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1、第二节与圆有关的位置关系【课标要求】理解点与圆、直线与圆的位置关系掌握切线的概念，探索切线与切点的半径关系掌握切线的性质和判定方法【教材对接】人教：九上第二十四章P9299；冀教：九下第二十九章P115；北师：九下第三章P66，P8996.点与圆的位置关系1如图，设O的半径为r，点P到圆心O的距离为OPd，则(1)点P1在圆外d1r；(2)点P2在圆上d2r；(3)点P3在圆内d3rdrdr公共点个数没有公共点1个公共点2个公共点【基础练1】在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为(C)A.与x轴相离、与y轴相切 B与x轴、y轴都相离C.与x轴相切、与y轴相离
2、 D与x轴、y轴都相切切线及其性质与判定3切线：当直线与圆有唯一一个公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线4切线的性质：(1)切线与圆只有一个公共点；(2)切线到圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心5切线的判定方法：(1)利用切线的定义，即与圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【方法点拨】(1)判断直线与圆相切的两种常见模型：直线与圆的公共点已知时，连接
3、过公共点的半径，证这条半径与直线垂直，可简述为：有切点，连半径，证垂直；直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线，证垂线段等于半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等(2)利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决(3)直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是RtABC的两条直角边，c为斜边，则直角三角形的外接圆半径R；直角三角形的内切圆半径r.【基础练2】(2021长春中考)如图，AB是O的直径，BC是O的切线，若BAC35，则ACB的大小为(C)A.35 B45C.55 D65切线长定理6切线长：切线上一点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长7切线长定理：过
4、圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等，这一点与圆心的连线平分过这点的两条切线所形成的夹角【基础练3】如图，一圆外切四边形ABCD，且BC10，AD7，则四边形的周长为(B)A.32 B34C.36 D38【知识拓展】与圆有关的七大模型图示模型点拨相交弦模型若AB，CD相交于点P，则ACPDBP，PAPBPCPD垂径定理模型若AB是直径，ABCD于点P，则CPDP，等腰三角形模型若ABBC，连接OB，则ABC AOB弦切角模型若AB与O相切于点P，则APCPDC，BPDPCD双切线模型若PA，PB是O的两条切线，则PAPB，PO平分APB续表图示模型点拨角平分线模型若CD平分ACB，则ODBC
5、，ABCADO直角三角形模型若ABC90， AB是O的直径，AC交O于点D，连接BD，则ABCADB【基础练4】(1)如图，若弦BC经过O的半径OA的中点P，且PB3，PC4，则O的直径为(B)A7 B8 C9 D10第(1)题图第(2)题图(2)如图，已知AB是O的直径，PC切O于点C，PCB35，则B55.【例1】(2021石家庄模拟)如图，已知O的直径AB10，弦AC6，BAC的平分线交O于点D，过点D作DEAC 交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)求DE的长【解题思路】(1)连接OD，欲证明DE是O的切线，只要证明ODDE即可(2)过点O作OFAC于点F，只要证明四
6、边形OFED是矩形即可得到DEOF，在RtAOF中利用勾股定理求出OF即可【解答】(1)证明：连接OD.AD平分BAC，DAEDAB.OAOD，ODADAO.ODADAE.ODAE.DEAC，ODDE.DE是O切线；(2)解：过点O作OFAC于点F.AFCF3.OF4.OFEDEFODE90，四边形OFED是矩形DEOF4.1(2021山西中考)如图，在O中，AB切O于点A，连接OB交O于点C，过点A作ADOB交O于点D，连接CD.若B50，则OCD为(B)A15 B20 C25 D302(2021河北模拟)如图，ABC内接于O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF2OD，连接FC并延
7、长交过点A的切线于点G，且满足AGBC，连接OC，若cos BAC，BC6.(1)求证：CODBAC；(2)求O的半径OC；(3)求证：CF是O的切线(1)证明：AG是O的切线，AD是O的直径，GAF90.AGBC，AEBC.CEBE.BAC2EAC.COE2CAE，CODBAC；(2)解：CODBAC，cos BACcos COE.设OEx，OC3x.BC6，CE3.CEAD，OE2CE2OC2.x2329x2.x(负值已舍去).OC3x.O的半径OC为；(3)证明：DF2OD，OF3OD3OC.COEFOC，COEFOC.OCFOEC90.CF是O的切线【例2】如图，PA，PB分别与半径为
8、3的O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切O于点E，当PO5时，PCD的周长为(C)A.4B5C8D10【解题思路】连接OA.根据切线的性质，得RtOAP，利用勾股定理可得PA4，由切线长定理，得ACCE，DEBD，PAPB，进而推出PCD的周长3如图，是用一把直尺、含60角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60角与直尺的交点，点B为光盘与直尺的唯一交点，若AB3，则光盘的直径是(A)A6 B3C6 D34如图，已知OT是RtABO斜边AB上的高，AOBO.以点O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是(D)ADCDT B
9、ADDTCBDBO D2OC5AC盲目套用“dr直线与圆相切”而错解【例】如果直线l上一点M与O的圆心的距离等于O的半径，那么这条直线与O的位置关系是()A相交 B相切C相交或相切 D以上都不正确【错解分析】在判断直线与圆的位置关系时，不要一看到距离，就把这个距离误认为是d，因为直线上一点与一个圆的圆心的距离不一定是圆心到直线的距离，圆心到直线的距离应小于或等于这个距离【正确解答】C1已知O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与O的位置关系为(B)A相交 B相切 C相离 D无法确定2如图，RtABC中，C90，AB5，cos A，以点B为圆心，r为半径作B，当r3时，B与
10、AC的位置关系是(B)A.相离B相切C相交D无法确定切线的性质及判定(5年2考)1(2019河北中考)如图，ABCD中，AB3，BC15，tan DAB.点P为AB延长线上一点，过点A作O切CP于点P，设BPx.(1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；(2)当x4时，如图2，O与AC交于点Q，求CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；(3)当O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围图1图2备用图解：(1)O切CP于点P，OPPC，即CPB90.由ABCD得ADBC.tan CBPtan DAB.设PC4k，BP3k，
11、则BC5k.5k15，即k3.PC12，BP9.当x9时，圆心O落在AP上此时PE与BC的位置关系为PEBC；(2)连接OP，OQ，过点C作CKAP于点K，过点O作OHAP于点H，与(1)同理，得CK12，BK9.AKABBK12，CKAK.CAPACK45.APABBP7，HPAP.又PKBKBP5，PC13.HOP90OPHCPK，RtHOPRtKPC.，即.OP.POQ2PAQ90，l.l；(3)x18.2(2018河北中考)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在点O右下方，且tan AOB.在优弧上任取一点P，且能过点P作直线lOB交数轴于点Q，设
12、点Q在数轴上对应的数为x，连接OP.(1)若优弧上一段的长为13，求AOP的度数及x的值；(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值解：(1)设AOPn，则13.解得n90.AOP90.lOB，PQOAOB.tan PQO.x19.5；(2)要使x变小，则l向左平移当l平移到与所在圆相切位置l1时，如图，O与l的距离达到最大值OP126，此时Q1所对应的(负)数最小在RtP1Q1O中，tan P1Q1Otan AOB.设P1Q13k，则OP14k26.解得k.又OQ15k，x最小532.5.此时直线l与所在圆相切；(3)x31.5或16.5.