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1、四边形的基本概念与性质平面四边形有三种类型：凸、凹、折四边形.凸四边形（每一个内角均小于平角）、凹四边形（有一个内角大于平角）和折四边形（有两条边相交）.在本书中重点讨论凸四边形和特殊凸四边形.对于平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊凸四边形，它们有着一系列美妙的性质，我们将在以的各节分别介绍.平面四边形有四条边，四个内角.凸四边形的全等是要求对应边都相等且对应角都相等，凸四边形的相似是要求对应角都相等且对应边都成比例.凸四边形的内角和为360，其外角和也为360.连接凸四边形两个不相邻的顶点的线段称为四边形的对角线.凸四边形的每条对角线将四边形分割成两个三角形.因此，我们研究平面四边形
2、时，常通过作辅助线把四边形转化为三角形，运用三角形知识来研究四边形问题.性质1在凸四边形ABCD中，四条边和两条对角线的长分别记为ABa，BCb，CDc，DAd，ACe，BDf，两条对角线夹角为，则（1）SABCD（111）（2）SABCD（112） 图11-1证明：设AC与BD交于O，如图111.（1）SABCDSAOBSBOCSCODSAOD（2）注意到三角形的余弦定理，令AOB，有aOAOB2OAOBcos，bOBOC2OBOCcos（180）OBOC2OBOCcos，cOCOD2OCODcos，dODOA2OAODcos，从而acbd2efcos.当BOC时，则有acbd2efcos.
3、于是（acbd）4efcos，亦即4efsin4ef（acbd）.再注意到（1），即有4efsin16SABCD.故SABCD性质2凸（或凹）四边形一对对角的平分线交成的角，有一个等于另一对对角（内角）的差的一半；折四边形一对对角的平分线交成的角，有一个等于另一对对角（内角）的和的一半. （1） （2） （3）图11-2证明：如图112（1），2（AEBECF）（180AFC）180（BEAB）ECF180360（FADDDCE）DB.如图112（2），2BEFECFAFC（BEAB）ECF（AECECF）BEABAECBCD2（BEAB）（BDBAD）BD.如图112（3），CAD，ACB.
4、故2BD.完全四边形两两相交且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形（或一个凸四边形的两对对边延长相交所得的图形）.六个交点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线.如图113，AC，BD，EF是三条对角线.完全四边形ABCDEF中，有凸四边形ABCD，有凹四边形AECF，有折四边形BEDF，还有四个三角形AED，BEC，FDC，ABF. 图11-3例1如图114，四边形ABCD中，BAD90，ABBC，AC6，AD3，则CD的长是（）图11-4A.4 B. C. D.（2001年江苏省竞赛题）解：选D.理由：过B作BEAC于E，则AE3，BE，从而BAE30，DAE60.过D
5、作DFAC于F，则ADF30，AFAD.从而CF.在RtADF中，可得DF在RtCDF中，可得CD另解：过B作BEAC于E，则AE3，连ED，可推证得AED为正三角形，则EDAEEC，知ADC为直角三角形，CD例2 如图115，四边形ABCD中，A60，BD90，AD8，AB7，则BCCD等于（）图11-5A. B. C. D.（2003年山东省竞赛题）解：选B.理由：延长AD、BC相交于E，在RtABE中，由A60，有AE2AB14，从而DEAEAD6，又可求得BE.在RtCDE中，可求得CD，CE.于是BCBECE，故BCCD.例3（1）如图116，已知四边形ABCD中，ABAD，BAD6
6、0，BCD120.证明：BCDCAC.（2）如图117，四边形ABCD中，ABBC，ABC60，P为四边形ABCD内一点，且APD120，证明：PAPDPCBD.（2000年江苏省竞赛题）图11-6证明：（1）如图116，延长BC至E，使CECD，连DE.由BCD120，知DCE60，.又由CECD，知CDE为等边三角形.即有DECDCE，CDE60.又因ABAD，BAD60，连BD，知ABD为等边三角形.即ABADBD，BDA60.连AC，在ACD和BED中，由ADBCDE，知ADCADBBDCCDEBDCBDE.又ADBD，CDDE，故ACDBED.于是ACBEBCCEBCCD.即BCDC
