所选择的x轴和y轴分别为(A)Am1，m4 Bm2，m3
13、 Cm3，m6 Dm4，m5【解题思路】根据抛物线yax26ax3的对称轴为直线x3，结合图象可选出y轴再由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，结合图象可选出x轴【例2】(2021石家庄模拟)已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如表：x10234y50430下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线x2；当0x4时，y0；抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1x2，其中正确的个数是(B)A2 B3 C4 D5【解题思路】由二次函数yax2bxc过点(0，0)和(4，0)，可设抛物线解析式为yax(x4).再代入一组数据即可求得抛
14、物线的解析式，画出函数图象即可判断结论正误1一次函数yaxb与反比例函数y的图象如图所示，则二次函数yax2bxc的大致图象是(A)2已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，对称轴是直线x1.下列结论：abc0；2ab0；b24ac0；4a2bc0.其中正确的是(C)A.BCD3(2021邢台模拟)对于题目：“已知A(0，2)，B(3，2)，抛物线ymx23(m1)x2m1(m0)与线段AB(包含端点A，B)只有一个公共点，求m的取值范围”甲的结果是3m0，乙的结果是0m，则(D)A甲的结果正确B乙的结果正确C甲、乙的结果合在一起才正确D甲、乙的结果合在一起也不正确4(2021河北模拟)如图
15、，抛物线y1a(x2)23与y2(x3)21交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：无论x取何值，y2的值总是正数；a1；当x0时，y2y14；2AB3AC.其中正确结论是(D)A BC D【例3】如图，已知二次函数yx2ax3的图象经过点P(2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上当m2时，求n的值；若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；直接写出点Q与直线yx5的距离小于 时m的取值范围【解题思路】(1)将点P的坐标代入二次函数解析式，求出a的值和二次函数解析式，把二次函数解析式转化成顶点式
16、，写出顶点坐标即可；(2)将m2代入解析式求出n的值；根据二次函数的图象和性质，由|m|2，即可求出n的取值范围；先表示出过点Q且与直线yx5平行的直线为yxm2m3，再分别求出两条直线与x轴的交点为A(5，0)，B(m2m3，0)，由等腰直角三角形性质可得点Q与直线yx5的距离d|m2m2|，即可求出m的范围【解答】解：(1)将P(2，3)代入yx2ax3，得3(2)22a3.解得a2.yx22x3(x1)22.顶点坐标为(1，2)；(2)将x2代入yx22x3，得y11.当m2时，n11；2n11；m1或0m.5(2021唐山丰南区二模)如图，抛物线过(2，0)，(4，0)，(0，4)三点
17、，沿x轴方向平移抛物线，使得平移后的以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形的面积为9，则符合条件的平移方式有(D)A1种 B2种 C3种 D4种6(2021河北一模)如图，抛物线ya(x1)2k(a0)经过点(1，0)，顶点为M，过点P(0，a4)作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H.以下结论：当x3.1时，y0；存在点P，使APPH；(BPAP)是定值；设点M关于x轴的对称点为M，当a2时，点M在l下方，其中正确的是(A)A B C D7如图，已知二次函数L：ymx22mxk(其中m，k是常数，k为正整数)(1)若L经过点(1，k6)，求m的值；(2)当m2时，若
18、L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：ymx22mxk的图象向下平移8个单位长度，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线yxb与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围解：(1)将点(1，k6)代入ymx22mxk，解得m2；(2)当m2时，ymx22mxk2x24xk.令y0，即2x24xk0.由题意，得b24ac168k0.解得k2.又k为正整数，且k1时，方程没有整数解，k2；(3)在m2，k2时，y2x24x2，向下平移8个单位长
19、度，平移后M的表达式为y2x24x282x24x6；(4)b或b.由(3)知，M的表达式为y2x24x6.则翻折后抛物线的表达式为y2x24x6.设直线l为yxb.)当直线l与翻折后的图象有一个交点(点H)时，如图，联立并整理，得2x2xb60.则8(b6)0.解得b；)当直线l过点A(3，0)时，将点A的坐标代入，得0(3)b.解得b；)当直线l过点B(1，0)时，同理可得，b.综上所述，直线yxb与N有两个公共点时，b的取值范围为b或b.二次函数的图象及性质(5年3考)1(2020河北中考)如图，现要在抛物线yx(4x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
20、甲：若b5，则点P的个数为0；乙：若b4，则点P的个数为1；丙：若b3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A乙错，丙对 B甲和乙都错C乙对，丙错 D甲错，丙对2(2018河北中考)对于题目“一段抛物线L：yx(x3)c(0x3)与直线l：yx2有唯一公共点若c为整数，确定所有c的值”甲的结果是c1，乙的结果是c3或4，则(D)A.甲的结果正确B乙的结果正确C甲、乙的结果合在一起才正确D甲、乙的结果合在一起也不正确3(2017河北中考)如图，若抛物线yx23与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y(x0)的图象是(D) 二次函数图象与性质的综
21、合(5年2考)4(2019河北中考)如图，若b是正数，直线l：yb与y轴交于点A；直线a：yxb与y轴交于点B；抛物线L：yx2bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.(1)若AB8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x00，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b2 019和b2 019.5时“美点”的个数解：(1)当x0时，yxbb，B(0，b).又
22、AB8，A(0，b)，b(b)8.b4.L的表达式为yx24x，a的表达式为yx4.L的对称轴为x2.当x2时，yx42.L的对称轴与a的交点坐标为(2，2)；(2)yx2bx，L的顶点为C.点C在l下方，点C与l的距离为b(b2)211.点C与l距离的最大值为1；(3)由题意，得y3，即y1y22y3，得bx0b2(xbx0).解得x00或x0b.又x00，x0b.对于L，当y0时，即0x2bx，0x(xb).解得x10，x2b.b0，右交点D为(b，0).点(x0，0)与点D的距离为b；(4)4 040；1 010.5(2021河北中考)如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，
23、O，N三个点，且AO2，在ON上方有五级台阶T1T5(各拐角均为90)，每级台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK10.从点A处向右上方沿抛物线L：yx24x12发出一个带光的点P.(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪级台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE1，从点E向上作EBx轴，且BE2.在BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比
24、最小值大多少？注：(2)中不必写x的取值范围解：(1)对于抛物线yx24x12，令yx24x120，解得x2或6.AO2，A(2，0).点A的横坐标为2.补图如图所示，由题意台阶T4左边的端点为(4.5，7)，右边的端点为(6，7).当x4.5时，y9.757；当x6时，y07；当y7时，7x24x12.解得x1或5.抛物线与台阶T4有交点R(5，7).点P会落在台阶T4上；(2)由题意知，抛物线C：y(xk)211，经过R(5，7).(5k)2117.解得k7或k3(舍去).对称轴为x7，y(x7)211.抛物线C的解析式为yx214x38.台阶T5左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7.5，6)，抛物线C的对称轴与台阶T5有交点；(3)对于抛物线C：yx214x38，令yx214x380，解得x7.抛物线C交x轴的正半轴于(7，0).当y2时，2x214x38.解得x4或10.抛物线C经过(10，2).在RtBDE中，DEB90，DE1，BE2，当点D与(7，0)重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8；当点B与(10，2)重合时，点B的横坐标最小，最小值为10.8102.点B横坐标的最大值比最小值大2.