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1、 15 梯形有且仅有一组对边平行的四边形称为梯形.平行的一组对边分别称为上底与下底，不平行的一组对边称为腰. 两腰中点的连线称为梯形的中位线.上、下底之间距离称为梯形的高. 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 梯形的面积公式 梯形有如下几条重要性质：性质1 梯形的两条对角线的平方和等于两腰的平方和加上两底乘积的两倍.性质2 对于梯形ABCD，ADBC，连结对角线AC、BD相交于O，则有，.性质3 梯形的两底中点的连线（即中线）长等于两腰平方和之2倍与两底差之平方的差的平方根之半. .性质4 （梯形的施坦纳定理）梯形两对角线的交点与两腰延长线的交点的连线必平分梯形的上
2、、下底.事实上，如图15-1,设梯形ABCD的对角线交于点E，两腰的延长线交于点F，直线EF交于AB于点N，交CD于点M.注意到ABDC,则由 ，有， ，有. 由，两式相乘、相除即知，. 处理梯形问题时，有时通过添加辅助线把梯形转化成平行四边形或三角形.如： 在梯形内或外平移一腰得平行四边形，或延长两腰得三角形；过梯形上底顶点作梯形的高得直角三角形或矩形；平移对角线得平行四边形等. 两腰相等的梯形称为等腰梯形. 等腰梯形还有下述性质：两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等；是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线.等腰梯形的判定，除了定义之外，还可先证明是梯形，再证同一底上的两个角相等，
3、或两条对角线相等. 有一个角为直角的梯形称为直角梯形.例1 已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4，则此梯形的面积等于（ ）. A4 B6 C. D.（2000年全国联赛题）解：选D.理由：以1，2，3，4为边长作梯形只有以下六种可能：（1）以1，2为底；（2）以1，3为底；（3）以1，4为底；（4）以2，3为底；（5）以2，4为底；（6）以3，4为底，易知只有（3）才能构成梯形，其他情形都不能构成梯形.如图15-2，设在梯形ABCD中，.过A作AHBC于H，作AEDC交BC于E，则BEA为等腰三角形（）.由，得 .故 . 例2 梯形的两底角之和为90，上底长为5，下底长为11.则连结两
4、底中点的线段之长是（ ）. A3 B4 C.5 D.6（1996年安徽省部分地区联赛题）解：选A.理由：如图15-3，设梯形ABCD中，G、H分别为CD、AB的中点. 过C作交AB于，则有，知.设CE为斜边上的中线，则. 又G、H分别为DC，AB的中点，则，从而知CGHE为平行四边形. 故. 例3 在梯形ABCD中，ABCD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于F，则AF：FD的值是（ ）. A2 B. C. D.1(1996年黄冈地区竞赛题)解：选C.理由：如图15-4，过C作CGBF交AD的延长线于G. 由ABCD，CGBF，得ABFDCG，有.又由CGBF, ，得，于是，.因此，. 例
5、4如图15-5，ABCD为梯形，一条直线与DA的延长线，AB、BD、AC、CD、BC的延长线顺次交于点E、F、G、H、I、J.若，则.(1998年上海市竞赛题) 解：填1：2.理由：由ADBC，知，.从而，即. 同样，.从而，即. 由，得.例5 如图15-6，在梯形ABCD中，ABDC.，则梯形ABCD的面积等于_.(2000年全国竞赛题) 解：填.理由：过B作BEDC于E，过A作AFDC于F.因，故.因，故.于是 .例6 如图15-7，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F.过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N.证明：（200
6、7年全国联赛题） 证明：设MN与EF交于点P，如图15-7.由NEBC知PNEPBC.所以，即.同理，.所以，即.又，有PNEPMC，则.从而NFMC,有.又MEBF,则，即有. 故.例7 如图15-8，在四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，P为对角线AC上的任意点，PF交AD于点M,PE交BC于点N，EF交MN于点K.求证：K是线段MN的中点.(2008年江西省竞赛题) 证明：如图15-8，在PF上取点G，使，连结CG，则CGDM，又取CA的中点L，连结GN、LE、LF，则LE、LF分别为ABC、ACD的中位线，有LFAD，LECB，得，.从而CNGLEF，有NGEF.于是，F
7、K是MNG的中位线,故K是MN的中点. 例8 如图15-9，在梯形ABCD中，ADBC，ACDB，.(1)求对角线BD的长度；（2）求梯形ABCD的面积.(2008年四川省竞赛题) 解：（1）过A作AEDB交CB的延长线于E.由ACDB，AEDB知ACAE，.即EAC为直角三角形，即有，即有.又ADBC且AEDB，知四边形AEBD为平行四边形.从而.（2）记梯形ABCD的面积为，过A作AFBC于F，则AFE为直角三角形. 由，知，即梯形的高为.又四边形AEBD为平行四边形，则.故.例9 如图15-10，在直角梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过E作EFAB于点F，O为边AB的中点，且.