7、AC.（2）如图117，在四边形ABCD外侧作正ABD由APD120，知四边形APDB符合（1）的条件，连BP，则BPAPPD.图11-7连BC，则易知BCPBPC，得BCAPPDPC.下面证明BDBC.ABD是正三角形，故ABAD，BAD60.因连AC，又易知ABC为正三角形，故ACAB，BAC60.在ABD和ACB，DABDACBACDACDABBAC，ABAC，ADAB，故ABDACB.从而BDBC.故PAPDPCBD.例4如图118，在四边形ABCD中，AC90，ABAD.若这个四边形面积为12，则BCCD.（1999年山东省竞赛题）图11-8解：填.理由：连BD，由A90，ABAD，
8、则ABD45，故BDAB.由C90，知BD.注意到SABCDSABDSBCD12， 从而BCCD例5 如图119，四边形ABCD的对角线分四边形所得的4个三角形面积为SAOB52，SBOC26，SCOD34，SDOA68.又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的第一个2等分点、第1个3等分点、第1个4等分点和第1个5等分点，则S四边形EFGH.（第14届“五羊杯”竞赛题）图11-9解：填93.7.理由:连BH，则（5268）48.同理（2652）13，（3426）10，（6834）15.3.从而S四边形EFGHS四边形ABCD（SAHESBEFSCFGSDGH）93.7.例6 如图11
9、10，在四边形ABCD中，ADDC1，DABDCB90，BC、AD的延长线交于点P.，求的最小值.（1994年四川省竞赛题）图11-10解：设DPx，则PC.由RtPCDRtPAB，有则从而令得x2（1y）x（12y）0，因x是实数，则4（1y）4（12y）4y（y4）0.而y0 ， 从而y4.故ABSPAB的最小值是4.例7 完全四边形ABCDEF的三条对角线AD，BF，CE的中点M、N、P共线（称为牛顿线）.图11-11证明：如图1111，分别取CD，BD、BC的中点Q、R、S，则在ACD中，M、R、Q三点共线；在BCF中，S、R、N三点共线；在BCE中，S、Q、P三点共线.由平行线性质，
10、有对BCD及截线AFE应用梅涅劳斯定理，有即再对QRS应用梅涅劳斯定理的逆定理，知M，N，P三点共线.例8 如图1112，在完全四边形ABCDEF中，若BF与CE所在直线相交于点G，直线AD与BF，CE分别交于点M，N，则图11-12证明：对ABD及截线CNE和点F，分别应用梅涅劳期定理和塞瓦定理，有上述两式相除，即证得同理，对ABF及截线CEG和点D，对ACE及截线BFG和点D分别应用梅涅劳期定理和塞瓦定理，证得注：题中三个比例式也可称为：A，D，M，N；B，F，M，G；C，E，N，G分别为调和点列.习题111、如图所示，ABCDEFG的值等于（）A.360B.450C.540D.720（2
11、003年“TRULY信利杯”全国联赛题）（第一题）2、如图，在四边形ABCD中，BCCDDA，O为AB的中点，连OC，OD.若AODDOCCOB60，则BC与CDDA的关系为（）.A.BCCDDA B.BCCDDAC.BCCDDAD.不能确定（第2题）3、设在凸四边形中，经过一组对边中点的直线与两条对角线所成的角相等.求证：这两条对角线相等.（第24届全俄数学奥林匹克题）4、给定凸四边形ABCD与形内一点O，且AOBCOD120，且AOBO，COOD.设K、L、M分别为线段AB，BC，CD的中点.求证：（1）KLLM；（2）MLK为等边三角形.（第58届莫斯科数学奥林匹克题）5、在凸四边形ABCD中，ABC30，ADC60，又ADDC.求证：BDABBC.（1996年北京市竞赛题）6、已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16.（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的的四边形边长的平方和的最小值.（2003年全国联赛题）7、设四边形的4条边长依次为a、b、c、d，它的面积为S.证明：S（第16届莫斯科数学奥林匹克题）8、M和P是凸四边形ABCD的边BC和CD的中点.已知：AMAPa.求证：四边形ABCD的面积小于.（第14届全俄数学奥林匹克题）