8、求的值.（2008年四川省竞赛题） 解：设，则，.由题设DAEFCB，知，即.同理，.故. 又在RtEFO中，解得. 由，得.例10 如图15-11，在等腰梯形ABCD中，ABDC，.点P在线段AD上，则满足条件的点P的个数为（ ）. A0 B.1 C.2 D.不小于3的整数 （1999年全国联赛题） 解：选C.理由：设AD的中点为M，对BC张成90角，又设N在AD上，且AN:ND=998:1001，由ABN和DCN都为等腰三角形推知，N对BC张成90，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求的点的个数为2.例11 如图15-12，在直角梯形ABCD中，底，ADAB并且，则A到BC
9、的距离为（ ）. A12 B.13 C. D.10.5 （2003年四川省竞赛题） 解：选A.理由：作CEAB于E，则AECD为矩形.故，.于是，即ABC是等腰三角形（），作AFBC于F.两腰上的高相等，故.例12 如图15-13，直角梯形ABCD中，ADBC，点P在高AB上滑动.若DAP与PBC相似，时，.(1998年重庆市竞赛题) 解：填或6.理由：由DAP和PBC相似，有或，从而知或.例13 如图15-14，在梯形ABCD中，ABDC，延长BD到E，使，作EFAB交BA的延长线于点F，则.(1997年山东省竞赛题) 解：填4.理由：过D，C分别作AB的垂线，垂足为G、P.因ABCD为等腰
10、梯形，四边形DGPC为矩形，故，.又，DGEF，故 ，.例14 如图15-15，在RtABC中，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于E，以AB，BE为邻边作长方形ABEF，连DF，则DF的长度是_.(第11届“希望杯”竞赛题) 解：填.理由：自D点作DGBC交EF于G.因D是AC的中点，故DG是梯形ACEF的中位线，.在RtABC中，故，.在RtCED中，.故，.例15如图15-16，在正九边形ABCDEFGHI中，那么的长是_.(第13届“希望杯”竞赛题) 解：填1.理由：延长AC之K，使，连AD，DK，可证出.事实上，因正九边形的内角为140，于是在ABC中，即有，从而.又，即
11、CDK为正三角形，有.又四边形ABCD为等腰梯形，故，.在ADK和ADE中，AD公用，故ADKADE.从而. 习题 151.已知梯形的两对角线分别为m与n，两对角线的夹角为60.则该梯形的面积为（ ）. A. B. C. D.（1995年全国联赛（民族卷）题）2.如图，在梯形ABCD中，ABCD,且，M，N分别是对角线AC，BD的中点.设梯形ABCD的周长为，四边形CDMN的周长为.则与满足（ ）.A. B. C. D. 3.如图，梯形ABCD中，ABCD，CDAB，设E，F分别是AC，BD的中点,AC、BD交于O点，OEF是边长为1的等边三角形，.则（ ）.A. B. C. D. 4.如图，梯形ABCD的对角线相交于O，OAOC，OBOD.在AO上取点E，使，又在BO上取点F，使.则AFC的面积与BED的面积的关系为（ ）. A. B. C. D.不能确定 5.在直角梯形ABCD中, ，ACBD，已知，则.(2000年江苏省竞赛题)6.在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且E、F、M分别是OD、OA、BC的中点.求证：EFM是等边三角形.7.在梯形ABCD中，腰.将ABC绕C转过一个角度，而得到.求证：线段、BC和的中点在一条直线上.(第23届全俄数学奥林匹克题)